Из возрастающей отдачи от масштаба следует убывание AC

Рассмотрим непрерывную производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Она показывает максимальное количество продукта, которое можно получить, имея данный набор факторов производства $\vec x=(x_1,...,x_n)$. Количества всех факторов и выпуска неотрицательны. Цены всех факторов $w_1,...,w_n$ фиксированы.

Докажите, что если функция $f$ обладает возрастающей отдачей от масштаба, то функция средних издержек убывает.

Для справки:

Определение возрастающей отдачи от масштаба (Increasing Returns to Scale, IRS):

$f(t \vec x )>tf(\vec x) \text{ для любых } t>1, \vec x\neq \vec 0$

Или, расписав это неравенство подробно:

$f(tx_1,...,tx_n )>tf(x_1,...,x_n)$

То есть, если все факторы производства увеличить в t>1 раз, то выпуск вырастет больше чем в t раз.

Функция общих издержек $TC(Q)$ показывает минимальную сумму денег, которую нужно затратить, чтобы иметь в своём распоряжении $Q$ единиц продукта. Предполагаем, что можно бесплатно выбрасывать любое количество товара, поэтому определение функции издержек в данном случае можно записать так:

$TC(Q)=\min\limits_{\vec x} \{w_1x_1+...+w_nx_n\}$ при условии $f(\vec x)\ge Q$.