Арбитраж, форвардная цена и валютный курс

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Маша выбирает в магазине кофе. Кофе, который она обычно покупает, сейчас продается в двух видах упаковки. Первый пакет весом 200 г стоит 500 рублей, и это обычная розничная цена для этого кофе. На втором пакете написано «акция», и за 250 г выставлена цена 550 рублей. Сколько грамм кофе получит Маша бесплатно, купив второй пакет?

Р2

Задача Р2

Женщины любят получать определенные подарки (ювелирные украшения/бижутерию, парфюм, цветы). Большинство мужчин не разбирается в этих вещах и часто делает ошибки, негативно сказывающиеся на отношениях между сторонами. Не лучше ли женщинам изменить свои запросы ("заказы") так, чтобы мужчинам было проще дарить им подарки, или же есть рациональное объяснение того, что именно текущая система для многих женщин является оптимальной? Аргументируйте свой ответ.

Р3

Задача Р3

Рассмотрите отрасль, в которой действуют 100 максимизирующих прыбыль фирм, производящих товар Х. Все фирмы обладают одинаковыми технологиями производства с функциями совокупных издержек $TC(q_x)=cq_x$ , где $q_x$ - объем выпуска, $c > 0$ . Спрос на продукцию отрасли задан функцией: $Q^d(p)=\begin{cases} A-p, p \leq A \\ 0, p > A \end{cases}$ , где $A > 2c$ .

(а) Сравните изменение рыночной цены, вызванное введением потоварного налога со ставкой $t$ , где $t < c$ , для следующих случаев:

(1) в отрасли имеет место совершенная конкуренция (при заданном количестве фирм),

(2) в отрасли имеет место сговор, т.е. все фирмы объединились в картель.

(б) Как изменится ваш ответ на вопрос пункта (а), если функция спроса не является линейной, а имеет вид $Q^d(p)=p^{-b}$ , где $b > 1$ ?

Решение

(а) Равновесие при совершенной конкуренции – 1 балл.

В условиях совершенной конкуренции цена соответствует предельным издержкам производства.

Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

Введение потоварного налога влечет увеличение предельных издержек на величину, равную налоговой ставке, а потому цена возрастет в точности на ставку налога: $\Delta p^{\text{конк}}=t.$

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

В случае сговора фирмы продают продукцию по монопольной цене.

Найдем цену монополиста, решив задачу

\underset{(p)}{max}(p-c)(A-p)=\underset{(p)}{max}(-p^{2}+(A+c)p-Ac).

Итак,

p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

**Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.**Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{t}{2}.

Сравнение – 1 балл.

Таким образом, цена выросла меньше, чем при совершенной конкуренции.

(б) Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

В случае совершенной конкуренции не зависимо от вида функции спроса цена возрастет на величину налоговой ставки, так как мы имеем дело с горизонтальной кривой предложения.

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

Найдем цену при монополии, решив задачу $\underset{(p)}{max}(p-c)p^{-b}.$

Условие первого порядка $-b(p-c)p^{-b-1}+p^{-b}=0$ , откуда находим $p^{M}=\dfrac{c}{1-1/b}.$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Таким образом, в этом случае $\Delta p^{M}=\dfrac{t}{1-1/b}>t=\Delta p^{\text{конк}},$ поскольку $b>1$ , т.е. монопольная цена возрастет сильнее, чем конкурентная.

Сравнение – 2 балла.

В случае совершенной конкуренции при горизонтальной кривой предложения (обусловленной постоянством предельных издержек) вид функции спроса влияет лишь на изменение объема продаж, но не оказывает влияние на изменение цены.

В случае монополии, напротив, вид функции спроса оказывает решающее значение, поскольку определяет вид кривой предельной выручки.

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Юный финансист

ВсОШ · муниципальный этап · 2019 · 9 кл.

Юный финансист Фрэнк, думая о своем будущем, решает, как выгоднее всего сохранить до окончания школы накопленные к концу 9-го класса 100 ливро.

Его друг Элджернон предлагает сделку: сейчас Фрэнк даёт другу 100 ливро взаймы, а ровно через два года, к окончанию 11-го класса, получает от Элджернона 200 ливро.

Второй альтернативой является «Супервыгодный» двухлетний ливровый вклад в банке под 40% годовых (проценты начисляются каждый год на всю сумму, лежащую в банке).

Третий вариант самый изощрённый: Фрэнк может перевести ливро в иностранную валюту – тюбинги, – и открыть вклад «Забугор» так же на два года. Проценты по вкладу «Забугор» начисляются каждый год на всю сумму по ставке 20 % годовых. Сейчас один тюбинг можно купить за 20 ливро.

По прогнозам никогда не ошибающихся аналитиков, через два года (как раз тогда, когда истечёт срок вклада «Забугор») эта цена вырастет до 30 ливро за тюбинг. Сколько ливро на руках будет у Фрэнка через 2 года, если он максимизирует доход?

Теория

Акции, производные инструменты и арбитраж

Производные инструменты

Инструмент	Что даёт
Колл-опцион	право (не обязанность) купить актив по цене исполнения $K$
Пут-опцион	право продать актив по цене $K$
Форвард	обязательство купить или продать в будущем по оговорённой цене (внебиржевой договор)
Фьючерс	стандартизированный форвард, торгуется на бирже
Своп	обмен активами или платежами с обязательством обратного обмена

Выплата колла при цене актива $S$ в момент исполнения max ${S-K; 0}$ , пута max ${K -S; 0}$ . Покупатель опциона платит продавцу премию (цену опциона).

**Рис. 84.1:** Выплаты колли пут-опционов; пунктир с учётом премии

При одинаковой средней цене актива более изменчивое распределение даёт более высокие ожидаемые выплаты и по коллу, и по путу: главный фактор стоимости опциона это вола**тильность.

Форвардная цена

Без промежуточных выплат и издержек хранения $F = S(1 + r)^{T}$ . Если актив стоит 100, ставка 10%, срок год, то $F = 110$ .

Арбитраж

Арбитраж это возможность получить прибыль без риска и без своих денег. Если форвард продают по 115, можно занять 100, купить актив, продать его по форварду за 115, вернуть 110 и получить 5.

Репликация: портфели с одинаковыми выплатами должны стоить одинаково. Отсюда цены одних активов находят через цены других (сюжет заключительного этапа 2025 «Цены одних активов через цены других»). Например, портфель «акция плюс пут» даёт те же выплаты, что «колл плюс безрисковая облигация с номиналом $K$ », поэтому их цены равны (паритет пут-колл).

Репликация: цена опциона по двум состояниям

Пример

Дождь или солнце

Завтра возможны два состояния: дождь или солнце. Акция стоит сегодня 50 и завтра принесёт 100 при дожде и 20 без дождя. Пут-опцион стоит 10 и приносит 0 при дожде и 20 без дождя. Колл-опцион приносит 40 при дожде и 0 без дождя. Сколько должен стоить колл? Процентами за один день пренебрегаем.

Решение. Соберём портфель из $x$ акций и $y$ путов с теми же выплатами, что у колла: при дожде $100x = 40$ , без дождя $20x + 20y = 0$ . Отсюда $x = 0{,}4$ , $y = -0{,}4$ (путы нужно продать). Стоимость портфеля $50 \cdot 0{,}4 - 10 \cdot 0{,}4 = 16$ .

Ответ. 16: иначе можно продавать дорогой из двух одинаковых активов и покупать дешёвый, получая арбитраж.

Разбор: «Находим цены одних активов через цены других» (заключительный этап 2025)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Форвард, пут и экзотический контракт

Акция без дивидендов стоит 220, безрисковая облигация с номиналом 22 через год стоит 20 (доходность 10%). Арбитража нет.

Решение. Форвард (обязанность купить акцию через год за 220) приносит $X_{1} - 220$ . Портфель «форвард плюс 10 облигаций» приносит $X_{1}$ , как одна акция, поэтому стоит 220: цена форварда $220 - 10 \cdot 20 = 20$ .

Пут (право продать за 220) при цене колла (право купить за 220) 30: колл приносит max ${X_{1} - 220; 0}$ , а форвард плюс пут приносит $(X_{1} - 220) +$ max ${220 - X_{1}; 0}$ , то есть то же самое. Цена пута $30 - 20 = 10$ .

Экзотический контракт приносит 0 при $X_{1} \le 150$ , затем растёт с наклоном 2 до 200 при $X_{1} = 250$ , затем падает с наклоном $-2$ до 100 при $X_{1} = 300$ и дальше постоянен. Такие же выплаты даёт портфель: 2 колла со страйком 150, минус 4 колла со страйком 250, плюс 2 колла со страйком 300 (наклоны меняются в точках излома на $+2$ , $-4$ , $+2$ ). При ценах коллов 80, 10 и 1 цена контракта $2 \cdot 80 - 4 \cdot 10 + 2 \cdot 1 = 122$ .

Ответ. 20; 10; 122. Любой кусочно-линейный контракт собирается из коллов со страйками в точках излома.

Валютный курс

Валютный рынок

**Рис. 101.1:** Рост спроса на доллары ослабляет рубль; падение экспортной выручки тоже

Спрос на одну валюту это одновременно предложение другой.

Пример

Поезд Москва-Симферополь

Спрос пассажиров на гривны $Q_{dg} = \dfrac{6000}{P_g} - 500$ ( $P_g$ цена гривны в рублях), спрос на рубли у продающих гривны $Q_{dr} = \dfrac{1500}{P_r} - 4000$ .

Решение. Купить $1500P_g - 4000$ рублей это продать $\dfrac{1500P_g - 4000}{P_g}$ гривен, поэтому предложение гривен $Q_{sg} = 1500 - \dfrac{4000}{P_g}$ . Равновесие: $\dfrac{6000}{P_g} - 500 = 1500 - \dfrac{4000}{P_g}$ , $P_g = 5$ рублей;

обменяют 3500 рублей на 700 гривен.

Реальный валютный курс

Если $e$ цена единицы отечественной валюты в иностранной, а $P_{d}$ и $P_{f}$ уровни цен:

\mathit{RER} = e \cdot \frac{P_d}{P_f}.

Рост $\mathit{RER}$ означает, что отечественные товары стали относительно дороже для иностранцев. Если курс задан как число рублей за доллар, дробь переворачивается. Паритет покупательной способности утверждает, что в долгом периоде $\mathit{RER}$ стремится к 1: одинаковые товары стоят одинаково в разных странах.

Курс в микрозадачах

Если фирма покупает сырьё за рубежом или продаёт на экспорт, все величины переводят в одну валюту. Пример (заключительный этап 2012): монополист покупает сырьё на 5 долларов на килограмм, остальные издержки $5Q^{2}$ рублей, продаёт внутри по спросу $P = 90 - 5Q$ и за рубежом по 10 долларов. Тогда $\mathit{TC} = 5q^{2} + 5eq$ , $\mathit{MC} = 10q + 5e$ , внешняя цена $10e$ рублей, и задача сводится к монополисту с внешним рынком (глава 52).

Паритет покупательной способности на примере

Ставки и ожидаемый курс

Разбор: девальвация и ВВП в долларах (региональный этап 2024/25)

Разбор олимпиадной задачи

Какой ВВП может упасть

Национальная валюта резко обесценилась, выпуск не изменился, цены внутри выросли. Какой показатель ВВП может снизиться?

Решение. Реальный ВВП в национальной валюте и ВВП по ППС в постоянных ценах отражают объём и не меняются; номинальный ВВП в национальной валюте растёт вместе с ценами. ВВП в текущих долларах равен номинальному ВВП, делённому на курс: если валюта подешевела сильнее, чем выросли цены, он падает.

Ответ. ВВП в текущих долларах.

Задачи

Базовый уровень

Облигация Большого Билла

Конкурс РЭШ · 2015

Вы работаете менеджером пенсионного фонда «Светлое будущее», который вкладывает средства в облигации. Сначала вы покупаете облигацию по какой-то цене $P$ , а по окончании срока ее действия (через $T$ лет) вы получаете сумму $N$ (больше никаких платежей нет, это называется дисконтная облигация), при этом $N>P$ , так что вы фактически даете взаймы тому, кто выпустил облигацию. У вас есть возможность вложить деньги в в облигации трех видов, количество облигаций каждого вида может быть любым.

Облигация	P	N	T
Первая	8 500	10 000	1
Вторая	7 000	10 000	2
Третья	5 500	10 000	3

Большой Билл из инвестиционного банка «Золотое Руно» предлагает финансовую инновацию - облигацию «Тройка». Облигация «Тройка» - это трехгодичная облигация, по истечении которой вы получаете сумму $N=100\:000$ , а кроме того, получаете сумму $C=20\:000$ рублей в конце каждого года ее срока действия, начиная с первого (это называется купонная облигация). Таким образом, поток платежей по этой облигации выглядит следующим образом:

Сейчас	Через год	Через 2 года	Через 3 года
-P	20 000	20 000	20 000 + 100 000

В связи с высокой доходностью, Большой Билл ожидает большой спрос на новый финансовый инструмент и предлагает «Светлому будущему» купить «Тройку» по цене 100 000 рублей.

Выгодно ли вам покупать облигацию «Тройка» по такой цене?
По какой максимальной цене вам выгодно согласиться покупать облигацию «Тройка»?

Цены на яблоки

ВсОШ · муниципальный этап · 2017 · 7–8 кл.

Оксана живёт в Венгерии, её ежемесячный доход составляет 5000 венгриков, Полина живёт в Гринляндии и каждый месяц получает 60 гринчиков. Известно, что страны поддерживают постоянный курс валют, такой, что 1 гринчик равен 125-ти венгрикам. Цены на яблоки в Венгерии и Гринляндии также отличаются, и их соотношение соответственно равно $2 : 1$ . Во сколько раз больше яблок может купить Полина?

Средний уровень

Спекулянт Александр

Высшая проба · 2015 · 11 кл.

Студент Александр из России учится на экономиста в Германии. У Саши есть банковский счёт как в Германии, так и в России, и он может легко взять кредит или открыть депозит через онлайн-банкинг в обоих банках.

Допустим, что в обоих банках ставка по депозитам равна ставке по кредитам, однако между банками ставка различается. Так, если Саша откроет депозит (возьмёт кредит) в России, то он получит (заплатит) 20% годовых, в то время как в Германии аналогичная ставка равна 5%.

Назовите причины различий в банковских процентных ставках между странами. (Назовите не менее 2 причин)

Предположим, что текущий курс рубля к евро равен 75 RUB/EUR.

Сможет ли Саша извлечь прибыль, если он твёрдо уверен, что на фоне политических событий и ухудшения экономической ситуации 1 евро будет стоить ровно 90 рублей через 1 год (и его ожидания оправдаются)? Если да, то как, если нет, то объясните, почему.

Допустим, что ожидания Саши не оправдались и обменный курс остался на прежнем уровне.

Чему будет равен доход/убыток Саши, при реализации стратегии из пункта 2?

Каждый год Александр должен оплачивать обучение в размере 300 евро. Если он не сможет заплатить данную сумму, то будет исключён из университета. Поскольку он не работает, то родители ежегодно присылают ему 24000 рублей за несколько дней до окончания срока оплаты обучения. Очевидно, если в конце года курс составит 90 рублей за 1 евро, то Саша будет неспособен внести взнос и не сможет продолжить обучение.

При каком обменном курсе 24000 рублей будет достаточно для оплаты обучения?
Может ли Саша остаться в университете, если он верит, что курс будет 90 рублей (и его ожидания оправдаются)?
Что изменится, если ожидания Саши не оправдаются, и евро вырастет лишь до 82.5 рублей?

Решение

1) (2 балла) Различные значения инфляции, ставок рефинансирования, суверенных рейтингов стран и т.д.

Примечания к пункту 1

Заметим, что некоторые варианты ответов не могут быть засчитаны как полный ответ. Например, сдерживающая или стимулирующая монетарная политика как таковая не объясняет разницу между процентными ставками. Для полноты ответа в таком случае необходимо указать, что в зависимости от типа монетарной политики Центральный банк устанавливает различную ставку рефинансирования, что является одной из ключевых причин различия процентных ставок между странами.

2) (6 баллов) В начале года Саша должен взять кредит в российском банке в размере, например, $75000$ рублей под $20\%$ в год, перевести рубли в евро и положить их на счет в немецком банке. Через год Саша получит $1000 \cdot 1.05 = 1050$ евро, или же $1050\cdot 90=94500$ рублей, из которых он должен будет отдать $75000\cdot 0.2= 15000$ рублей в качестве оплаты процентов за кредит. Итого, в конце года прибыль Александра составит $94500 − 75000 − 15000 = 4500$ рублей.

Примечания к пункту 2

Заметим, что именно при такой стратегии (в начале года взять кредит в российском банке, перевести в евро по старому курсу, положить на депозит в немецком банке, в конце года снять деньги и перевести и в рубли по новому курсу) Саша получает спекулятивную прибыль. И именно при такой стратегии она будет максимальна. Только за такое решение ставился полный баллза данный пункт. Любая другая стратегия принесла бы Саше меньшую, нулевую или отрицательную прибыль. Соответственно, если участник привел другую стратегию (которая, например, является частью вышеописанной стратегии), то его/ее решение также оценивалось в некоторое количество баллов, но меньшее $6$ .
Если у Саши есть некоторая сумма денег в рублях или евро, то он может положить ее на соответствующий депозит, но доход с депозита будет являться только доходом с депозита, а совсем не спекулятивной прибылью. При этом, Саша мог бы увеличить свою прибыль, воспользовавшись какой-нибудь спекулятивной стратегией.
В условии задачи неявно подразумевается, что ставка по рублевому кредиту/депозиту равняется $20\%,$ а по валютному – $5\%.$ Предполагать, что Саша может положить положить евро на депозит в России под $20\%$ неразумно, равно как и предполагать, что можно взять кредит в рублях в Германии под $5\%$ годовых. В таком случае почти каждая стратегия будет приносить спекулятивную прибыль, поэтому в подобных работах в полный балл могли быть оценены только те решения, где была рассчитана максимальная спекулятивная прибыль (которая достигается только при вышеописанной стратегии).

3) (2 балла) Если курс останется на прежнем уровне, а Саша решит реализовать свою стратегию, то в конце года он получит всего лишь75000∙1.05=78750 рублей. Таким образом, после уплаты процентов за кредит, Саша потерпит убыток в размере $11250$ рублей.

4) (2 балла) Курс должен быть не выше $24000 / 300 = 80$ RUB/EUR

Примечания к пункту 4

Заметим, что именно при любом курсе до $80$ руб/евро эти денег будет достаточно для оплаты обучения. Если в решении указано, что курс должен быть ровно $80$ руб/евро, то данный пункт оценивался в 1 балл.

5 и 6) (8 баллов)

(3 балла) Из предыдущего пункта следует, что при курсе $90$ руб/евро $24$ тыс.

руб. не хватит на оплату обучения. Поэтому если Саша уверен, что курс составит $90$ руб/евро, то он может воспользоваться стратегией из пункта $2$ . В таком случае ему будет необходимо в начале года взять кредит в российском банке в размере больше или равно $50$ тыс. руб., перевести их в евро по курсу $75$ руб/евро и положить в немецкий банк под $5\%$ годовых. Его спекулятивная прибыль в таком случае составит $3$ тыс. руб., что в сумме с деньгами от родителей составит $27$ тыс. руб., или $300$ евро по новому курсу.

(3 балла) Если курс рубля упадет лишь до $82.5$ руб/евро, то Саша понесет убытки от вышеописанной стратегии в размере $4.5\%$ от суммы кредита, следовательно, он не сможет остаться в университете.

(2 балла) Стратегия из пункта $2$ является не единственной стратегией, которую может придумать Саша. Он может взять кредит в начале года в размере лишь $20$ тыс. руб., перевести их в евро по курсу $75$ руб/евро, и положить и на депозит в Германии под $5\%$ годовых. В таком случае к концу года он гарантированно получит $280$ евро. Хотя этих денег не хватит для оплаты обучения, тем не менее, Саша не будет нести никаких рисков в связи с изменениями валютного курса: во-первых, у него на руках будет $280$ евро, во-вторых, $24$ тыс. руб., которые ему пришлют родители в конце года гарантированно хватит для возврата кредита.

Заметим, что Саша также мог бы комбинировать эту стратегию со стратегией из пункта $2$ . В таком случае он понес бы меньшие потери от неожиданного изменения курса рубля.

Примечания к пунктам 5 и 6

Если участник олимпиады неверно прочитал условие и решил, что деньги родители присылают в начале года, и соответственно, он может просто положить эти $24$ тыс. руб. на рублевый депозит и этих денег хватит для оплаты обучения, то за такое решение ставилось 0 баллов.
Если участник олимпиады ввел дополнительные предпосылки («Допустим, у Саши остались деньги с прошлого года», или же «Допустим, родители положат деньги на депозит в начале года»), то за такое решение ставилось также 0 баллов.

Акс и бакс

Высшая проба · 2013 · 11 кл.

Предположим, что в мире существует система золотого стандарта. При такой системе любой держатель бумажных денег может по первому требованию обменять свои деньги на законодательно определенное количество золота в отделениях выпустившего их банка. Единица валюты страны А называется акс и имеет фиксированное золотое содержание при цене 20 аксов за 1 унцию золота. Единица валюты страны Б называется бакс и имеет фиксированное золотое содержание при цене 4 бакса за 1 унцию золота.

а) (1 балл) Предположим, некий миллионер из страны Б имеет 100 млн баксов, а некий банк в стране Б согласен обменивать валюту в любую сторону по курсу 6 аксов = 1 баксу. Какое количество золота этот миллионер мог бы купить в стране Б?

б) (2 балла) Если этот миллионер не покупает золото в стране Б, а обменивает свои баксы на аксы, то какое количество золота он мог бы потом купить в стране А?

в) (1 балл) Если миллионер привозит золото, купленное в стране А, в свою страну, то сколько это золото будет стоить в баксах?

г) (5 баллов) Что, скорее всего, произойдет с обменным курсом в долгосрочном периоде?

д) (6 баллов) Если бы курс банка составил 3 акса = 1 баксу, то какие операции были бы выгодны миллионеру и в какую сторону изменился бы в результате его действий валютный курс?

Олимпиадный уровень

Находим цены одних активов через цены других

ВсОШ · заключительный этап · 2025 · 11 кл.

На фондовом рынке торгуется акция компании X, которая в ближайшие несколько лет не будет платить дивиденды. Цена акции в текущий момент равна $X_0 = 220$ . Кроме того, торгуются безрисковые, бескупонные облигации со сроком погашения через год и номиналом $22$ . Доходность по ним равна $10\%$ годовых.

Цену акции через 1 год обозначим за $X_1$ (в текущий момент она неизвестна, и ваши ответы не могут от нее зависеть). Известно, что на рынке отсутствуют возможности для арбитража, откуда следует, что портфели активов, приносящие одинаковый поток доходов через год при каждом $X_1$ , сегодня должны стоить одинаково. Для решения задачи записывайте, как будущий доход от того или иного контракта (возможно, отрицательный) зависит от $X_1$ . Все цены контрактов, которые нужно найти в задаче, — это цены в текущий момент.

а) (4 балла) Если инвестор A купит у инвестора B финансовый контракт 1, то он будет обязан купить у инвестора B одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 1.

б) (4 балла) Контракт 2 дает своему владельцу право купить одну акцию компании X через 1 период по цене 220. Контракт 3 дает своему владельцу право продать одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 3, если цена контракта 2 в текущий момент равна 30. Подсказка: вам может помочь результат п. а).

в) (4 балла) Теперь рассмотрим экзотический контракт 4, доход от которого зависит от будущей цены акции $X_1$ так, как показано на графике ниже.

Схематичный график зависимости дохода контракта 4 от $X_1$ .

Кроме того, известны цены других контрактов, которые дают право на покупку или продажу 1 акции компании X через год по определенным ценам:

Контракт	Дает право на	По цене	Цена контракта
5	покупку	150	80
6	покупку	250	10
7	продажу	250	190/11
8	покупку	300	1

Найдите цену контракта 4.

Решение

Обозначим цену контракта $i$ сегодня как $p_i$ . Цена бескупонной облигации с номиналом 22 через год при доходности $r=10\%$ : $\frac{22}{1+r}=\frac{22}{1.1}=20$ .

а) Цена контракта 1

Контракт 1 обязывает через год купить акцию по 220, значит его будущий доход (payoff) равен

X_1 - 220.

Рассмотрим два портфеля с одинаковым будущим доходом при любом $X_1$ :

Портфель A: 1 акция. Будущий доход: $X_1$ .
Портфель B: контракт 1 + 10 облигаций. Будущий доход: $(X_1-220)+10\cdot 22 = X_1$ .

Доходы совпадают при каждом $X_1$ , значит при отсутствии арбитража цены сегодня равны:

220 = p_1 + 10\cdot \frac{22}{1.1} = p_1 + 10\cdot 20 = p_1 + 200.

Отсюда $p_1 = 20$ .

б) Цена контракта 3 при $p_2=30$

Контракт 2 — это опцион колл со страйком 220: payoff $\max(X_1-220,0)$ .

Контракт 3 — это опцион пут со страйком 220: payoff $\max(220-X_1,0)$ .

Заметим тождество для любого $X_1$ :

(X_1-220) + \max(220-X_1,0) = \max(X_1-220,0).

То есть:

колл = форвард (контракт 1) + пут (контракт 3).

По отсутствию арбитража цены сегодня удовлетворяют:

p_2 = p_1 + p_3.

Подставляем $p_2=30$ и найденное $p_1=20$ :

30 = 20 + p_3 \;\Rightarrow\; p_3 = 10.

в) Цена контракта 4

По графику доход контракта 4 как функция $X_1$ можно записать так:

f_4(X_1)= \begin{cases} 0, & X_1 \le 150,\\ 2(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250,\\ 2(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300,\\ 100, & X_1 \ge 300. \end{cases}

Контракты 5,6,8 — коллы (право купить), контракт 7 — пут (право продать). Их payoff:

5: $\max(X_1-150,0)$
6: $\max(X_1-250,0)$
7: $\max(250-X_1,0)$
8: $\max(X_1-300,0)$

Подберем коэффициенты $a,b,c,d$ , чтобы портфель

a\cdot (5) + b\cdot (6) + c\cdot (7) + d\cdot (8)

давал тот же payoff, что и контракт 4, при любом $X_1$ . Подходящий набор (возможны короткие продажи) такой:

a=2,\quad b=-4,\quad c=0,\quad d=2.

Тогда по отсутствию арбитража цена контракта 4 равна цене этого портфеля:

p_4 = 2\cdot 80 + (-4)\cdot 10 + 0\cdot \frac{190}{11} + 2\cdot 1 = 160 - 40 + 2 = 122.

Если хочется обойтись без отрицательных количеств, можно переписать равенство payoff так:

(4) + 4\cdot (6) = 2\cdot (5) + 2\cdot (8),

откуда сразу:

p_4 + 4\cdot 10 = 2\cdot 80 + 2\cdot 1 \Rightarrow p_4 = 162 - 40 = 122.

Ответ: $p_1=20$ , $p_3=10$ , $p_4=122$ .

Новости на финансовом рынке

Московская олимпиада (МОШ) · 2016 · 10–11 кл.

Директор одной большой гимназии 1 апреля сделал объявление, что совет школы решил 1 мая провести диктант среди всех учащихся школы. Школьники, наученные горьким опытом, знают, что подобные обещания директора периодически сбываются, поэтому в школе повисла атмосфера неопределенности.

Для борьбы с подобной неопределенностью в школе давно функционируют финансовые рынки. На финансовом рынке школьники могут обмениваться школьной валютой (наклейками) во времени. В данный момент (1 апреля) на рынке торгуется три ценных бумаги.

Первая бумага — назовем ее «облигация» — дает своему владельцу право на гарантированную выплату 12 наклеек 1 мая, вне зависимости от того, будет ли проведен диктант или нет.
Вторая ценная бумага — назовем ее «Б1» — гарантирует своему владельцу выплату 6 наклеек 1 мая в случае, если диктант не будет проведен. В противном случае обладатель бумаги «Б1» не получает ничего.
Наконец, третья бумага — «Б2» — гарантирует своему владельцу выплату 4 наклеек 1 мая в случае, если диктант будет проведен. В противном случае обладатель бумаги «Б2» не получает ничего.

После выступления директора цена облигации равнялась 10 наклейкам, цена Б1 была равна 2 наклейкам, цена Б2 была равна $Р$ наклейкам. По указанным ценам любой желающий может купить или продать любой объем каждой из бумаг. Если школьник покупает бумагу, то он платит цену и получает выплаты в будущем. Если он продает бумагу, то он получает ее цену сейчас и обязуется делать выплаты по бумаге в будущем.

Найдите цену бумаги Б2, и объясните подробно выши рассуждения.
Что обойдется дороже: получить одну наклейку в случае, если диктант будет проведен, или получить наклейку в случае, если диктанта не будет? Объясните, почему такое соотношение может наблюдаться.
16 апреля директор выступил с новым заявлением. После его заявления облигация подешевела до 4 наклеек за штуку. Цена Б1 осталась неизменной. Какие новости сообщил директор?

Решение

Заметим, что набор, состоящий из 2 бумаг Б1 и 3 бумаг Б2, полностью идентичен облигации в терминах выплат: этот набор принесет 26=12 наклеек в случае, если диктанта не будет, и 34=12 наклеек в случае, если диктант будет. Покажем, что этот набор должен стоить столько же, сколько стоит облигация.

Пусть это не так, и облигация стоит дороже. Тогда любой желающий может купить указанный набор на рынке, а затем продать облигацию (ведь, по условию, любой желающий может покупать и продавать бумаги в любом объеме). В таком случае, школьник получит моментальную прибыль, ведь мы предположили, что облигация стоит дороже набора. В то же время, школьник сможет выполнить свои обязательства в полном объеме, т.к. в любом случае набор принесет ему 12 наклеек, которые он будет должен отдать покупателю облигации. Поскольку любой школьник захочет получить такую «легкую прибыль», все кинутся продавать облигации и покупать набор: это приведет к падению цены облигации и\или росту цены набора. Процесс будет продолжаться, пока цены на сравняются. Абсолютно аналогично рассматривается случай, когда облигация стоит дешевле набора.

Таким образом, мы получаем уравнение для $Р$ :

2\times 2 + 3\times Р = 10,

откуда $Р = 2$ . Выходит, что Б1 и Б2 стоят одинаково, хотя бумага Б2 выплачивает лишь 4 наклейки, а бумага Б1 — 6. 2. Ясно, что приобрести 1 апреля право на получение одной наклейки в случае диктанта дороже, чем приобрести право на получение наклейки в случае, если диктанта не будет. Одной из причин может быть ожидание со стороны школьников, что наклейки станут более редкими в случае, если диктант будет проведен (к примеру, родители перестанут дарить школьникам наклейки, когда узнают их оценки). Другой причиной может быть, что школьники больше верят в то, что диктант будет проведен, чем в то, что его не будет. Чем ниже вероятность одного из исходов, тем меньше люди готовы платить за шанс получить наклейку а этом исходе. 3. Заметим, что теперь облигация, которая приносит в два раза больше наклеек, чем Б1, если диктант состоится, стоит ровно в два раза больше, чем Б1. Таким образом, рынку «все равно», сколько выплачивает облигация в случае, если диктант состоится. Можно также найти новую цену Б2, используя логику пункта (1) — окажется, что новая цена Б2 равна нулю. Ясно, что «рынок» потерял интерес к возможности получить наклейки в случае, если диктант состоится. Этому может быть несколько объяснений. Самое очевидное: директор сообщил, что диктанта точно не будет. Менее очевидное: директор обещал что-то такое, что полностью обесценило наклейки в ситуации, если диктант состоится. Возможно, он обещал привезти самосвал наклеек, и высыпать их на заднем дворе. Или же он мог сказать, что в случае, если все напишут диктант плохо, наклейки будут полностью запрещены в школе. Последнее объяснение работает только если школьники уверены, что завалят диктант, и если наклейки имеют ценность лишь в пределах школы.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.

Акции, производные инструменты и арбитраж

Производные инструменты

Форвардная цена

Арбитраж

Репликация: цена опциона по двум состояниям

Разбор: «Находим цены одних активов через цены других» (заключительный этап 2025)для заключительного этапа

Валютный курс

Валютный рынок

Реальный валютный курс

Курс в микрозадачах

Паритет покупательной способности на примере

Ставки и ожидаемый курс

Разбор: девальвация и ВВП в долларах (региональный этап 2024/25)

а) Цена контракта 1

б) Цена контракта 3 при p2=30p_2=30p2​=30

в) Цена контракта 4

б) Цена контракта 3 при $p_2=30$