Страхование, моральный риск и неблагоприятный отбор

Заметим, что $a+b+d=1,5$. Составим таблицу с расчетом стоимости всех активов Кузьмы в разных случаях и подставим $d=1,5-a-b$:

(Изначальные коэффициенты перед $a$ и $b$ рассчитаны как отношение новой и старой цены, то есть показывают, во сколько раз увеличиваются вложения. Соответствующее количество акций равно $a/10$ и $b/10$, а их стоимость через год, скажем, при хорошей погоде равна $20a/10=2a$ и $7a/10=0,7b$.)

а) Каждая из двух получившихся функций возрастает по одной из переменных ($a$ или $b$) и убывает по другой. Значит, для максимизации нужно выбирать максимально возможное значение одной переменной (1,5) и минимальное значение другой (0). Таким образом, нужно вкладывать в акции определенной компании все 1,5 миллиона, не оставляя ничего на депозите.

К такому же выводу можно было прийти, сравнив доходности трех активов: у депозита она равна 10%, у компании А в хорошую погоду и у компании В в плохую погоду — больше ($100\%$ и $40\%$), а у компании В в хорошую погоду и у компании В в плохую погоду — меньше ($-40\%$ и $-30\%$).

Таким образом, при хорошем прогнозе погоды Кузьма вложит все деньги в акции компании А, а при плохом — вложит все деньги в акции компании В, не оставляя ничего на депозите. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 150 тыс. акций соответствующей компании.) В первом случае ожидаемая стоимость портфеля через год будет равна 3 млн руб., а во втором она будет равна 2,1 млн руб.

Примечание. Необязательно записывать функции конечной стоимости портфеля именно так, как они записаны выше. В частности, можно выразить из равенства $a+b+d=1,5$ другую переменную и максимизировать функцию по оставшимся, или решать задачу условной максимизации.

б) Найдем, при каком условии стоимость портфеля в хорошую погоду будет не меньше, чем в плохую (то есть минимальной будет стоимость портфеля при плохой погоде):

$$1,65+0,9a-0,4b \ge 1,65-0,5a+0,3b \Leftrightarrow 2a\ge b.$$

Минимальная (из двух типов погоды) стоимость портфеля Кузьмы составит

$$\min\{S_g; S_b\}= \begin{cases} 1,65+0,9a-0,4b, & \text{если } 2a\le b;\\ 1,65-0,5a+0,3b, & \text{если } 2a\ge b. \end{cases}$$

Кузьма стремится, чтобы значение этого выражения было максимально, выбирая $a$ и $b$, удовлетворяющие условиям $a\geqslant 0$, $b\geqslant 0$, $a+b\leqslant 1,5$. (Значение $d$ затем определяется автоматически из условия $d=1,5-a-b$.)

Зафиксируем $a$ и найдем оптимальное $b$ при каждом $a$. Как видно из формулы минимальной стоимости портфеля, Кузьме нужно выбирать самое маленькое $b$ при $2a\le b$ и самое большое $b$ при $2a\ge b$. Так или иначе, решением будет $b=2a$, то есть ему нужно сделать так, чтобы стоимость портфеля была одинакова независимо от погоды.

Тогда стоимость активов будет равна

$$S= 1,65+0,9 a-0,4\cdot 2a=1,65+0,1a.$$

Видно, что эта функция возрастает по $a$, то есть оптимальным будет максимальное значение $a$, удовлетворяющие условию $a+2a\leqslant 1,5$, откуда $a=0,5$, $b=2a=1$, $d=0$.

Итак, Кузьма должен вложить 500 тыс. руб. в акции компании A и 1 млн руб. в акции компании B. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 50 тыс. акций компании A и 100 тыс. акций компании B.) Стоимость портфеля через год при этом будет равна

$S= 1,65+0,1\cdot 0,5=1,7$ млн руб. независимо от погоды.

Примечание. Как мы видим, оптимальной в данном случае является покупка акций обеих компаний. Это явление получило название диверсификация портфеля или хеджирование рисков. Действительно, если доходность двух акций находится «в противофазe» (экономисты говорят в этом случае об «отрицательной корреляции»), покупка акций второго типа является страховкой от убытков по акциям первого типа, и наоборот.

в) Если Кузьма не платит Гидрометцентру, то, как мы нашли в пункте б), при использовании острожной стратегии он получает 1,7 млн. Рассматривая возможность заплатить гидрометцентру, при осторожной стратегии он должен исходить из плохого прогноза, поскольку там доходность меньше — он будет согласен заплатить $X$, если даже в худшем случае стоимость его портфеля не уменьшится по сравнению с пунктом (б). Если он заплатит сумму $X$, то при плохом прогнозе вложит в акции компании В $(1,5-X)$ млн руб. Стоимость его активов в конце, таким образом, составит $1,4(1,5-X)$.

Чтобы заплатить Гидрометцентру было выгодно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$$1,4(1,5-X)\ge 1,7.$$

Отсюда $X\le 2/7$ млн руб.

а) Обозначим за $x_{1}$ вместимость трибуны за воротами, $x_{2}$ — центральной трибуны, $x_{1}+x_{2} =x.$ Когда стадион уже построен, фирма при установлении цен будет воспринимать $x_{1}$ и $x_{2}$ как данные. При установке цен фирма просто будет максимизировать $TR_{1}$ или $TR_{1+2}$ в зависимости от того, какой из случаев реализовался, при ограничении, что количество проданных абонементов не может быть больше, чем вместимость соответствующей трибуны.

Независимо от того, предъявляет ли спрос вторая группа, для фанатов фирма будет решать задачу $q_{1}(60-q_{1}) \to max$ при условии $0 \le q_{1} \le x_{1}$.Ее решением является $q_{1}^{*}=x_{1}$ при $x_{1} \le 30$ и $q_{1}^{*}=30$ в противном случае.

Для ценителей красивой игры (если они присутствуют) задача аналогична: $q_{2}(100-q_{2}) \to max$ при условии $0 \le q_{2} \le x_{2}$. Ее решением является $q_{2}^{*}=x_{2}$ при $x_{2} \le 50$ и $q_{2}^{*}=50$ в противном случае.

В периоде 0 фирма будет выбирать $x_{1}$ и $x_{2}$, осознавая, что в будущем она будет выбирать объемы, найденные выше. Заметим, что выбирать $x_{1} \gt 30$ или $x_{2}\gt 50$ не может быть выгодно, так как дополнительных денег от продажи билетов это не принесет, а предельные издержки постройки дополнительных мест положительны. Поэтому при поиске оптимальных $x_{i}$ мы можем ограничиться рассмотрением $x_{1} \le 30$ и $x_{2}\le 50$. Тогда ожидаемая приведенная стоимость будет равна

$$-5000-100(x_{1}+x_{2})+(0,5TR_{1}+0,5(TR_{1}+TR_{2}))\dfrac{1\backslash(1+r)}{1-\frac{1}{1+r}}= -5000-100(x_{1}+x_{2})+\dfrac{1}{r}(x_{1}(60-x_{1})+0,5x_{2}(100-x_{2}))= 10x_{1}(60-x_{1})-100x_{1}+5x_{2}(100-x_{2})-100x_{2}-5000.$$

(Мы смогли воспользоваться формулой, данной на титульном листе, так как числители всех дробей оказались одинаковы.)

Заметим, что целевая функция является суммой двух слагаемых, каждое из которых зависит только от одной переменной, и поэтому мы можем максимизировать их по отдельности. Каждое из них является функцией, графиком которой является парабола с ветвями вниз, отсюда находим $x_{1}^{*}=25, x_{2}^{*}=40.$

Значит, $p_{1}=60-25=35, p_{2}=100-40=60$, а полная оптимальная вместимость стадиона равна 65.

б) Теперь фирма в каждом из случаев выбирает цену p и объем продаж q, воспринимая общую вместимость x как заданную. Вместимость x является переменной, которая потенциально влияет на выручку как в случае низкого, так и в случае высокого спроса, и связывает эти две ситуации.

Если спрос предъявляют только фанаты, задача максимизации выручки останется прежней, ее решением является $q=x$ при $x \le 30$ и $q=30$ в противном случае.

Если спрос предъявляют обе группы, фирма будет максимизировать выручку на суммарной функции спроса, имеющей вид

$$D(p)\begin{cases} 100 − p, & 60 < p \le 100; \\ 160 − 2p, & 0 \le p \ge 60.\end{cases}$$

Легко проверить, что оптимальным объемом (при ограничении на вместимость) будет являться $q^{*}=x$ при $x \lt 80$ и 80 в противном случае.

Тогда при оптимальном выборе объемов

$$0,5TR_{1}+0,5TR_{1+2}=\begin{cases} 0,5x(60-x)+0,5x(100-x), & x \le 30; \\ 450+0,5x(100-x), & 30 \lt x \le 40; \\ 450+0,5x(80-x/2), & 40 \lt x \le 80; \\ 450+1600, x\gt 80. \end{cases}$$

Обозначим эту функцию за $f(x)$. Тогда ожидаемая приведенная стоимость равна $\dfrac{1}{r}f(x)-C=10f(x)-100x-5000.$ Выпишем эту функцию:

$$NPV(x)=-5000 + \begin{cases} 700x-10x^{2}, & x \le 30; \\ 450+400x-5x^{2}, & 30 \lt x \le 40; \\ 450+300x-2,5x^{2}, & 40 \lt x \le 80; \\ 20500-100x, x\gt 80. \end{cases}$$

На каждом из участков, кроме последнего, графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. При этом вершина параболы, соответствующей первому участку — $x^{*}=35$ — лежит справа от этого участка, поэтому функция монотонно возрастает на нем. Вершина параболы, соответствующей второму участку — $x^{*}=40$ лежит на его конце, и поэтому функция монотонно возрастает на втором участке. Вершина параболы, соответствующей третьему участку — $x^{*}=60$, принадлежит этому участку, а на последнем участке функция монотонно убывает. Поэтому оптимальная вместимость — $x^{*}=60$.

Таким образом, если спрос предъявляют только фанаты, фирма продаст 30 абонементов по цене $60-30=30$, а если спрос предъявляют обе группы — 60 абонементов по цене $80-60/2=50$.