Риск, ожидаемая полезность и диверсификация

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Женщины любят получать определенные подарки (ювелирные украшения/бижутерию, парфюм, цветы). Большинство мужчин не разбирается в этих вещах и часто делает ошибки, негативно сказывающиеся на отношениях между сторонами. Не лучше ли женщинам изменить свои запросы ("заказы") так, чтобы мужчинам было проще дарить им подарки, или же есть рациональное объяснение того, что именно текущая система для многих женщин является оптимальной? Аргументируйте свой ответ.

Р2

Задача Р2

10 бедных студентов хотят бесплатно проехать на метро. Для этого им нужно прыгнуть через турникет. У турникета стоит охранник, который может поймать ровно одного студента. Больше всего студенты хотят проехать бесплатно, на втором месте по предпочтительности — заплатить, меньше всего они любят, когда их ловят. Студент откажется прыгать, только если он будет уверен, что его поймают. Охранник умеет различать студентов. Студенты прыгают одновременно.

Охранник может объявить студентам правило, по которому он будет их ловить. Что он должен сказать, чтобы все студенты купили билет?

Р3

Задача Р3

Билет Москва-Каракас с пересадкой в Нью-Йорке стоит 800 долларов. Билет Москва-Нью-Йорк стоит 1000 долларов, но ведь расстояние такого перелёта явно меньше. Как же так? Объясните причину такого ценообразования с точки зрения экономики.

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

?

Стратегия подготовки к экзамену

Высшая проба · 2014 · 10 кл.

Вася Митичкин готовится к важному экзамену в музыкальной школе. На экзамене его попросят сыграть отрывки из произведений Чайковского, Бородина и Рахманинова. После прослушивания каждого из произведений ставят оценку по 10-балльной системе. Итоговая оценка считается как средняя величина по трём оценкам. Вася имеет всего неделю для подготовки к экзамену. Известно, что подготовиться к исполнению произведений Чайковского проще. Ожидаемый балл

после Х дней подготовки равен 4+X. Произведения Бородина сложнее для исполнения, поэтому он ожидает, что после Y дней подготовки его оценка за исполнение будет равна 3+ 2 $\sqrt{Y}$ . К исполнению сочинений Рахманинова он достаточно хорошо подготовился и не ожидает, что за столь кроткий срок сможет изменить свою оценку за их исполнение.

Как следует Васе разделить 7 дней подготовки (дни можно разделить между подготовкой к разным частям экзамена)?

Теория

Ожидаемое значение, ожидаемая полезность и отношение к риску

Ожидаемое значение

E[X] = \sum_i p_i x_i, \qquad \sum_i p_i = 1.

Пример: лотерея, где с вероятностью $^{1}_{2}$ выигрыш 0, а с вероятностью $^{1}_{2}$ выигрыш 100, имеет

E = 50.

Ожидаемая полезность

EU = \sum_i p_i\, u(x_i).

Пример

Лотерея и гарантированная сумма

Лотерея 0 или 100 с вероятностями $\dfrac{1}{2}$ , полезность $u(w) = \sqrt{w}$ .

Решение. $EU = 0{,}5 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot 10 = 5$ . Гарантированная сумма с той же полезностью (эквивалент определённости): $\sqrt{w} = 5$ , $w = 25$ . Человек согласен обменять лотерею на 25; премия за риск $50 - 25 = 25$ .

Рис. 77.1: Вогнутая полезность лежит выше хорды: несклонный к риску предпочитает гарантированные 25 лотерее со средним 50

Отношение к риску

Отношение	Функция полезности	Как выбирает
Несклонный	вогнутая ( $\sqrt{w}$ , $\ln w$ )	предпочитает гарантированную сумму лотерее с тем же ожиданием
Нейтральный	линейная	сравнивает только ожидания
Склонный	выпуклая ( $w^2$ )	предпочитает лотерею

Из двух вариантов с одинаковым ожиданием несклонный к риску выбирает менее рискованный. Большинство людей несклонны к риску в важных решениях, поэтому существуют страхование и диверсификация.

Выбор между гарантированной суммой и риском

Пример

Разные функции полезности

A: гарантированные 100. B: с вероятностью $\dfrac{1}{2}$ получить 50, с вероятностью $\dfrac{1}{2}$ получить 200 (ожидание 125). Что выберут люди с полезностью $w$ , $\sqrt{w}$ и $\ln w$ ?

Решение. Нейтральный к риску выберет B ( $125 > 100$ ). При $\sqrt{w}$ : $EU_B = 0{,}5 \cdot 7{,}07 + 0{,}5 \cdot$ $14{,}14 \approx 10{,}6 > 10$ , тоже B. При ln $w$ : $EU_{B} = 0{,}5$ ln $50 + 0{,}5$ ln $200 =$ ln $100$ , безразлично. Чем сильнее несклонность к риску, тем менее привлекательна лотерея.

Акции, производные инструменты и арбитраж

Акции

Акция даёт право на долю прибыли (дивиденды) и голос на собрании акционеров (одна акция один голос). Более 50% акций это контрольный пакет. Привилегированные акции обычно без права голоса, но с приоритетом выплат. Первичное размещение акций на бирже называется IPO. Цену акции можно оценивать как приведённую стоимость ожидаемых дивидендов.

Задачи

Базовый уровень

1

Задача 4 ОЧ-2015 (10 класс)

Открытый чемпионат школ МГУ · 2015 · 10 кл.

Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив 2 миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют 5% и 20% соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – А и B. Банк «Анжела» имеет категорию А, банк «Виктория» – категорию В. Банки категории А никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории B статистика хуже: в среднем ежегодно 10 из 100 таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.

1. Рассчитайте ожидаемую сумму $^{*}$ , которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:

a. Вложив деньги в банк «Анжела»;

b. Вложив деньги в банк «Виктория»;

c. Поровну разделив деньги между банками.

2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5%.

Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?

3. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.).

a. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои 2 миллиона рублей?

b. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные?

$^{*}$ Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание.

Справка

Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице:

Значения, которые принимает X	$X_{1}$	$X_{2}$	...	$X_{n}$
Вероятность	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{n}$

Математическим ожиданием $(E(X))$ случайной величины X называют число: $E(X)=p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}+...+p_{n}X_{n}.$

Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью 110 вы выиграете 100 рублей, с вероятностью 12 вы выиграете 200 рублей, и с вероятностью 25 выиграете 500 рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно: $E(X)=110∗100+12∗200+25∗500=10+100+200=310$ рублей.

Решение

Пункт 1.

Рассчитайте ожидаемую сумму, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:

Вложив деньги в банк «Анжела»; $E(A)=1,05∗Х$ ,где X−сумма вклада

При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,05)=2,1$

Вложив деньги в банк «Виктория»; $E(В)=0,9∗1,2∗X=1,08X$

При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,2)∗0,9=2,16$

$0,1$ – вероятность дефолта

$0,9$ – не дефолт

Поровну разделив деньги между банками.

Самый простой способ расчета состоит в получении среднего арифметического от ожидаемой суммы в двух банках:

$(2,1+2,16)/2 = 2,13.$

Таким образом, наиболее выгодно для вкладчика положить все деньги в банк В.

Пункт 2.

На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5% и средства вкладчика в течение года не будут ему возвращены. Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при прочих равных условиях?

$Е(С)=(0,95∗1,1)∗Х=1,045Х$

При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,1)∗0,95=2,09$

Положив деньги в банк С, г-н Комиссаренко с вероятностью 95% получит 2,2 млн. руб., и с вероятностью 5% – 0 руб, ожидаемая сумма составит 2,09 млн. руб. Так как ожидаемая сумма и в банке А, и в банке В выше, чем в банке С, то появление банка С не повлияет на выбор вкладчика.

Пункт 3.

Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает только сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.).

Как эти новые обстоятельства могут повлиять, при прочих равных условиях, на решение г-на Комиссаренко?

E(C)= \begin{cases} X+0.95*X*0,1=1,095X, & X\le 1.4\\ 0.95*X*1.1+0.05*1.4=1.045X+0.07, & X \gt 1.4 \\ \end{cases}

E(B)= \begin{cases} X+0.9*X*0,2=1,18X, & X\le 1.4\\ 0.9*X*1.2+0.1*1.4=1.08X+0.14, & X \gt 1.4 \\ \end{cases}

E(A)=1.05X

Ожидаемые суммы в банках В и С при введении государственной гарантии по вкладам увеличились, а в банке А – нет. Следовательно, привлекательность банков В и С в глазах г-на Комиссаренко по сравнению с банком А повысилась. Это может побудить г-на Комиссаренко к переводу денег из банка А в банки В и С.

Таким образом введение государственного страхования вкладов привело к тому, что депозиты стали перетекать в более рискованные банки. Следовательно, государственная гарантия по банковским вкладам поощряет переток депозитов в более рискованные банки.

2 млн. в А: 1,05*2=2,1

1,4 в А и 0,6 в В: 1,051,4+1,180,6=2,178

1,4 в А и 0,6 в С: 1,051,4+1,0950,6=2,127

2 млн. в В: 1,08*2+0,14=2,3

1,4 в В и 0,6 в А: 1,181,4+0,61,05=2,282

1,4 в В и 0,6 в С: 1,181,4+1,0950,6=2,309

2 млн. в С: 1,045*2+0,07=2,16

1,4 в С и 0,6 в А: 1,0951,4+0,61,05=2,163

1,4 в С и 0,6 в В: 1,0951,4+1,180,6=2,241

Таким образом, г-ну Комиссаренко выгоднее положить 1,4 млн. рублей в банк «Виктория» и 0,6 млн. руб. в банк «Светлана». Если необходимо разместить вклад целиком в одном банке, то предпочтение отдается банку «Виктория».

Средний уровень

2

Кто не рискует

Конкурс РЭШ · 2024

Студентка совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ Саша решила летом стажироваться менеджером проектов в небольшой консалтинговой компании. Каждый месяц она будет руководить одним проектом, выбирая уровень риска от 0 до 1. Для удобства обозначим $x_1$ — уровень риска для первого (июньского) проекта, $x_2$ — для второго (июльского), $x_3$ — для третьего (августовского).

Проект может оказаться удачным или неудачным. Если Саша выбрала уровень риска $p$ , то с вероятностью $p$ проект окажется неудачным. В этом случае Саша не получит бонус. При выбранном уровне риска $p$ с вероятностью $1-p$ проект окажется удачным. Если проект $i$ окажется удачным, то Саша в качестве получит бонус в размере 10% от прибыли за проект, которую мы обозначим $\pi_i$ .Прибыль июньского проекта $\pi_1 = 240 \cdot (1+a \cdot x_1)$ , июльского $\pi_2=240 \cdot (1+x_1+2 \cdot x_2)$ , а августовского $\pi_3 = 320 \cdot (1+ x_1 + x_2 + 4 \cdot x_3)$ . Учтите, что $a>0$ — это параметр.

Саша максимизирует ожидаемый бонус за всё время работы.

Примечание. Если проект приносит прибыль $S$ с вероятностью $p$ и сумму $0$ с вероятностью $(1-p)$ , то ожидаемая прибыль проекта равна $p \cdot S$ .

а) Объясните интуитивно связь между выбранными значениями риска в различных периодах и прибылью в случае успеха.

б) Допустим у Саши есть планы на июль и август, поэтому она сможет взять только июньский проект. В зависимости от значения параметра $a>0$ укажите, какое значение риска $x_1$ выберет Саша? Какие оптимальные значения $x_1$ в принципе возможны?

в) Объясните интуитивно зависимость оптимального уровня риска от параметра $a$ . Что означает параметр $a$ ?

г) Пусть $a=2$ . Какие уровни риска в каждом месяце выберет Саша? Считайте, что Саша стремится сделать максимальной сумму ожидаемых бонусов за всё лето.

Подсказка. Вам не требуется знание максимизации функций нескольких переменных. Используйте школьные знания из курса математики.

д) Как соотносятся между собой выбранные Сашей значания рисков в различных периодах? Объясните это соотношение интуитивно.

е) Используя обнаруженную Вами закономерность, объясните известный Вам феномен из реальной жизни.

Решение

а) Более рискованные проекты приносят большую прибыль в случае успеха. Аналогичная ситуация, например, наблюдается при принятии инвестиционных решений. Большая прибыль в случае успеха служит своеобразной платой за риск.

б) Зная значение параметра $a>0$ , Саша решает следующую задачу, выбирая $x_1 \in [0; 1]$ :

\max\limits_{x_1 \in [0; 1]} (1-x_1) \cdot 240 \cdot (1 + a \cdot x_1)

Это парабола с ветвями вниз, её максимум достигается в вершине, поэтому оптимальное значение

x_1^*=0.5 - 0.5/a

Заметим, что с учётом ограничения на $x_1$ и свойств параболы, для $a\in(0; 1)$ выберем $x_1^*=0$ . Поскольку $a>0$ , $x_1 \in [0;1/2)$ .

в) a — это «награда» за риск. Чем она больше, тем больший риск, начиная с некоторого уровня награды, возьмёт на себя менеджер.

г) Саша решает следующую задачу для $x_1, x_2, x_3\in [0;1]$ .

\max\limits_{x_1, x_2, x_3\in [0;1]} 240 \cdot (1+a \cdot x_1) (1-x_1) + 240 \cdot (1+x_1+2 \cdot x_2) (1 - x_2) + 320 \cdot (1+ x_1 + x_2 + 4 \cdot x_3) (1 - x_3)

Можно решать эту задачу двумя методами. Первый — «школьный» — заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно, например $x_3$ . Подставить значение вершины, затем вновь заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно $x_2$ , повторить трюк с вершиной и в конце получить параболу с ветвями вниз относительно $x_1$ . Второй способ, к которому могли прибегнуть школьники из математических классов, заключается в том, чтобы приравнять частные производные к нулю и проверить условие второго порядка через гессиан. Такое решение требует достаточного знания математического анализа. Заметим, что от школьников оно не требовалось, хотя и не запрещалось.

Обсудим частую ошибку. Для решения задачи недостаточно сказать, что это парабола с ветвями вниз относительно каждой переменной и решить систему условий первого порядка. Рассмотрим простой контрпример $f(x, y) = -x^2 - y^2 + 4xy$ . Следуя такой логике, можно решить, что $(x, y) = (0, 0)$ — это точка глобального максимума функции, что не будет правдой.

При любом корректном решении получим ответ: $x_1=2/3,x_2=1/3,x_3=1/4$ .

д) $x_1>x_2>x_3$ . Выгодно рисковать в начале, потому что это влияет на будущие выигрыши. Отдача от принятого риска более велика для риска, взятого в первые периоды.

е) Засчитывался любой пример, согласно которому риски в начале выгодны (например, брачный рынок или инвестиции в молодости). Пример должен быть обоснован.

3

Валютные риски

ВсОШ · заключительный этап · 2014

Хоккейный клуб «Ледовая лига» из страны X после продолжительных переговоров с хоккейным клубом страны Y подписал договор на приобретение услуг хоккеиста Сидни Виннера. Сидни Виннер считается самым перспективным игроком в мировом хоккее, поэтому отступная сумма за него составляет 30 млн долларов. У «Ледовой лиги» есть необходимая сумма, но, чтобы не оставаться без средств на текущие траты, команде удалось убедить клуб из страны Y разделить оплату на два транша: 15 млн долларов сейчас (в момент времени $t=0$ ) и 15 млн долларов через год (в момент $t=1$ ).

Валютой страны X является ␢, ставка процента по депозитам в ␢ составляет 25 % годовых, текущий обменный курс равен 1,2 доллара за ␢ ($/␢). Оплатив первый транш, «Ледовая лига» рассматривает различные варианты перевода своих средств в доллары для осуществления второго платежа. Менеджеры «Ледовой лиги» получили секретную информацию, что за год ␢ существенно подешевеет из-за вводимых против страны X международных санкций. Они решили действовать с расчетом на этот сценарий, поэтому хотят застраховать валютные риски команды и заключить контракт, согласно которому доллары будут куплены в момент $t=1$ , но цена покупки будет установлена в момент $t=0$ . На рынке есть следующие предложения таких контрактов:

$а)$ Какой из этих контрактов вы посоветуете заключить фирме для минимизации приведенных текущих затрат?

$б)$ Олигарх из страны X является большим поклонником «Ледовой лиги». Узнав о готовящейся сделке, он предложил немедленно оплатить все затраты, связанные с заключением контракта $A$ или $B$ (по выбору клуба), которые команда понесет непосредственно в момент $t=0$ . В качестве небольшой ответной услуги олигарх требует бесплатно предоставить ему и его друзьям 20 мест на VIP-трибуне в течение всего сезона. Годовые абонементы на эти места обычно продаются в начале сезона ( $t=0$ ) и стоят по $P$ ␢ каждый. При каких значениях $P$ «Ледовой лиге» стоит согласиться на предложение олигарха?

Решение

а) Посчитаем, чему равны приведенные текущие затраты при заключении каждого контракта.

Контракт A.

Сразу нужно заплатить 0,01×15000=150тыс. ␢ , еще через год нужно заплатить 15000/1,2=12500тыс. ␢ . Учитывая ставку процента, можно посчитать приведенную стоимость:

PV_A=150+12500/1,25=10150 тыс. ␢ .

Контракт B.

Сразу нужно заплатить 1000тыс. ␢ , еще через год нужно заплатить 15000/1,25=12000тыс. ␢ . Учитывая ставку процента, можно посчитать приведенную стоимость:

PV_B=1000+12000/1,25=10600 тыс. ␢ .

Получаем, что контракт А более выгоден.

б) Посчитаем текущую приведенную стоимость затрат по контрактам, если текущие расходы оплачивать не нужно:

PV_A=12500/1,25=10050 тыс. ␢ .

PV_B=12000/1,25=9600 тыс. ␢ .

Получается, что теперь контракт B более выгоден, причем экономия по сравнению с отсутствием олигарха составляет 10150-9600=550 тыс. ␢ . Чтобы предложение олигарха было выгодно, эта экономия должна быть не меньше, чем альтернативные издержки, которые нужно понести, предоставив олигарху абонементы, то есть:

550≥20×P

P≤27,5тыс. ␢ .

Олимпиадный уровень

4

Дядя Фёдор и его матожидаемые партнеры

Авторские задачи · 2016

После расправы над КК, Дядя Фёдор решил двигаться дальше и выйти на новый рынок. Он захотел производить наушники для Вайфонов. Однако вот незадача, Дядя не разбирается в политике корпорации Вайпл, а потому не знает, в новом Вайфон 7 будет старый разъем под наушники или новый, а потому при принятии решения, под какой разъем производить он подбрасывает монетку. Если разъем останется старым, а Фёдор произведет наушники под новый, у него ничего не купят, а если он произведет тоже под старый, то спрос будет $P = 200 - Q$ . Если разъем станет новым, а Дядя Фёдор произведет старые наушники, спрос будет $P = 110 - 3Q$ , если произведет новые - $P = 150 - Q$ , где P в ден. ед. за шт., Q в шт. Издержки на производство наушников под старый разъем равны $TC_{old} = Q^2$ , под новый - $TC_{new} = Q^2 + 50Q$ , где TC в ден.ед. И вот в один прекрасный день в Простоквашино на тракторе приехал известный эксперт Митя, который знает, что Вайпл сделает новый разъем с вероятностью $\frac{1}{3}$ , а старый - $\frac{2}{3}$ . Так как издержки Дяди Фёдора известны всему Простоквашино (галчонок весьма болтлив), Митя без труда смог посчитать матожидание прибыли Дяди Фёдора, считая, что при производстве новых наушников он ориентируется на спрос $P = 150 - Q$ , а при производстве старых - $P = 200 - Q$ . Поняв, что он может обеспечить Дяде большее матожидание, Митя отправился в известный дом с большой печкой и предложил Фёдору свои услуги. Какое матожидание получит Фёдор со своим новым партнером Митей и сколько он будет готов заплатить эксперту за его услуги, при условии, что теперь партнеры будут бросать кубик, если выпадет 1 или 5, они будут производить наушники под новый разъем, иначе - под старый, с такой же ориентацией на спрос, какая была у Дяди Фёдора без Мити? Считайте, что если Дядя Фёдор произведет больше наушников, чем могут купить люди, излишек не будет продан. Решите задачу, если

а) Дядя Фёдор обязан реализовать весь товар (считайте, что о заключает фьючерс с магазином и обязан отправить ему весь товар; за излишки товара магазин платить не станет).

б) Дядя Фёдор не несёт издержек на утилизацию товара, потому может уменьшать количество произведенных наушников после объявления о смене или неизменности разъемов.

в) Дядя Фёдор несет издержки $20Q$ на утилизацию $Q$ наушников.

Решение

Посчитаем матожидание прибыли Фёдора без Мити. Найдем оптимальные объемы производства в случае старых и новых наушников. Старые: $\pi = (200 - Q)Q - Q^2 = 200Q - 2Q^2 -> max$ . Парабола, ветви вниз, значит максимум в вершине Q = 50. Новые: $\pi = (150 - Q)Q - Q^2 - 50Q = 100Q - 2Q^2 -> max$ . Парабола, ветви вниз, значит максимум в вершине Q = 25. Построим таблицу вероятностей

	Старый разъем от Вайпл, Вероятность 2/3	Новый разъем от Вайпл, Вероятность 1/3
Старый разъем от Дяди Фёдора, Вероятность 1/2	1/3	1/6
Новый разъем от Дяди Фёдора, Вероятность 1/2	1/3	1/6

Построим таблицу прибылей с учетом найденных объемов

	Старый разъем от Вайпл	Новый разъем от Вайпл
Старый разъем от Дяди Фёдора	5000	-625
Новый разъем от Дяди Фёдора	-1875	1250

Матожидание прибыли составит $\frac{6875}{6}$ ден. ед.

Оптимальные объемы остались прежними, построим новую таблицу вероятностей

	Старый разъем от Вайпл Вероятность 2/3	Новый разъем от Вайпл Вероятность 1/3
Старый разъем от Дяди Фёдора Вероятность 2/3	4/9	2/9
Новый разъем от Дяди Фёдора Вероятность 1/3	2/9	1/9

Таблица прибылей останется прежней, т.к. объемы не изменились. Новое матожидание составило $\frac{16250}{9}$

Пусть теперь Дядя Фёдор может утилизировать наушники. Так как он не несет издержек на уничтожение, его таблица прибылей изменится. В этом и следующем пунктах изменится лишь прибыль в правом верхнем углу таблицы, так как левый верхний и правый нижний углы оптимальны, левый нижний угол - всегда издержки без выручки. Максимизируем выручку (издержки уже понесены). $(110 - 3Q) -> max$

	Старый разъем от Вайпл	Новый разъем от Вайпл
Старый разъем от Дяди Фёдора	5000	55^2/3
Новый разъем от Дяди Фёдора	-1875	1250

Старое матожидание станет равняться $\frac{25525}{18}$ .

Новое матожидание составит $\frac{58550}{27}$ , Митя получит $\frac{40525}{54}$ .

Пусть теперь появились издержки на утилизацию.

Таблица прибыли вновь изменится. $(110 - 3Q)Q - 20Q -> max$

	Старый разъем от Вайпл	Новый разъем от Вайпл
Старый разъем от Дяди Фёдора	5000	675
Новый разъем от Дяди Фёдора	-1875	1250

Старое матожидание станет равняться $1362,5$ .

Новое матожидание составит $\frac{18850}{9}$ , Митя получит $\frac{13175}{18}$ .

Ответ. а) Новое матожидание составит $\frac{16250}{9}$ ден. ед., а Дядя Фёдор будет готов заплатить Мите $\frac{11875}{18}$ ден. ед.

б) Новое матожидание составит $\frac{58550}{27}$ ден. ед., а Дядя Фёдор будет готов заплатить Мите $\frac{40525}{54}$ ден. ед.

в) Новое матожидание составит $\frac{18850}{9}$ , Митя получит $\frac{13175}{18}$ ден.ед.

5

Апофеоз-Арена

Авторские задачи · 2016

Для строительства стадиона "Апофеоз-Арена" правительство города С может привлечь подрядчиков. Ситуация такова, что подрядчик может вывести все средства в офшорную зону без возможности возврата с вероятностью $p(m)=0.31+0.02m-0.005m^2$ , где $m$ - количество денежных средств в миллиардах рублей. В остальных случаях исчезают лишь 20% денежных средств. На строительство стадиона требуется не менее 1.6 миллиардов рублей (после вычета коррупции), а с точки зрения закона никакой подрядчик не может получить более 10 миллиардов рублей за строительство стадиона.

Полезность, которую правительство города С получает от факта постройки стадиона, равна $u=const$ , а на общую функцию полезности $TU$ прямо пропорционально отрицательно влияет количество денег, которые недобросовестные подрядчики так или иначе своровали.

A. Какое оптимальное значение $m$ выберет правительство города С, чтобы максимизировать свою ожидаемую полезность?

B. Допустим, в городе С бесконечное число строительных фирм, готовых выполнить данный проект. Правительству города С поступило предложение от компании "Два процента", которая готова взять на себя найм подрядчиков и аудит. Известно, что благодаря тщательному подбору подрядчиков и качественному аудиту компания "Два процента" сводит на нет коррупцию и вывод средств в офшорную зону. За свои услуги компания возьмёт ровно 2% от стоимости $M$ контракта, заключенного с правительством города С. При каких значениях $M$ правительство заключит контракт, если теперь оно минимизирует свои издержки по сравнению с издержками при оптимальным значении в пункте А?

C. Как изменится ответ на предыдущий пункт, если бы в городе С было всего 5 строительных фирм?

Решение

А. Составим и преобразуем функцию полезности: $TU(m)=u-m*p(m)-0.2m*(1-p(m))=u-0.8m*(0.31+0.02m-0.005m^2)-0.2m=u+0.004m^3-0.016m^2-0.488m$

Найдём производную этой функции:

$TU'(m)=0.012m^2-0.032m-0.488$

Найдём экстремумы функции полезности:

$TU'(m)=0$ ,

$0.012m^2-0.032m-0.488=0$ , | $*250$

$3m^2-8m-122=0$ ,

$m_1=\frac{8-\sqrt{1408}}{6} \approx -4.9$ ,

$m_2=\frac{8+\sqrt{1408}}{6} \approx 7.6$

Заметим, что график функции $TU'(m)$ - парабола с ветвями вверх. Тогда $m_1$ - локальный максимум функции $TU(m)$ , а $m_2$ - локальный минимум этой функции. На участке $-4.9 \le m \le 7.6$ производная функции $TU(m)$ отрицательна, тогда и на участке $2 \le m \le 7.6$ производная функции полезности отрицательна, то есть на данном участке оптимумом является $m=2$ . Аналогично рассуждая, на участке $7.6 \le m \le 10$ оптимумом будет являться $m=10$ . Поскольку $TU(2) < TU(10)$ , оптимальным значением будет $m=10$ .

В решении этого пункта подразумевалось, что заказ может выполнить не только первый, а в том числе какой-либо другой подрядчик, при этом оптимальным значением каждый раз будет $m=10$ , поскольку невозвратные издержки не влияют на выбор правительства города.

В. Согласно пункту А, оптимальным значением является $m=10$ , тогда $p(m)=p(10)=0.01$ . Тогда подрядчик не выполняет работу с вероятностью 0.01.

С вероятностью 0.99 город использует 1 подрядчика, то есть заплатит 10 миллиардов рублей. С вероятность 0.01*0.99 город использует 2 подрядчиков, заплатив 20 миллиардов рублей. С вероятностью $0.99*0.01^{i-1}$ город заплатит 10i миллиардов рублей. Таким образом при большой выборке различных городов С, город ожидаемо заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до бесконечности. Этот ряд сходится: $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1} =10.(10)$ . Тогда $M \le TC_{ср}$ , $M \le 10.(10)$ .

К слову, доля средств, которые составляют прибыль компании "Два процента", никак не влияет на решение и ответ.

C. В этом случае город в среднем заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до 5. Тогда $TC_{ср}=10.101010095$ . Тогда $M \le 10.101010095$ .

Ответ. A. $m=10$

B. $M \le 10.(10)$

C. $M \le 10.101010095$