Производственная функция и отдача от масштаба

В пункте 1 приведено решение для произвольного $Q$, потому что это удобно для выводов пункта 2. Участник может решать первый пункт сразу для $Q = 25$, баллы за это не снижаются, схема проверки написана для решения при $Q = 25$. Решение для произвольного $Q$, выполненное в этом пункте, может принести баллы в пункте 2.

1. Пусть $q_1$ - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а $q_2$ - количество проектов, на которые фирма будет ставит только двух опытных консультантов, $q_1 + q_2 = Q$. Обозначим за $l$ количество неопытных консультантов, за $L$ –– количество опытных. Тогда $l = 3q_1$, $L = q_1 + 2q_2$. Затраты компании на услуги труда консультантов равны

$$C = 100l + L \cdot (240 + L)$$

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях $l = 3q_1$, $L = q_1 + 2q_2$, $q_1 + q_2 = Q$. Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре ($q_1$, $q_2$, $l$ и $L$), это можно сделать четырьмя способами (на олимпиаде, конечно, достаточно представить один корректный способ решения).

Способ 1 (по $q_2$). Подставим выражения для $l$ и $L$ в целевую функцию:

$$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100 \cdot 3q_1 + 240(q_1 + 2q_2) + (q_1 + 2q_2)^2$$

Затем, подставляя $q_1 = Q − q_2$, получаем

$$C = 540(Q − q_2) + 480q_2 + (Q + q_2)^2 = q_2^2 − (60 − 2Q)q_2 + Q^2 + 540Q$$

Фирма минимизирует значение этого выражения по $q_2$ на отрезке $[0; Q]$. Относительно $q_2$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $q^*_2 = 30 − Q$, если $q^*_2 ∈ [0; Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $q_2$ $(C′ = 2q_2 − (60 − 2Q))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума.

При $Q = 25$ имеем $q^*_2 = 30 − 25 = 5 ∈ [0; 25]$.

Способ 2 (по $q_1$). Подставим выражения для $l$ и $L$ в целевую функцию:

$$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100 ⋅ 3q_1 + 240(q_1 + 2q_2) + (q_1 + 2q_2)^2$$

Затем, подставляя $q_2 = Q − q_1$, получаем

$$C = 540q_1 + 480(Q − q_1) + (2Q − q_1)^2 = q^2_1 + (60 − 4Q)q_1 + 4Q^2 + 480Q$$

Фирма минимизирует значение этого выражения по $q_1$ на отрезке $[0; Q]$. Относительно $q_1$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $q_1^* = 2Q − 30$, если $q^*_1 ∈ [0; Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $q_1$ $(C' = 2q_1 + (60 − 4Q))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума.

При $Q = 25$ имеем $q^*_1 = 50 − 30 = 20 ∈ [0; 25]$.

Окончание способов 1 и 2. Значит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 – группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет $l = 3q_1 = 60$ неопытных и $L = q_1 + 2q_2 = 30$ опытных консультантов.

Способ 3 (по $l$). Выразим $q_1$ и $q_2$ через $l$ и $L$. $q_1 = l/3$, и поэтому $L = q_1 + 2q_2 = l/3 + 2q_2$. Отсюда $q_2 = \frac{L − l/3}{2}$. Значит, ограничение $q_1 + q_2 = Q$ принимает вид $l/3 + \frac{L − l/3}{2} = Q$, то есть $l/6 + L/2 = Q$. Oтсюда $L = 2Q − l/3$. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

$$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100l + 480Q − 80l + (2Q−l/3)^2 = l^2/9 + (20 − 4Q/3)l + 480Q + 4Q^2$$

Фирма минимизирует значение этого выражения по $l$ на отрезке $[0; 6Q]$. Относительно $l$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $l^* = 6Q − 90$, если $l^* ∈ [0; 6Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $l$ $(C' = 2l/9 + (20 − 4Q/3))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума.

При $Q = 25$ имеем $l^* = 150 − 90 = 60 ∈ [0; 6 \cdot 25]$. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет $60$ неопытных и $L^* = 2 \cdot 25 − l^*/3 = 30$ опытных консультантов.

Способ 4 (по $L$). Аналогично способу 3, получаем, что $l/6 + L/2 = Q$. Отcюда $l = 6Q − 3L$. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

$$C = 100l + L \cdot(240 + L) = L^2 + 240L + 100(6Q − 3L) = L^2 − 60L + 600Q$$

Фирма минимизирует значение этого выражения по $L$ на отрезке $[0; 2Q]$. Относительно $L$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $L^* = 30$, если $L^* ∈ [0; 2Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $L$ $(C' = 2L−60)$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума.

При $Q = 25$ имеем $L^* = 30 ∈ [0; 2 \cdot 25]$. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет $30$ опытных консультантов и $6 \cdot 25 − 3 \cdot 30 = 60$ неопытных консультантов. 2. Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного $Q$.

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то $q_1 = 0$, $q_2 = Q$, $l = 0$, $L = 2Q$ то есть $q_1$ и $l$ должны лежать на левой границе допустимого интервала, а $q_2$ и $L$–– на правой.

Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте 1, должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при $q_1 = 50$ и $q_2 = −10$, а при этом $Q = 40$, то нужно выбирать $q_1 = Q = 40$ и $q_2 = 0$).

В зависимости от способа решения пункта 1 (которое может быть в общем виде приведено в пункте 2, если пункт 1 решался для $Q = 25$) это будет или правая ($q_2 \ge Q$, $L \ge 2Q$), или левая ($q_1 \le 0$, $l \le 0$) граница найденного интервала.

Решая соответствующее неравенство ($q_1 = 2Q − 30 \le 0$ или $q_2 = 30 − Q \ge Q$ или $l = 6Q − 90 \le 0$ или $L = 30 \ge 2Q$), вo всех четырех случаях получаем $Q \le 15$.

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше $15$.

Рассмотрим произвольные $Q_1>0,Q_2>Q_1$ и докажем, что $AC(Q_2) < AC(Q_1)$.

(Это эквивалентно тому, что издержки вырастут в меньшее число раз, чем выпуск: $\frac{TC(Q_2)}{TC(Q_1)}< \frac{Q_2}{Q_1}$.)

Обозначим $t=\frac{Q_2}{Q_1}$.

Обозначим $x^*$ набор факторов, минимизирующий издержки при $Q_1$, и попробуем увеличить каждый из факторов ровно в t раз. Тогда, в силу постоянства цен, расходы на покупку набора факторов тоже вырастут в t раз:

$w_1\cdot tx^*_1+...+w_n \cdot tx^*_n = t(w_1 x^*_1+...+w_n x^*_n)=t\cdot TC(Q_1)$

При этом, в силу возрастающей отдачи от масштаба, выпуск вырастет больше чем в t раз, то есть превысит $Q_2$. Получается, мы нашли один из способов получить не меньше, чем $Q_2$, а значит, в силу свойства свободного выбрасывания, это является и способом получить ровно $Q_2$. Значит, $TC(Q_2)$ должны быть не больше, чем стоимость этого способа (поскольку по определению функции TC, $TC(Q_2)$ — это самый дешёвый способ получить $Q_2$):

$TC(Q_2) \le t \cdot TC(Q_1)$, то есть $AC(Q_2) \le AC(Q_1)$.

Тем самым мы пока что доказали, что AC нестрого убывают. Теперь воспользуемся непрерывностью функции f. Поскольку $f(t x^*) > Q_2$, то в силу непрерывности f мы можем подобрать такой $t_1 < t$, достаточно близкий к $t$, что всё ещё будет выполняться $f(t_1 x^*) > Q_2$, то есть покупка набора факторов $t_1 x^*$ — это тоже будет способ получить не меньше, чем $Q_2$, а значит, стоимость этого набора должна быть не меньше $TC(Q_2)$. Этот набор стоит $t_1\cdot TC(Q_1)$. Получаем:

$TC(Q_2) \le t_1\cdot TC(Q_1) < t\cdot TC(Q_1)$, откуда получаем $AC(Q_2) < AC(Q_1)$, что и требовалось доказать.