Максимизация прибыли: P = MC и MR = MC

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Динамично развивающаяся фирма по производству электрокаров нового поколения «E-car» приобрела постепенно затухающий завод «БензГазТрактор». До заключения этой сделки производительность труда в «E-car» составляла $400$ тыс. руб. в год, а на покупаемом старом заводе $–$ $100$ тыс. руб. После покупки завода производительность труда в обновленной фирме «E-car» составила $425$ тыс. руб. Как изменилась производительность труда для «E-car», если известно, что в «БензГазТракторе» трудилось в $4$ раза меньше работников, чем в «E-car», а после сделки персонал сократился на $20\%$ ?

Р2

Задача Р2

Мама приобрела в супермаркете дисконтную карту за 500 рублей, дающую скидку на весь товар 3%. В первые полгода мама каждый месяц тратила в супермаркете в среднем по 2000 рублей, а во все последующие – в среднем по 1000 рублей. На каком по счету месяце окупится дисконтная карта?

Р3

Задача Р3

Зачем во время I Мировой войны воюющие стороны распространяли на территории противника фальшивые деньги?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

«Патефан»

Высшая проба · 2012

Функция рыночного спроса на патефоны в мире линейна и неизменна на протяжении многих лет. Функция издержек фирмы «Патефан» — монополиста на этом рынке, — имеет вид $TC(Q)=Q^2$ . В «Патефане» нет грамотных экономистов, поэтому фирма пытается максимизировать прибыль, выбирая оптимальный выпуск методом проб и ошибок. Выпустив 3 тыс. патефонов в 2010 году, «Патефан» получил прибыль, равную 6. Выпустив 2 тыс. патефонов в 2011 году, «Патефан» получил прибыль, равную 8.

Подскажите «Патефану» оптимальный объем выпуска в 2012 году.

Теория

Максимизация прибыли и налоги на фирму

Общий принцип

$\Pi (Q) = \mathit{TR}(Q) - \mathit{TC}(Q)$ . Во внутреннем оптимуме

\Pi'(Q) = 0 \iff \mathit{MR} = \mathit{MC},

где $\mathit{MR} = \mathit{TR}'(Q)$ это предельная выручка. Если фирма продаёт по рыночной цене, не влияя на неё, $\mathit{TR} = P Q$ и $\mathit{MR} = P$ ; если цена зависит от выпуска (по спросу $P (Q)$ ), $\mathit{MR} = P + P'(Q)Q < P$ . Эти два случая подробно разобраны в частях о совершенной конкуренции и монополии.

Условие $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ необходимо, но не достаточно: нужно проверить, что это максимум ( $\mathit{MC}$ пересекает $\mathit{MR}$ снизу вверх), и сравнить прибыль с вариантом «не производить вообще».

Налоги в функции прибыли

\begin{aligned} \Pi &= \mathit{TR} - \mathit{TC} - tQ \ \text{(потоварный)}, & \Pi &= (1 - t)\,\mathit{TR} - \mathit{TC} \ \text{(на выручку)}, \\ \Pi &= (1 - t)(\mathit{TR} - \mathit{TC}) \ \text{(на прибыль)}, & \Pi &= \mathit{TR} - \mathit{TC} - T \ \text{(аккордный)}. \end{aligned}

Налог на прибыль не меняет оптимальный выпуск: максимизировать $(1 - t)\Pi$ то же, что максимизировать $\Pi$ .
Аккордный (паушальный) налог это фиксированная сумма; условие $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ не меняется, меняется только решение, работать ли вообще.
Потоварный налог увеличивает предельные издержки на $t$ и сокращает выпуск.
Налог на выручку уменьшает предельную выручку в $(1 - t)$ раз и сокращает выпуск.

Разбор олимпиадной задачи

«Уклонение от уплаты налогов», региональный этап 2020/21, 11 класс

Фирма продаёт по спросу $q = 15 - p$ , $\mathit{MC} = 5$ , налог на прибыль 20%. Фирма может скрыть от налоговой часть прибыли $x$ , но сокрытие стоит $0{,}01x^{2}$ .

Решение.

1. Без уклонения прибыль $(10 - q)q$ максимальна при $q = 5$ и равна 25; после налога остаётся 20.
1. С уклонением чистая прибыль $\pi -0{,}2(\pi -x)-0{,}01x^{2} = 0{,}8\pi +(0{,}2x-0{,}01x^{2})$ . Это сумма двух независимых парабол: выпуск прежний ( $q = 5$ , $\pi = 25$ ), скрываемая прибыль $x = 10$ . Чистая прибыль $20 + 1 = 21$ .
1. При ставке $t$ фирма скрывает $x = 50t$ , поэтому сборы $T (t) = t(25 - 50t)$ , максимум при $t = 25$ %. Уклонение само порождает кривую Лаффера: выше 25% сборы падают.

лью, оптимум не меняется: $Q = 20$ .

30% со всей прибыли, если она больше 300. Функция чистой прибыли рвётся на пороге. С налогом максимум $0{,}7 \cdot 400 = 280$ , а без налога можно получить ровно 300.

Фирме выгодно удержать прибыль на пороге: $40Q - Q^{2} = 300$ , $Q = 10$ или $Q = 30$ (обе точки дают 300; в официальном решении указан $Q = 10$ ). Фирма специально меняет выпуск.

Налог, оставляющий фирме не больше половины выручки. Чистая прибыль min ${40Q - Q^{2}; 0{,}5(50 - Q)Q}$ . Вторая функция меньше при $Q \le 30$ , её максимум в точке максимума выручки $Q = 25$ : чистая прибыль 312,5. Фирма фактически начинает максимизировать выручку.

**Рис. 47.1:** Налог только с части сверх порога не меняет оптимум; налог со всей прибыли при превышении порога создаёт разрыв, и фирме выгодно держать прибыль ровно на пороге

Вывод для качественных вопросов: налог, база которого скачком меняется на пороге, искажает стимулы; налог только на часть сверх порога оптимум не меняет. В России налог на сверхприбыль (закон от 04.08.2023 № 414-ФЗ) был разовым: 10% с превышения средней прибыли 2021-2022 годов над средней прибылью 2018-2019 годов для компаний со средней прибылью больше 1 млрд рублей; при досрочном платеже ставка фактически снижалась до 5%. Так как база считалась по прошлой прибыли, на текущие решения фирм он почти не влиял.

Работать в убыток бывает выгодно

Разбор: сколько нанять аналитиков (региональный этап 2024/25)

Совершенная конкуренция: решение фирмы

Простой пример

Фирма с $\mathit{TC} = 50 + 2Q + Q^{2}$ , цену задаёт рынок.

$P = 22$ : из $P = \mathit{MC}$ получаем $22 = 2 + 2Q$ , $Q = 10$ ; прибыль $220 - 170 = 50 > 0$ .
$P = 12$ : $Q = 5$ , прибыль $60 - 85 = -25$ . Это убыток, но он меньше постоянных издержек
Если закрыться, фирма потеряет все 50, поэтому в краткосрочном периоде работать выгоднее.

1. Закрываться имеет смысл, только если цена ниже минимума $\mathit{AVC}$ (здесь 2).

При P = 22 прибыль 50 (зелёный прямоугольник); при P = 12 убыток 25 (красный), но он меньше постоянных издержек — **Рис. 49.1:** При $P = 22$ прибыль 50 (зелёный прямоугольник); при $P = 12$ убыток 25 (красный), но он меньше постоянных издержек

Выручка совершенного конкурента

Фирма видит спрос на свою продукцию как горизонтальную линию $P =$ const:

\mathit{TR} = PQ, \qquad \mathit{AR} = \mathit{MR} = P, \qquad \Pi = (P - \mathit{AC})Q = (P - \mathit{AVC})Q - \mathit{FC}.

Оптимальный выпуск

Почему: пока $P > \mathit{MC}$ , следующая единица приносит больше, чем стоит; площадь между линией цены и кривой $\mathit{MC}$ это дополнительная прибыль. Когда $\mathit{MC}$ становится выше цены, каждая следующая единица убыточна.

Когда работать, а когда закрыться

Период	Условие работы	Смысл
Краткосрочный	$P \ge \min \mathit{AVC}$	прибыль не ниже $-\mathit{FC}$ : постоянные издержки уже понесены и при закрытии не вернутся
Долгосрочный	$P \ge \min \mathit{AC}$	прибыль неотрицательна: в долгом периоде постоянных издержек нет

Монополия

Простой пример

Спрос $P = 100 - Q$ , $\mathit{MC} = 20$ .

$\mathit{TR} = 100Q - Q^{2}$ , $\mathit{MR} = 100 - 2Q$ . Из $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ : $Q = 40$ ; цену берём со спроса: $P = 60$ .

1. При конкуренции было бы $P = \mathit{MC} = 20$ , $Q = 80$ .
1. Потери от монополии: треугольник между спросом и $\mathit{MC}$ от 40 до 80: $^{1}_{2} \cdot 40 \cdot 40 = 800$ .

Два метода

Выражать прибыль через цену тоже можно, но неудобно, если издержки заданы через количество.

Свойства предельной выручки

$\mathit{MR} < P$ при $Q > 0$ : чтобы продать ещё единицу, нужно снизить цену на все предыдущие.
$\mathit{MR}$ может быть отрицательной (в примере при $Q > 60$ ).
Для линейного спроса $P = a - bQ$ : $\mathit{MR} = a - 2bQ$ , вдвое круче спроса, и пересекает ось количеств посередине.
$\mathit{MR} = P\left(1 + \dfrac{1}{E_D}\right)$ : монополист работает только на эластичном участке спроса (глава 22).

Индекс Лернера

Из $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ и формулы для $\mathit{MR}$ :

I_L = \frac{P - \mathit{MC}}{P} = -\frac{1}{E_D}.

Наценка тем выше, чем менее эластичен спрос. В простом примере $I_L = \dfrac{60 - 20}{60} = \dfrac{2}{3}$ ; эластичность в оптимуме $-1 \cdot \dfrac{60}{40} = -1{,}5$ , и $-\dfrac{1}{E} = \dfrac{2}{3}$ .

Задачи

Базовый уровень

Монополия

ВсОШ · муниципальный этап · 2014 · 7–9 кл.

Фирма-монополист имеет функцию предельных издержек ܶ $MC=q^2-8q+19$ . Её предельный доход задан уравнением $MR=10-2q$ , где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.

Зайцы-монополисты

Сибириада · 2013 · 11 кл.

Компания «Зайцы, Ltd.» является монополистом на рынке трын-травы и имеет функцию издержек вида $TC(q)=q^2/2$ . Спрос на трын-траву задан уравнением $q=120-p$ .

а) Найдите цену, которую назначит монополист, если рынок трын-травы на болоте, где живут зайцы, закрыт от внешних покупателей и продавцов.

б) В результате вступления болота в ВТО оно стало малой открытой экономикой, то есть агенты, действующие на рынке травы, теперь могут покупать и продавать ее в любом количестве по мировой цене $P_w=80$ . Будет ли болото импортировать или экспортировать трын-траву? Объясните свой ответ.

в) Как изменится ваш ответ на предыдущий пункт, если $P_w=65$ ? Выиграют или проиграют в этом случае от вступления в ВТО отечественные (живущие на болоте) потребители? Объясните свои ответы.

Средний уровень

"Сигма" и лицензия

ВсОШ · муниципальный этап · 2014 · 7–9 кл.

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$ , где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.

Монополия 2

ВсОШ · муниципальный этап · 2014 · 11 кл.

Фирма-монополист имеет функцию общих издержек ܶ $TC=\dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5$ . Спрос на её продукцию задан уравнением $q=10-P$ , где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.

Решение

Вариант решения №1

Функция прибыли имеет вид: $PR=(10-q)\cdot q-\left( \dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5\right). \textbf{ (1 балл)}$

Производная прибыли равна: $PR'=10-2q-q^2+8q-19=-(q-3)^2. \textbf{ (3 балла)}$

Видно, что производная отрицательная во всех точках, кроме точки $q=3$ , где она равна нулю. (3 балла)

Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$ ) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (3 балла)

Вариант решения №2

Предельный доход фирмы равен: $MR=10-2q$ (1 балл).

Предельные издержки фирмы равны: $MC=q^2-8q+19$ (1 балл).

Предельный доход равен предельным издержкам в точке: $q=3$ (2 балла).

Во всех остальных точках предельный доход меньше предельных издержек (3 балла, этот факт может быть показан путем решения соответствующего неравенства ИЛИ путем аккуратного изображения графиков $MR \text{ и } MC$ на одном рисунке).

Ответ. 0

Олимпиадный уровень

Задача 1 ОЧ-2014 (10-11 класс). SuperOil

Открытый чемпионат школ МГУ · 2014 · 10 кл.

Общие издержки нефтедобывающей компании SuperOil, измеренные в долларах, описываются уравнением $TC=q^5-20q^3+197q,$ где q — количество баррелей нефти, добываемой компанией. Всю нефть компания поставляет на экспорт. Компания выбирает объём выпуска таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль. SuperOil занимает небольшую долю мирового рынка, поэтому не может влиять на сложившуюся цену.

В настоящий момент на мировом рынке сложилась цена 86 долларов за баррель нефти. Правительство страны, в которой производит свою продукцию компания SuperOil, не удовлетворено объёмом продаж компании по этой цене. Правительство решает назначить потоварную субсидию для SuperOil, выплачиваемую за каждый баррель проданной нефти, чтобы стимулировать компанию увеличить выпуск по меньшей мере на 3 барреля.

Укажите минимальный размер субсидии, который позволит правительству достичь своей цели.

Какой товар, такие и издержки

Московская олимпиада (МОШ) · 2017 · 8–9 кл.

Компания «Ёлки-иголки» занимается производством новогодних ёлок. На недавнем собрании обсуждались неудачные продажи в этом году: прибыль была отрицательной и составила − 5 условных единиц. Компания необычная, её кривая предельных издержек имеет нестандартный вид:

MC=\begin{cases}20-2Q, & \;\;0\leq Q\leq5 \\ \dfrac{7Q}{10}-\dfrac{1}{2}, & \;\;5\lt Q \leq15 \\ 30-Q, & 15\lt Q\leq 20 \\ \dfrac{2Q}{5}, & 20\lt Q\leq 25 \\ 20, & \;Q\gt25\end{cases}

Кривая предельной выручки также имеет похожий специфический вид:

MR=\begin{cases}2Q, & \;\;0\leq Q \leq5 \\ \dfrac{41}{2}-\dfrac{7Q}{10}, & \;\;5\lt Q \leq15 \\ Q-10, & 15\lt Q \leq20 \\ 20-\dfrac{2Q}{5}, & 20\lt Q \leq 25 \\ 0, & \;Q\gt 25\end{cases}

Причины столь плохих результатов были выявлены почти сразу: главный экономист компании пропускал лекции по микроэкономике в университете и что-то слышал про правило MR = MC, но совершенно не умеет им пользоваться. К тому же он перепутал графики MR(Q) и MC(Q)!

Совет сразу же уволил его и открыл вакансию нового главного экономиста, на которую Вы теперь претендуете. Все кандидаты должны решить следующие задачи (фирма может продавать нецелое количество ёлок: кому-то нужны только иголки):

(5 баллов) Изобразить правильный график предельных издержек и предельной выручки.
(7 баллов) Найти количество ёлок, которое фирма произвела в прошлом году.
(13 баллов) Посчитав ожидаемую прибыль от выбранного им выпуска, бывший главный экономист решил воспользоваться правилом «Если нет разницы – зачем производить больше?». Сколько произвела фирма по его совету с учётом этого правила?
(5 баллов) На сколько нужно изменить выпуск, чтобы наконец-то производить оптимальное количество ёлок (в сравнении с пунктом 3)? Какую прибыль получит фирма при таком выпуске?

Решение

а) Для начала построим график издержек: (3 балла)

Примечание: за неточности в графиках возможно снятие 1-2 баллов в зависимости от ошибки.

б) Вполне очевидно, что фирма зарабатывает, когда график MR выше, чем MC, и терпит убытки, когда все наоборот.

За идею о вычислении прибыли - 2 балла

Можно найти, сколько фирма будет зарабатывать. Для этого рассчитаем площади между кривыми MR и MC.

$S_{1}=50, S_{2}=70,S_{3}=25,S_{4}=10.$

За непосредственное вычисление прибыли в точках MR=MC - 3 балла.

Теперь посмотрим, какие прибыли могла получать фирма в точках MR=MC.

\pi(Q)=\begin{cases} -50,&Q=5 \\ 20,&Q=15 \\ -5,&Q=20 \\ 5,&Q=25 \\ \end{cases}

За вывод о том, что $Q^{*}=20 - 1 балл.$

Значит, в этом году фирма производила $Q=20$ елок.

Примечание: возможно решение через вычисление функций общей выручки и общих издержек, НО стоит понимать, что по функции MR можно восстановить TR только с точностью до константы, которая будет различна на всех предложенных отрезках.

в)

Если экономист решил воспользоваться правилом «Если нет разницы – зачем производить больше», то он должен был найти уровни выпуска, приносящие такую же прибыль, и выбрать наименьший из них. Проще всего это сделать нарисовав график прибыли и прямую $\pi=−5$ , и найдя значение выпуска в точке с наименьшим Q.

Нам подходят первые две точки, (в третьей точке MR=MC). Но по условию задачи мы должны брать минимальное Q, поэтому правильным ответом будет $Q_{1}=5-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ , которое можно вычислить как площадь трапеции.

Пусть при произвольном $Q^{*}$ площадь между кривыми MC и MR будет равна 5, тогда $S=\dfrac{Q^{*}(20-4Q^{*})}{5}=5$ , решив квадратное уравнение и отбросив больший корень находим правильный ответ: $Q^{*}=5-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.$

За вычисление правильного ответа - 5 баллов.

За обоснование того, что это именно он (сравнить со значением во второй точке или показать через график выше) - 3 балла

г) Из предложенного выше решения видно, что оптимальным выпуском для фирмы является $Q^{*}=15$ , в этой точке фирма заработает $\pi=20$ . Тогда фирме нужно увеличить свой выпуск на $10+\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$

*За определение оптимального количества - 2 балла

За вычисление правильного ответа - 1 балл*

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.