Совершенная конкуренция: решение фирмы

Рассмотрим сначала ту часть издержек фирмы, которая зависит от t:

$$f(t)=tq+(100-t^2),t∈[0,10]$$

Относительно t это парабола, направленная ветвями вниз, следовательно, минимальное значение на отрезке [0,10] эта функция принимает на одном из краев: либо в точке t=0 (где f(t)=100) либо в точке t=10 (где f(t)=10q). (2 балла)

Видно, что минимум функции на отрезке достигается во второй точке при q<10.

Поэтому если выпуск фирмы меньше 10, то фирма будет располагать свой завод на расстоянии 10 километров от города. И наоборот, если q>10, то фирма будет располагать свой завод непосредственно в городе. При q=10 фирме все равно, в какой из двух точек располагать свой завод: либо в городе, либо максимально далеко от него (в любой из этих точек f(t)=100). (1 балл)

Используя эти соображения, мы теперь можем записать суммарные издержки фирмы как функцию только от ее объема выпуска:

$$TC(q)=\begin{cases} q^2+10q, & q<10\\ q^2+100, & q\ge10 \end{cases}$$

(1 балл)

Следовательно, функция прибыли фирмы может быть записана следующим образом:

$$Pr(q)= \begin{cases} pq-q^2-10q, & q<10\\ pq-q^2-100, & q\ge10 \end{cases}$$

(1 балл)

Каждый из этих участков представляет собой параболу, с ветвями, направленными вниз, что позволяет легко найти максимальное значение прибыли для каждого из участков.

На первом участке максимум прибыли достигается при q=0,5p-5 и составляет

$Pr=(0,5p-5)^2$. (1 балл)

На первом участке максимум прибыли достигается при q=0,5p и составляет

$Pr=0,25p^2-100$. (1 балл)

Первый участок следует выбирать, когда максимальная прибыль на нем больше, чем на втором:

$(0,5p-5)^2 \ge 0,25p^2-100$ $p \le 25$

(Идея сравнения двух участков, при условии их корректного выписывания, оценивается в 2 балла, верно найденная граница для цены — еще в 1 балл)

Таким образом, фирме следует выбирать первый участок, когда цена ниже 25 (при этом, если цена падает до 10, то выпуск сокращается до нуля) и выбирать второй участок, когда цена больше 25. Если цена равна 25, то фирме все равно, какой из участков выбирать, так как максимальная прибыль на каждом из них совпадает (в ответе для определенности точка p=25 включена в последний участок):

$$q= \begin{cases} 0, & p \le 10 \\ 0,5p-5, & 10 < p < 25 \\ 0,5p, & p \ge 25 \end{cases}$$

(3 балла, если верно указаны все участки. Если забыт нулевой участок, то на один балл меньше. Если в ответе указан только один из участков, то ноль баллов)

(2 балла за рисунок)

Разрыв в функции предложения возникает из-за того, что, когда цена превышает определенный порог, фирме становится выгодно перенести свое производство с периферии непосредственно в город, что обнуляет транспортные расходы и способствует резкому увеличению выпуска.

Комментарий к оцениванию:

Для решения задачи нужно использовать две важные промежуточные идеи:

Завод выгодно располагать либо в самом городе, либо максимально далеко от него. Промежуточные варианты не оптимальны.

Сравнение прибыли, получаемой на двух участках функции прибыли. (Это традиционная олимпиадная идея, которая встречалась, например, и в региональном этапе прошлого года.)

Если ни одна из этих идей не возникла, то задача полностью провалена, и оценить ее можно только нулем баллов.

Ответ

$$q= \begin{cases} 0, & p \le 10\\ 0,5p-5, & 10 < p < 25\\ 0,5p, & p \ge 25 \end{cases}$$

Пусть $\beta$ — снижение процента брака, тогда доля продукции с дефектом составит $\alpha − \beta$. Задача фирмы:

$\pi (q, \beta) = 8(1 − \alpha + \beta)q − q^2 − 2(\alpha − \beta)q − 25\beta \longrightarrow \max_{q>0, \alpha>\beta>0}$ (5 баллов)

Далее можно действовать двумя способами.

Способ 1:

Заметим, что прибыль $\pi (q, \beta)$ является линейной функцией относительно $\beta$, значит, максимум прибыли будет достигаться в крайних точках области определения (2 балла). Так как $\beta \in [0, \alpha]$, то в оптимуме либо $\beta = 0$, либо $\beta = \alpha$ (2 балла).

Если $\beta = 0$, то целевая функция принимает вид:

$\pi (q) = 8(1 − \alpha)q − q^2 − 2q\alpha \longrightarrow \max_{q>0}$ (1 балл)

Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является

$$q=\begin{cases} 4 − 5\alpha, & \text{если }\alpha \le 0,8; \\ 0, & \text{если }\alpha > 0,8.\end{cases}$$

(1 балл за каждую строчку системы)

Тогда максимум прибыли составит

$$\pi=\begin{cases} (4 − 5\alpha)^2, & \text{если }\alpha \le 0,8; \\ 0, & \text{если }\alpha > 0,8. \end{cases}$$

(1 балл за каждую строчку системы)

Если $\beta = \alpha$, то целевая функция принимает вид:

$\pi (q) = 8q − q^2 − 25\alpha \longrightarrow \max_{q>0}$ (1 балл)

Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является $q = 4$ (1 балл), тогда максимум прибыли составит $\pi = 16 − 25\alpha$ (1 балл).

Теперь остается сравнить прибыль в двух случаях.

При $\alpha \le 0,8$ сравниваем $(4 − 5α)^2$ и $16 − 25\alpha$ (1 балл). Получаем, что

$\bullet$ при $\alpha < 0,6$: $\beta = \alpha$, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)

$\bullet$ при $\alpha = 0,6$: $\beta = 0$ или $\beta = \alpha$, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)

$\bullet$ при $\alpha \in (0,6; 0,8]$: $\beta = 0$, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)

При $\alpha > 0,8$ сравниваем 0 и $16 − 25\alpha$ (1 балл). Получаем, что при $\alpha > 0,8$ всегда нерационально вкладываться в снижение брака, поэтому $\beta = 0$. (1 балл)

Способ 2:

График прибыли $\pi (q, \beta)$ как функции от выпуска является параболой с ветвями вниз (2 балла), поэтому оптимальным выпуском является

$$q=\begin{cases} 4 − 5\alpha + 5\beta, & \text{если }\alpha − \beta \le 0,8; \\ 0, & \text{если }\alpha − \beta > 0,8.\end{cases}$$

(2 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)

Тогда максимум прибыли составит

$$\pi(\beta)=\begin{cases} 25\beta^2 + (15 − 50\alpha)\beta + (4 − 5\alpha)^2, & \text{если }\alpha − \beta \le 0,8; \\ −25\beta, & \text{если }\alpha − \beta > 0,8. \end{cases}$$

(4 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)

При $\alpha − \beta \le 0,8$ графиком зависимости максимальной прибыли от снижения брака является парабола с ветвями вверх, значит, максимум будет достигаться в одном из концов области определения (2 балла). Поэтому в оптимуме или $\beta = 0$, или $\beta = \alpha$ (2 балла). Абсцисса вершины этой параболы $\beta_0 = \alpha − 0,3$. Парабола симметрична относительно прямой $\beta = \beta_0$ (1 балл), поэтому максимум прибыли будет достигаться

$\bullet$ в левой границе $\beta = 0$, если $\beta_0 > 0,5\alpha$ (т.е. если вершина правее середины отрезка);

$\bullet$ в правой границе $\beta = \alpha$, если $\beta_0 < 0,5\alpha$ (т.е. если вершина левее середины отрезка);

$\bullet$в обоих концах, если $\beta_0 = 0,5alpha$.

Таким образом,

$\bullet$ при $\alpha < 0,6$: $\beta = \alpha$, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)

$\bullet$ при $\alpha = 0,6$: $\beta = 0$ или $\beta = \alpha$, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)

$\bullet$ при $\alpha \in (0,6; 0,8]$: $\beta = 0$, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)

При $\alpha − \beta > 0,8$ максимальная прибыль убывает по $\beta$ (1 балл), следовательно, для максимизации функции $\pi(\beta)$ на отрезке $\beta \in [0, \alpha]$ необходимо брать минимальное допустимое значение $\beta$: $\beta = 0$. Тогда $\alpha − \beta > 0,8$ эквивалентно $\alpha > 0,8$, то есть при $\alpha > 0,8$ фирме не выгодно вкладываться в снижение брака (1 балл).