Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Женщины любят получать определенные подарки (ювелирные украшения/бижутерию, парфюм, цветы). Большинство мужчин не разбирается в этих вещах и часто делает ошибки, негативно сказывающиеся на отношениях между сторонами. Не лучше ли женщинам изменить свои запросы ("заказы") так, чтобы мужчинам было проще дарить им подарки, или же есть рациональное объяснение того, что именно текущая система для многих женщин является оптимальной? Аргументируйте свой ответ.

Р2

Задача Р2

10 бедных студентов хотят бесплатно проехать на метро. Для этого им нужно прыгнуть через турникет. У турникета стоит охранник, который может поймать ровно одного студента. Больше всего студенты хотят проехать бесплатно, на втором месте по предпочтительности — заплатить, меньше всего они любят, когда их ловят. Студент откажется прыгать, только если он будет уверен, что его поймают. Охранник умеет различать студентов. Студенты прыгают одновременно.

Охранник может объявить студентам правило, по которому он будет их ловить. Что он должен сказать, чтобы все студенты купили билет?

Р3

Задача Р3

Билет Москва-Каракас с пересадкой в Нью-Йорке стоит 800 долларов. Билет Москва-Нью-Йорк стоит 1000 долларов, но ведь расстояние такого перелёта явно меньше. Как же так? Объясните причину такого ценообразования с точки зрения экономики.

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Заоч. задача 1 НОЦ ВолНЦ РАН (7-8 класс, часть В)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2016 · 7–8 кл.

В туристическом агентстве работают четыре человека. До уплаты подоходного налога месячный заработок каждого составляет: у Алины – 20 тыс. руб.; у Инны – 35 тыс. руб.; у Андрея – 50 тыс. руб.; у Анны – 55 тыс. руб.. В соответствии с Налоговым кодексом Российской Федерации все работники агентства уплачивают подоходный налог по ставке 13%. Становится ли распределение доходов более равномерным после уплаты подоходного налога? Почему? Ответ обоснуйте. Ваш вывод подтвердите соответствующими расчетами.

Теория

Кривая Лоренца

Определение

Пример чтения: если 20% беднейших получают 4% дохода, а 60% беднейших 36%, то 40% богатейших получают 64%.

Свойства

1. Кривая проходит через $(0; 0)$ и $(1; 1)$ .
1. Кривая не лежит выше диагонали $y = x$ : беднейшие не могут получать больше своей доли. 3. $y = x$ это линия абсолютного равенства: все получают поровну.

Абсолютное неравенство: весь доход у одного человека, кривая идёт по осям.

1. Кривая выпукла вниз: люди упорядочены от бедных к богатым, поэтому наклон не убывает.

Однородные группы

Если внутри группы все получают одинаково, на её участке наклон постоянен: кривая это отрезок. При нескольких однородных группах кривая ломаная.

Доход конкретного человека

Наклон кривой Лоренца в точке $x_{0}$ , умноженный на средний доход, это доход человека с этой позицией:

i(x_0) = y'(x_0) \cdot \frac{I}{N},

где $I$ доход страны, $N$ население. Обратно, если известна функция дохода $w(N)$ человека с номером $N$ (по возрастанию), то $y(x) = \dfrac{1}{I}\displaystyle\int_0^{xN} w(n)\,dn$ .

Кривая Лоренца для части населения

Если нужно неравенство внутри группы от $a$ до $b$ по оси $x$ (например, среди 10% богатейших), кривую нормируют:

y_{\text{нов}}(x) = \frac{y\bigl(a + x(b - a)\bigr) - y(a)}{y(b) - y(a)}.

Кривая Лоренца по доходам людей

вниз.

Однородные группы: ломаная.
Доход человека: $y'(x)\cdot$ средний доход.
Часть населения: нормировка $\dfrac{y(a + x(b - a)) - y(a)}{y(b) - y(a)}$ .

Коэффициент Джини

Определение

G = \frac{S_1}{S_\triangle} = 2S_1, \qquad 0 \le G \le 1,

где $S_1$ площадь между диагональю и кривой Лоренца, $S_\triangle = \dfrac{1}{2}$ площадь всего треугольника под диагональью. Эквивалентно $G = 1 - 2S_{2}$ , где $S_{2}$ площадь под кривой Лоренца.

Три равные группы

Таблица диагоналей

Выписать точки излома по порядку, начиная с $(0; 0)$ , и вычислить

G = \sum_k \left(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k\right).

Для точек $\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{9}\right)$ , $\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{4}{9}\right)$ , $(1; 1)$ :

G = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot 1\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9}\right) = \frac{22}{27} - \frac{14}{27} = \frac{8}{27}.

Это формула площади многоугольника, применённая к фигуре между диагональю и кривой.

Гладкая кривая

Если кривая задана формулой, нужен интеграл: $G = 1 - 2\displaystyle\int_0^1 y(x)\,dx$ .

Джини для отдельных людей

Для $n$ человек с доходами $x_{i}$ и средним $\mu$ :

G = \frac{\sum_i \sum_j |x_i - x_j|}{2n^2\mu}.

Пример: доходы 1, 3, 5, 7: сумма модулей разностей по всем упорядоченным парам 40, $G =$ $\dfrac{40}{2 \cdot 16 \cdot 4} = 0{,}3125$ .

Одинаковый Джини у разных распределений

Разбор: неравенство прибылей (региональный этап 2024/25)

Задачи

Базовый уровень

Немного про Джини

ВсОШ · муниципальный этап · 2017 · 11 кл.

В фирме «Равенство и Братство» есть только две группы работников: менеджеры и аналитики. Внутри группы каждому работнику выплачивается одинаковая заработная плата, причём зарплата аналитиков более низкая. Коэффициент Джини, характеризующий неравенство оплаты труда, в фирме «Равенство и Братство» равен $0{,}3$ . В конкурирующей фирме «Рога и Копыта» структура персонала и оплаты труда аналогична, однако коэффициент Джини равен $0{,}5$ . (Примечание: коэффициент Джини измерен в долях, то есть максимальное значение коэффициента Джини по используемой шкале равно 1). Фонд оплаты труда в обеих фирмах одинаковый и составляет 1 млн. руб. Известно, что зарплата менеджеров фирмы «Рога и Копыта» в 1,5 раза выше зарплаты менеджеров фирмы «Равенство и Братство». При этом доля аналитиков в обеих фирмах совпадает. Какова доля аналитиков в общем количестве персонала в фирмах?

Решение

Условие про 1 млн. руб. лишнее.

В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так:

Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности.

Площадь под кривой Лоренца равна:

\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{y+1}{2}\cdot (1-x)=\dfrac{1}{2}(y-x+1)

Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца:

\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(y-x+1)=\dfrac{1}{2}(x-y)

Таким образом, индекс Джини равен: $G=\dfrac{\dfrac{1}{2}(x-y)}{\dfrac{1}{2}}=x-y$

$G=x-y$ , где $x$ – доля бедных (в этом случае доля аналитиков), а $y$ – это доля фонда оплаты труда, приходящаяся на аналитиков (4 балла за соотношение). Фирму «Равенство и Братство» обозначим индексом 1, а «Рога и Копыта» – индексом 2. Можем записать следующие уравнения:

\begin{array}{l} 1-y_2=1{,}5\cdot(1-y_1) \\ y_2=1{,}5y_1-0{,}5 \quad \textbf{(3 балла)}\end{array}

Также известно, что $G_1=x-y_1, G_2=x-y_2$

Решая, получаем, что $x=3G_1-2G_2+1=3\cdot0{,}3-2\cdot0{,}5+1=0{,}9 \quad \textbf{(4 балла)}$

Ответ. 0,9

Богатые и бедные

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 11 кл.

В каждой из двух стран можно выделить две однородные группы населения: бедные, наиболее многочисленные и наименее обеспеченные, и богатые, малочисленные и владеющие большей частью дохода страны. Неравенство в стране A в 2 раза выше, чем неравенство в стране Б. Доля дохода бедных в стране А в 3 раза меньше, чем в стране Б, а доля группы бедных в стране А в 2 раза меньше, чем доля группы бедных в стране Б. Степень неравенства оценивается с помощью индекса Джини. Найдите тангенс угла наклона нижнего участка кривой Лоренца, построенной для страны А.

Средний уровень

Пикеттия

ВсОШ · региональный этап · 2020 · 9 кл.

В стране Пикеттии есть три группы населения (бедные, средний класс и богатые), внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. Бедные составляют 40% населения и располагают 10% суммарного дохода страны, средний же класс составляет 20% населения и располагает 20% суммарного дохода.

а) (8 баллов) Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распределении доходов между бедными и средним классом (не считая богатых).

б) (8 баллов) Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распределении доходов между средним классом и богатыми (не считая бедных).

в) (14 баллов) Правительство страны рассматривает два варианта перераспределительной политики, направленной на снижение неравенства. При первом доходы богатых не изменятся, но распределение доходов между бедными и средним классом станет равномерным. При втором варианте доходы бедных не изменятся, зато распределение доходов между средним классом и богатыми станет равномерным. При каком из двух вариантов коэффициент Джини в стране уменьшится сильнее?

Решение

Во всех пунктах мы будем использовать известную формулу для коэффициента Джини, если в стране есть две группы населения: $G=\alpha-\beta$ , где $\alpha$ – доля более бедной группы в населении, $\beta$ – её доля в суммарном доходе. Выводить и доказывать эту формулу в рамках решения задачи не требуется.

а) Бедные составляют $\dfrac{0{,}4}{0{,}4+0{,}2}=\dfrac{2}{3}$ от населения «страны», состоящей из бедных и среднего класса и располагают $\dfrac{0{,}1}{0{,}1+0{,}2}=\dfrac{1}{3}$ её дохода. Значит, искомый коэффициент Джини составляет $G=\dfrac{2}{3}−\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

б) Богатые составляют 40% населения и имеют 70% дохода всей страны. Аналогично пункту (а), получаем, что искомый коэффициент Джини равен $G=\dfrac{0{,}2}{0{,}4+0{,}2}-\dfrac{0{,}2}{0{,}7+0{,}2}=\dfrac{1}{3}−\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9}$

(более бедной группой является в данном случае средний класс)

в) Для ответа на поставленный вопрос достаточно рассчитать коэффициенты Джини после вмешательства. При первом варианте новый коэффициент Джини будет равен (0,4+0,2)−(0,1+0,2) = 0,3, так как в стране будет единая более бедная группа, составляющая 60% населения и обладающая 30% дохода. При втором варианте новый коэффициент Джини будет равен 0,4-0,1=0,3. Значит, варианты равнозначны.

Графически ситуация сводится к следующему рисунку:

Построение кривых Лоренца для корректного решения необязательно, однако решение «напрямую» через расчёт площадей (без использования формулы $G=\alpha-\beta$ ), конечно, возможно.

Как живется бурундийцам (8-9)

Московская олимпиада (МОШ) · 2020 · 8–9 кл.

Король Бурундии Буриндин XXVII решил исследовать, как живут его подданные. Статистическая служба Бурундии долго собирала и анализировала данные, после чего на стол главному счетоводу была положена следующая информация:

• всё население Бурундии можно поделить на несколько групп, внутри которых доходы распределяются равномерно: нищих, бедняков, середняков и богачей;

• богачей в Бурундии в полтора раза больше, чем нищих, а доход всех вместе взятых бурундийских богачей в $9$ раз больше, чем доход всех бурундийских нищих;

• середняков в Бурундии вдвое больше, чем бедняков, при этом все вместе середняки втрое богаче всех бедняков;

• если сложить число бедняков и середняков, их окажется в $9$ раз больше, чем нищих и богачей вместе взятых, при этом общий доход двух «средних» групп населения будет в $4$ раза больше, чем доход двух «крайних» групп.

(а) Определите долю каждой группы в общей численности населения Бурундии. Ответ следует дать в виде процентов.

(б) Определите долю от общего дохода населения Бурундии, которую получает каждая группа. Ответ следует дать в виде процентов.

(в) Экономисты используют разные способы для оценки распределения доходов между различными группами населения. Так, одним из способов анализа дифференциации доходов является децимальный коэффициент, показывающий, во сколько раз доходы $10\%$ наиболее богатых людей больше доходов $10\%$ наиболее бедных; аналогично, квинтильный коэффициент показывает отношение доходов $20\%$ наиболее богатых к доходам $20\%$ наиболее бедных; квартильный коэффициент $–$ отношение доходов $25\%$ наиболее богатых к доходам $25\%$ наиболее бедных. Чему будет равен коэффициент, показывающий отношение суммарного дохода $z\%$ самых богатых к суммарному доходу $z\%$ самых бедных жителей Бурундии, $z \in [10; 25]$ ?

Решение

Запишем систему уравнений

\begin{cases} (1) \quad N_{\text{богатые}} = 1,5N_{нищ} \\ (2) \quad I_{\text{богатые}} = 9I_{\text{нищ}} \\ (3) \quad N_{\text{сред}} = 2N_{\text{бед}} \\ (4) \quad I_{\text{сред}} = 3I_{\text{бед}} \\ (5) \quad N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9(N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \\ (6) \quad I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \end{cases}

И решая ее, получаем ответы, обозначив за $X$ число нищих и за $Y$ их доход:

а) [4 балла]

Из $(1)$ и $(3)$ выражаем числа и подставляем в $(5)$ :

$N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9(N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \implies 3N_{\text{бед}} = 9(x + 1,5x)$

Итого:

$N_{\text{нищ}} = x, N_{\text{бед}} = 7,5x, N_{\text{сред}} = 15x, N_{\text{богатые}} = 1,5x$

Общая численность: $25x$ $\implies$ Нищие составляют $4\%$ , Бедные $–$ $30\%$ , Средние $–$ $60\%$ и Богатые $–$ $6\%$ .

б) [4 балла]

$I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \implies 4I_{\text{бед}} = 4(y + 9y)$

Итого:

$I_{\text{нищ}} = y, I_{\text{бед}} = 10y, I_{\text{сред}} = 30y, I_{\text{богатые}} = 9y$

Общий доход: $50y$ $\implies$ Нищие составляют $2\%$ , Бедные $–$ $20\%$ , Средние – $60\%$ и Богатые – $18\%$

в) [17 баллов]

Заметим, что доход и числитель в знаменателе можно сократить. Поэтому коэффициент будет выражаться просто отношением процента дохода $z$ самых богатых к $z$ самых бедных.

Для расчётов удобно нарисовать кривую Лоренца для данной экономики.

Заметим, что $z \in [10; 25]$ приводит к тому, что доход нищих и богатых всегда входит в подсчет. Поэтому нам достаточно посчитать, какой доход бедных и средних входит в подсчет коэффициента.

coeff = \frac{0,18 + (z - 0,06) \cdot 1}{0,02 + (z - 0,04) \cdot \frac{2}{3}} = \frac{3z + 0,36}{2z - 0,02}

Олимпиадный уровень

Неравенство олигархов

ВсОШ · региональный этап · 2017

Кривая Лоренца в стране $А$ описывается уравнением $Y = X^2$ ; иными словами, доля $X ∈ [0; 1]$ наиболее бедного населения получает долю $X^2$ всего дохода общества.

(12 баллов) Назовем $10\%$ богатейших жителей страны олигархами. Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди олигархов. Иными словами, определите, какую долю $y$ суммарного дохода всех олигархов получает доля $x$ наиболее бедных олигархов. Что больше –– степень неравенства доходов среди олигархов или степень неравенства доходов во всей стране? (Степень неравенства будем измерять с помошью коэффициента Джини.)

Проверьте себя: полученная вами кривая Лоренца (как и всякая кривая Лоренца) должна проходить через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$ . 2. (10 баллов) В стране $B$ кривая Лоренца описывается уравнением $Y = 1 − \sqrt{1 − X}$ . Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди олигархов страны $B$ (олигархами здесь также называются $10\%$ богатейших жителей). Что больше –– степень неравенства доходов среди олигархов страны $B$ или степень неравенства доходов во всей стране? 3. (8 баллов) Что больше – степень неравенства доходов среди $10 \%$ богатейших или среди $1 \%$ богатейших жителей страны $B$ ? Среди $1 \%$ богатейших или среди $0,1\%$ богатейших жителей страны $B$ ?

Решение

Чтобы определить, какую долю $y$ суммарного дохода всех олигархов получает доля $x$ наиболее бедных олигархов, можно для каждого значения $x$ :

определить, какую часть составляет доход всех олигархов общем доходе страны;
определить, какую часть составляет доход доли $x$ наиболее бедных олигархов в общем доходе страны;
разделить второй показатель на первый.

$90$ % населения, не входящие в группу олигархов, получают долю $Y(0,9) = 0,81$ всего дохода, а олигархи, следовательно, получают $1 − Y(0,9) = 0,19$ всего дохода.

Доля $x$ наиболее бедных олигархов составляет долю $0,1x$ от всего населения страны. При этом вместе с $90$ % неолигархов они составляют $0,9+0,1x$ населения и получают $Y(0,9+0,1x) = (0,9 + 0,1x)^2$ всего дохода; без учета неолигархов они получают $Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9) = (0,9 + 0,1x)^2 − 0,9^2 = 0,18x + 0,01x^2$ всего дохода.

Значит, в общем доходе всех олигархов доход $x$ наиболее бедных из них составляет

y = \frac{Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9)}{1 − Y(0,9)} = \frac{0,18x + 0,01x^2}{0,19} = \frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2

Это и есть искомое уравнение кривой Лоренца.

Сравнить степень неравенства можно двумя способами.

Способ 1. (Не требует расчета коэффициентов Джини.)

Заметим, что полученная кривая Лоренца лежит ближе к линии абсолютного равенства, чем кривая Лоренца для всей страны: действительно, $\frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2 > x^2$ для $x ∈ (0; 1)$ , так как в этом интервале $x > x^2$ . (На Рис. 4.1a новая кривая Лоренца почти неотличима от прямой линии.) Значит, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов меньше, чем коэффициент Джини для всей страны. Среди олигархов степень неравенства доходов меньше, чем в стране в целом.

2. Действуя по аналогии, получаем, что искомая кривая Лоренца будет иметь вид

y = \frac{Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9)}{1 − Y(0,9)} = \frac{1 − \sqrt{1 − 0,9 − 0,1x} − (1 − \sqrt{1 − 0,9})}{1 − (1 − \sqrt{1 − 0,9})} =\frac{\sqrt{0,1} − \sqrt{0,1 − 0,1x}}{\sqrt{0,1}} = 1 − \sqrt{1 − x}

Таким образом, кривая Лоренца распределения доходов среди $10 \%$ богатейших имеет точно такой же вид, как кривая Лоренца в стране в целом! Следовательно, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов точно такой же, как в стране в целом.

Примечание. Для ответа на вопрос не понадобилось рассчитывать сам коэффициент Джини (он равен $1/3$ ). 3. Представим себе страну $C$ , населенную только олигархами страны $B$ . $1$ % богатейших жителей страны $B$ являются $10$ % богатейших жителей страны $C$ (то есть олигархами среди олигархов). Таким образом, нам нужно сравнить неравенство доходов в стране $С$ в целом и неравенство доходов среди олигархов страны $C$ .

В пункте 2 мы решили точно такую же задачу для страны $B$ ; при этом мы вывели, что в стране $C$ кривая Лоренца имеет точно такой же вид как в стране $B$ . Значит, и ответ будет таким же: кривая Лоренца среди олигархов страны $C$ будет иметь такой же вид, как в стране $С$ в целом, и коэффициент Джини будет тем же самым. Продолжая по аналогии, получаем, что и среди $0,1$ % богатейших жителей страны $B$ ( $1$ % богатейших жителей страны $C$ ) коэффициент Джини будет точно таким же.

Рейтинги неравенства

ВсОШ · заключительный этап · 2012

В некотором королевстве есть 2012 регионов. В каждом регионе население состоит из двух групп с ненулевой численностью, внутри которых доходы распределены равномерно.

Король поручил трем ведущим экономическим университетам составить рейтинги регионов по степени неравенства доходов (то есть расположить регионы по возрастанию уровня неравенства доходов в них). Единой меры неравенства не существует, и университеты используют в своей работе разные показатели:

Университет В. использует для измерения неравенства коэффициент Джини;
Университет Р. использует для измерения неравенства отношение среднедушевого дохода в более богатой группе населения к среднедушевому доходу в более бедной группе населения;
Университет М. измеряет неравенство с помощью отношения доходов 20 % богатейших жителей области к доходам 20 % беднейших.

По данным каждого из университетов, во всех 2012 регионах уровень неравенства доходов разный.

а) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами В. и Р., будут одинаковыми?

б) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами В. и М., будут одинаковыми?

в) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами Р. и М., будут одинаковыми?

г) Верно ли, что, какие два региона ни возьми, хотя бы два университета из трех всегда придут к одному мнению относительно того, в каком из них неравенство доходов выше?

Решение

Пусть x — доля более бедной группы в населении, а y — ее доля в доходе. Тогда коэффициент Джин равен x-y, а отношение среднедушевого дохода в группе богатых к среднедушевому доходу в группе бедных равно $\frac{(1-y)x}{(1-x)y}$ .

(а) Нет. (б) Нет. Контрпример один и тот же. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 20% населения и обладает 10% дохода, а во втором регионе бедная группа составляет 25% населения и обладает 14% дохода. Тогда коэффициенты Джини равны 0,2-0,1=0,1 и 0,25-0,14=0,11 соответственно. Поскольку в обоих этих регионах бедная группа составляет не меньше 20%, но и не больше 80% населения, 20% беднейших в каждом из этих регионов будут целиком принадлежать бедной группе, а 20% богатейших — целиком принадлежать богатой группе, из чего следует, что значения мер, используемых университетами Р. и М., совпадут. Они будут равны $\frac{(1-0,9)0,2}{(1-0,2)0,9}=\frac{9}{4}$ для первого региона и $\frac{(1-0,14)0,25}{(1-0,25)0,14}=\frac{43}{21}$ для второго. Как видим, университет В. придет к выводу, что в первом регионе неравенство меньше (0,1<0,11), а другие университеты — что оно меньше во втором регионе $(\frac{43}{21}<\frac{9}{4} )$ . Значит, в рейтинге В. первый регион будет выше, чем второй, а в рейтингах Р. и М. — наоборот, второй выше, чем первый, и рейтинги не совпадут.

(в) Нет. Ясно, что пример надо искать среди случаев, когда в одной из групп меньше 20% населения, иначе, как было замечено выше, эти две меры просто совпадают.

Контрпример. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 90% населения и обладает 45% дохода, а втором бедные составляют 80% населения и обладают 1/3 дохода. Тогда отношение среднедушевых доходов в первом регионе равно 11, а во втором – 8. С другой стороны, отношение доходов 20% богатейших к 20% беднейших во втором регионе также равно 8, а в первом – 6. (В первом регионе, в отличие от второго, в 20% богатейших вошли как члены более бедной, так и члены более богатой группы населения). Таким образом, рейтинги, составленные университетами, будут отличаться: в рейтинге Р. выше будет второй регион, а рейтинге M. — первый.

(г) Да. Поскольку все университеты считают, что во всех областях степень неравенства разная, есть всего два разных мнения – «в первой области неравенство больше» и «во второй области неравенство больше». Эти два мнения надо приписать трем университетам. Значит, хотя бы два университета из трех будут придерживаться одного мнения. Это рассуждение является не чем иным, как применением известного из математики принципа Дирихле.

Возникает интересная ситуация: как мы показали, любые два их трех университетов могут разойтись во мнениях по каким-то двум областям, но при этом хотя бы два из них во мнениях обязательно сойдутся.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.