Знахарь и злой дух. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (7-8 класс)

Знахарь Ефимыч может собирать грибы $(x)$ и ягоды $(y)$. Ефимыч знает, как грибы и ягоды нужны лесу, но при этом сам вынужден собирать их для своих лечебных отваров, поэтому его функция полезности равна:

$U(x, \ y)=100-(x-12)^2-(y-8)^2$

а) ( $3$ балла) При каких $x$ и $y$ достигается максимальная полезность знахаря $U_{max}$ ?

б) ( $3$ балла) За день у него хватает времени, чтобы собрать не больше $20$ грибов, при этом каждый гриб искать приходится в $k>0$ раз дольше, чем каждую ягоду. Найдите все такие значения $k$, что знахарь может достичь своей максимальной полезности $U_{max}$, которую вы нашли в предыдущем пункте.

В лесу появился злой дух, который хочет испортить жизнь знахарю. После того как Ефимыч соберет грибы и ягоды, он может наложить на знахаря заклятие изменения, из-за чего все грибы станут ягодами, а ягоды — грибами. Дух старается сделать полезность знахаря как можно меньше. Если злому духу безразлично накладывать заклятие или нет, он предпочитает не делать этого. Ефимыч знает о существовании духа и о том, что тот пытается уменьшить его полезность.

в) ( $5$ баллов) При $k=1$ определите, сколько ягод и грибов нужно собрать знахарю, чтобы достичь наибольшей полезности за один день.

г) ( $1$ балл) Наложит ли злой дух заклятие на знахаря при такой стратегии?