Последовательные и повторяющиеся игры

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Рассмотрите отрасль, в которой действуют 100 максимизирующих прыбыль фирм, производящих товар Х. Все фирмы обладают одинаковыми технологиями производства с функциями совокупных издержек $TC(q_x)=cq_x$ , где $q_x$ - объем выпуска, $c > 0$ . Спрос на продукцию отрасли задан функцией: $Q^d(p)=\begin{cases} A-p, p \leq A \\ 0, p > A \end{cases}$ , где $A > 2c$ .

(а) Сравните изменение рыночной цены, вызванное введением потоварного налога со ставкой $t$ , где $t < c$ , для следующих случаев:

(1) в отрасли имеет место совершенная конкуренция (при заданном количестве фирм),

(2) в отрасли имеет место сговор, т.е. все фирмы объединились в картель.

(б) Как изменится ваш ответ на вопрос пункта (а), если функция спроса не является линейной, а имеет вид $Q^d(p)=p^{-b}$ , где $b > 1$ ?

Решение

(а) Равновесие при совершенной конкуренции – 1 балл.

В условиях совершенной конкуренции цена соответствует предельным издержкам производства.

Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

Введение потоварного налога влечет увеличение предельных издержек на величину, равную налоговой ставке, а потому цена возрастет в точности на ставку налога: $\Delta p^{\text{конк}}=t.$

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

В случае сговора фирмы продают продукцию по монопольной цене.

Найдем цену монополиста, решив задачу

\underset{(p)}{max}(p-c)(A-p)=\underset{(p)}{max}(-p^{2}+(A+c)p-Ac).

Итак,

p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

**Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.**Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{t}{2}.

Сравнение – 1 балл.

Таким образом, цена выросла меньше, чем при совершенной конкуренции.

(б) Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

В случае совершенной конкуренции не зависимо от вида функции спроса цена возрастет на величину налоговой ставки, так как мы имеем дело с горизонтальной кривой предложения.

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

Найдем цену при монополии, решив задачу $\underset{(p)}{max}(p-c)p^{-b}.$

Условие первого порядка $-b(p-c)p^{-b-1}+p^{-b}=0$ , откуда находим $p^{M}=\dfrac{c}{1-1/b}.$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Таким образом, в этом случае $\Delta p^{M}=\dfrac{t}{1-1/b}>t=\Delta p^{\text{конк}},$ поскольку $b>1$ , т.е. монопольная цена возрастет сильнее, чем конкурентная.

Сравнение – 2 балла.

В случае совершенной конкуренции при горизонтальной кривой предложения (обусловленной постоянством предельных издержек) вид функции спроса влияет лишь на изменение объема продаж, но не оказывает влияние на изменение цены.

В случае монополии, напротив, вид функции спроса оказывает решающее значение, поскольку определяет вид кривой предельной выручки.

Р2

Задача Р2

Билет Москва-Каракас с пересадкой в Нью-Йорке стоит 800 долларов. Билет Москва-Нью-Йорк стоит 1000 долларов, но ведь расстояние такого перелёта явно меньше. Как же так? Объясните причину такого ценообразования с точки зрения экономики.

Р3

Задача Р3

Жители Сигмаленда покупают только смартфоны Сигма, при этом их обратная функция спроса имеет вид P=100-Q, смартфоны производит монополист, издержки которого имеют вид TC=10Q. Государство хочет ввести налог по ставке t такой, чтобы собрать как можно больше денег на строительство школ, но жители не рады введению налога, поэтому государству будет необходимо потратить t² д.е. на создание промо роликов, чтобы жители не ругались. Помогите государство подобрать t, при котором достигается максимальное значение Т, где T=t*Q-t².

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Дели и выбирай

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 8–9 кл.

Старший и младший брат делят вкусный пирог. Каждый хочет съесть как можно больший кусок пирога, при этом пирог одинаковый со всех сторон, так что имеет значение только доля, которую съест каждый. Механизм дележа устроен следующим образом. Сначала старший брат подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очередность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает пирог любым способом на две части, после чего второй брат выбирает себе часть, а вторая часть остается разрезавшему.

Предположим, что у старшего брата есть фальшивая монета, на обеих сторонах которой нарисован орел, а младший брат об этом не знает. Старший брат решает использовать фальшивую монету, чтобы гарантированно получить выгодный ему результат жребия. На какое максимальное количество процентов может в результате этого трюка измениться его доля пирога? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.

Теория

Теория игр: последовательные и повторяющиеся игры

Дерево игры и обратная индукция

Дерево игры показывает порядок ходов, что знает игрок перед каждым ходом, его варианты и выигрыши в конце.

В последовательной игре «кто струсит» второй, увидев ход первого, отвечает лучшим образом: на «струсил» ответит «не струсить», на «не струсил» ответит «струсить». Зная это, первый выбирает «не струсить» и получает 1. Ходить первым выгодно: можно поставить соперника перед фактом.

Достоверные и недостоверные угрозы

Угроза или обещание работают, только если их выгодно выполнить, когда до них дойдёт дело. Фирма-монополист грозит начать ценовую войну, если конкурент войдёт на рынок. Но если после входа ценовая война принесёт убытки и самому монополисту, угроза недостоверна: войдя, конкурент увидит, что монополисту выгоднее смириться. Поэтому ищут равновесие в подыграх: такое, в котором стратегии оптимальны в любой точке дерева, а не только на пути игры.

Повторяющиеся игры

Если дилемма заключённого повторяется бесконечно (или с вероятностью продолжения $\xi$ каждый раз), появляются стратегии с наказанием:

«Око за око»: в первый раз сотрудничать, дальше повторять предыдущий ход соперника;
триггерная стратегия: сотрудничать, пока соперник сотрудничает, а после первого обмана наказывать вечно.

Пусть $\pi _{c}$ выигрыш при взаимном сотрудничестве, $\pi _{d}$ выигрыш обманщика в момент обмана, $\pi_n$ выигрыш при взаимной войне ( $\pi_d > \pi_c > \pi_n$ ), а $\delta = \xi \cdot \dfrac{1}{1 + r}$ вес будущего. Сотрудничать при триггерной стратегии соперника выгодно, если

\frac{\pi_c}{1 - \delta} \ge \pi_d + \frac{\delta\, \pi_n}{1 - \delta} \iff \delta \ge \frac{\pi_d - \pi_c}{\pi_d - \pi_n}.

Фирмы скорее отказываются от ценовой войны, если растёт вероятность дальнейшего взаимодействия, растёт значимость будущих прибылей, выигрыш от одностороннего снижения цены мал, а взаимная война очень болезненна.

Мэтчингидля заключительного этапа

Задачи о составлении пар: женихи и невесты, абитуриенты и вузы, работники и фирмы. Пары устойчивы, если нет двоих, которые предпочли бы друг друга своим нынешним парам. Алгоритм Гейла-Шепли (отложенного согласия) всегда находит устойчивое распределение: одна сторона подаёт заявки по списку предпочтений, другая временно держит лучшую из полученных заявок и отказывает остальным; отказанные подают следующую заявку; процесс повторяется, пока заявки не прекратятся. Подробный пример с правилами приёма в вузы разобран в части об общественном выборе.

Игра «ультиматум»

Пример

Делёж 100 рублей

Первый предлагает, как разделить 100 рублей; второй принимает (делят так) или отказывается (оба ничего не получают).

Решение. Обратная индукция: второму выгодно принять любую положительную сумму, поэтому первый предлагает минимум (1 рубль). В экспериментах же люди обычно предлагают 40–50%, а предложения меньше 20% часто отвергают: люди готовы терять деньги, чтобы наказать несправедливость. Это пример социальных предпочтений (глава 107).

Разбор: «Неформальные контракты в команде» (заключительный этап 2024)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Премии, которые выгодно выплачивать

Двое тестировщиков проверяют по своей части сайта; в каждой части ошибка есть с вероятностью $\dfrac{1}{2}$ независимо. Добросовестная проверка стоит работнику 15 (тыс. руб.) и находит ошибку, если она есть; отлынивающий ничего не находит. Пропущенная ошибка стоит владельцу 80. Премия за найденную ошибку обещана неформально: владелец может не заплатить, но тогда уходят оба работника, и он теряет 50.

Решение. Стимул работника. Работая, он получает премию $b$ с вероятностью $^{1}_{2}$ : работать выгодно при $_{2}^{b} \ge 15$ , то есть $b \ge 30$ .

Две премии по 30 недостижимы. Если оба нашли ошибки, владельцу пришлось бы заплатить 60, а обман стоит ему только 50: он обманет. Работники это понимают.

Премия только первому: $b = 30 \le 50$ , обещание достоверно. Ожидаемые потери владельца $^{1}_{4}(0 + 30 + 80 + 110) = 55$ против 60 без премий: выгодно.

Премии зависят от результатов обоих: $b_{1}$ , если ошибку нашёл только один, $b_{2}$ каждому, если оба. Стимул: $^{1}_{4}b_{1} +^{1}_{4}b_{2} \ge 15$ , то есть $b_{1} + b_{2} \ge 60$ . Достоверность: $b_{1} \le 50$ и $2b_{2} \le 50$ .

Ожидаемые выплаты $\dfrac{b_1 + b_2}{2}$ минимальны (30) при $b_1 + b_2 = 60$ , $b_1 \in [35; 50]$ , $b_2 \in [10; 25]$ ; это выгоднее схемы с одной премией (55).

Ответ. Оптимальны пары с $b_{1} + b_{2} = 60$ , $35 \le b_{1} \le 50$ ; например, премиальный фонд 40, который делится между нашедшими ошибки: $b_{1} = 40$ , $b_{2} = 20$ . Привязка премии к результату коллеги делает обещание достоверным.

Задачи

Базовый уровень

Eco-friendly

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 9 кл.

В городе Врн компанией «Pirelli» организовано производство автомобильных покрышек. Спрос на покрышки имеет вид $Q_d=100-P+20\beta$ , где $P$ – цена покрышек, а коэффициент $\beta$ определяет степень экологичности производства. $\beta = 1$ , если производство экологичное, и $\beta = 0$ в ином случае (то есть может принимать только эти два значения). Функция издержек фирмы также зависит от $\beta$ и имеет вид: $TC=(1+\beta)Q^2+100+50\beta$ .

(10 баллов) «Pirelli» является монополистом на рынке покрышек в городе Врн. Определите, какое $\beta$ выберет фирма, какой объем продукции произведет и какую прибыль получит.
(2 балла) Какой размер аккордной субсидии должно выплатить фирме государство, чтобы производство стало экологичным? Считайте, что если фирме безразлично, делать заводы экологичными или нет, она будет делать первое. Государство выплачивает субсидию только тем фирмам, которые заботятся об экологии!
(18 баллов) Теперь правительство региона взяло «Pirelli» под свой контроль и само выбирает коэффициент $\beta$ . Оно руководствуется интересами общества и максимизирует совокупную функцию полезности $U=\sqrt{\beta}+\pi$ , где $\pi$ – прибыль фирмы. Взаимодействие между государством и компанией устроено так: сначала государство выбирает значение $\beta$ , а затем фирма выбирает объем производства. Какое значение $\beta$ установит государство?

Решение

Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$ . Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:

\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$ , поэтому максимум – в вершине.

Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}

Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:

\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta

Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$ :

\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150

\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050

Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$ . 2. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$ , где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим:

1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant 100

Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$ . Тогда совокупная функция полезности имеет вид:

U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta

Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$ :

U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150

U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051

Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$ , поэтому государство выберет $\beta^* = 0$

Пирог под кастрюлями

Конкурс РЭШ · 2013

У Алисы и Боба есть пирог. Если пирог резать много раз, он крошится, поэтому больше одного раза резать его нельзя. Алиса

предлагает: «Боб, давай я разрежу пирог на две части, ты выберешь себе одну из частей, а вторая достанется мне».

а) Объясните, почему Алисе выгодно разрезать пирог так, чтобы половины были одинаковыми.

б) Боб в ответ говорит: «Алиса, я придумал отличную идею. Я разрежу пирог на два куска и спрячу под двумя кастрюлями, один кусок под

синей, другой под красной. Ты выберешь кастрюлю, и какой кусок под ней окажется, такой тебе и достанется». Под какую кастрюлю Боб положит кусок побольше, если он знает, что Алиса в подобных ситуациях чаще выбирает красную кастрюлю?

в) Как Алисе надо выбирать кастрюлю, если она знает, что куски разные?

г) Какую долю торта — большую или маленькую — получит Боб с большей вероятностью? Какую долю торта в среднем будет получать Боб? Что с ней произойдет, если Боб поделит куски чуть более справедливо?

Решение

Задачу интересно решать, если оба участника хотят пирог, и чем больше пирога, тем лучше.

а) Боб при выборе из двух неравных частей выберет ту, которая больше. Если один из кусков будет меньше половины, Алисе достанется меньше, чем полпирога. Если половины будут равными, Алисе достанется полпирога, поэтому Алисе выгодно стараться, чтобы половины были одинаковыми

б) Если Алиса чаще выбирает красную кастрюлю, Бобу выгодно ничего под нее не класть: Боб будет получать весь пирог с вероятностью, большей 1/2, то есть, средний размер пирога, получаемого Бобом, составит больше половины. Разумеется, если радость Боба от пирога нелинейна по объему, Боб может решить, что надежные полпирога (в случае равного распределения) выгодней, чем лотерея.

в) Если Алиса считает, что Боб будет делить пирог поровну, то она может выбирать кастрюли как угодно. Если Алиса понимает, что Боб будет класть весь пирог под ту кастрюлю, которую она выбирает реже, то она выбирать кастрюли с разными вероятностями ей незачем, поэтому она будет выбирать кастрюли с равными вероятностями.

г) Боб получит большую или маленькую части пирога с равными вероятностями. Поэтому в среднем Боб получит полпирога, вне зависимости от того, как именно он поделит пирог: никаких стимулов к справедливости у Боба нет, если он максимизирует средний объем пирога.

Средний уровень

Учитель и ученики

ВсОШ · заключительный этап · 2015

Рассмотрим модель взаимодействия учителя и учеников в обычном классе средней общеобразовательной школы. Для учеников пусть существуют следующие характеристики: усилия $e_s$ и результаты $r_s=e_s-\frac{e_s^2}{e_t}$ (успеваемость); для учителя: зарплата $w$ , усилия $e_t$ и полезность $U_t=w\cdot r_s-e_t^2$ . Зарплата является экзогенной величиной, которую устанавливает администрация школы. Каждый из агентов выбирает свой уровень усилий, максимизируя при этом либо результат (ученики), либо полезность (учитель).

Порядок действий следующий:

администрацией назначается некий уровень зарплаты для учителя;
учитель выбирает уровень усилий;
ученики выбирают уровень усилий.

Учитель и ученики знакомы давно, а потому знают, какую целевую функцию максимизирует каждый из них.

(а) Найдите равновесные уровни усилий для учителя и учеников.

(б) Пусть теперь администрация выбирает уровень зарплаты учителя, исходя из максимизации собственной полезности $U_a=r_s+U_t-w^2/32$ . Чему равны равновесные уровни зарплаты и усилий?

(в) Вернемся снова к первому пункту. Пусть теперь учителя вообще не интересуют результаты учеников: $U_t=w/64-e_t^2$ , однако, если учитель будет прикладывать усилия меньше чем 1/16, то его уволят, и он не будет получать зарплату. Найдите равновесные уровни усилий и результаты учеников в данном случае. Определите, при каком уровне зарплаты учителю все равно, учитывать или нет результаты учеников.

Решение

(а) Согласно заданному порядку действий верна обратная индукция: сначала ученики определяют оптимальный уровень своих усилий, максимизируя свои результаты при заданном уровне усилий учителя:

r_{s}=e_{s}-\dfrac{e_{s}^{2}}{e_{t}}\to max

Функция результатов является квадратной с ветвями вниз относительно усилий учеников, следовательно, ее максимум находится в вершине:

\begin{gathered}e_{s}=\frac{e_{t}}{2}\\ r_{s}=\dfrac{e_{t}}{4}\end{gathered}

Теперь учитель максимизирует свою полезность, зная уровень усилий учеников и при заданной экзогенно зарплате:

U_{t}=w\cdot r_{s}-e_{t}^{2}=U_{t}=w\cdot \dfrac{e_{t}}{4}-e_{t}^{2} \to max

Функция полезности учителя является квадратной с ветвями вниз относительно усилий учителя, следовательно, ее максимум находится в вершине:

\begin{gathered}e_{t}=w/8 \\ \text{Тогда } e_{s}=\dfrac{e_{t}}{2}=\dfrac{w}{16}; r_{s}=\dfrac{e_{t}}{4}=\dfrac{w}{32}; U_{t}=\dfrac{w^{2}}{64} \end{gathered}

(б) Поскольку учитель считает уровень зарплаты заданным, то новое условие – последний шаг в обратной индукции: теперь администрация максимизирует свою полезность, зная, какие уровни усилий будут выбирать учитель и ученики:

U_{a}=r_{s}+U_{t}-\dfrac{w^{2}}{32}=\dfrac{w}{32}+\dfrac{w^{2}}{64}-\dfrac{w^{2}}{32}=\dfrac{w}{32}-\dfrac{w^{2}}{64} \to max

Функция полезности администрации является параболой с ветвями вниз относительно зарплаты, следовательно, ее максимум находится в вершине:

\begin{gathered}w=1\\ \text{Тогда } e_{t}=w/8=\dfrac{1}{8}; e_{s}=\dfrac{e_{t}}{2}=\dfrac{w}{16}=\dfrac{1}{16}\end{gathered}

(в) Так как учитель не хочет быть уволенным и не получать зарплату (его полезность тогда будет равна 0), то он будет прикладывать усилия больше либо равные 1/16. Так как в функции полезности его усилия входят в виде $(-e^{2}_{t})$ , то ему нет смысла выбирать уровень усилий больший 1/16. Следовательно, учитель будет выбирать $e_{t}=\dfrac{1}{16}.$ Тогда $e_{s}=\dfrac{1}{32}.$ Максимум полезности в этом случае равен $U_{t}=\dfrac{w}{64}-\dfrac{1}{256}$ .

Найдем, при каком уровне зарплаты учителю будет все равно:

\begin{gathered}\dfrac{w}{64}-\dfrac{1}{256}=\dfrac{w^{2}}{64}\\ w=\dfrac{1}{2}\end{gathered}

Двойной пирог

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 10–11 кл.

Агриппина и Валентин делят вкусный пирог. Пирог представляет собой прямоугольник 100 см × 10 см и может быть разрезан на две части только вдоль короткой стороны так, чтобы длина каждой из сторон составляла целое число сантиметров. Одна половина пирога (50 см × 10 см) состоит из птичьего молока, а другая — из бисквита, при этом Агриппина больше любит птичье молоко, а Валентин — бисквит. Каждый из ребят из двух кусков всегда предпочитает тот, в котором больше его любимого ингредиента, а если любимого ингредиента в кусках поровну, то тот, который больше по площади.

Механизм дележа устроен следующим образом. Агриппина подбрасывает монетку, по результатам этого определяется очередность дальнейших ходов. Тот, кто выиграл жребий, разрезает пирог любым возможным способом на две части, после чего второй выбирает себе часть, а вторая часть остается разрезавшему. На сколько процентов площадь куска, доставшегося Агриппине, при благоприятном для нее исходе жребия будет больше, чем при неблагоприятном? При необходимости округлите ответ до целого числа процентов.

Решение

Пусть кто-то каким-то образом разрезал пирог. Тогда второй участник дележа будет поступать следующим образом. Если среди двух частей есть часть, в которой больше его любимого ингридиента, то он выберет именно эту часть. Если обе части содержат одинаковое количество его любимого ингридиента, то он выберет большую по площади часть. Это означает, что тот, кто выбирает одну из двух частей, может гарантировать себе как минимум половину от общей массы своего любимого ингридиента при любом разрезе. Значит, тот, кто производит разрез, в лучшем случае может претендовать на 100 % любимого ингридиента плюс чуть меньше половины менее любимого ингридиента. Чтобы обеспечить себе максимально хороший результат, он должен разрезать пирог на два куска: 74 см $\times$ 10 см и 26 см $\times$ 10 см, где кусок 26 см $\times$ 10 см целиком состоит из нелюбимого ингридиента. Тогда разрезавший пирог получит кусок площадью 740 $\text{см}^2$ (причем он получит всю часть со своим любимым ингридиентом), а выбирающий одну из двух частей получит кусок пирога площадью 260 $\text{см}^2$ . Поэтому при удачном жребии площадь доставшегося пирога будет на $\frac{740-260}{260}\times 100 \%\approx 185 \%$ больше, чем при неудачном.

Ответ. 185 %

Олимпиадный уровень

Манипулятор

ВсОШ · заключительный этап · 2013

Совет директоров ЗАО «Манипулятор» состоит из трех человек — Васи, Пети и Маши (Маша — председатель совета). Они должны принять решение о том, какие рекомендации по распределению полученной компанией прибыли дать общему собранию акционеров. Существует три альтернативы:

Альтернатива A. Выплатить всю прибыль в виде дивидендов акционерам.

**Альтернатива B.**Вложить всю прибыль в покупку новейшего оборудования.

Альтернатива C. Выплатить половину прибыли в виде дивидендов, а вторую половину вложить в усовершенствование имеющегося оборудования.

Предпочтения членов совета относительно альтернатив представлены в таблице:

	Вася	Петя	Маша
Самая лучшая	A	B	C
Средняя	B	C	A
Самая худшая	C	A	B

На голосование выставляются все три альтернативы, и каждый член совета должен проголосовать ровно за одну из них. Если есть альтернатива, которая набрала больше одного голоса, то она реализуется, в противном случае реализуется та альтернатива, за которую проголосовала председатель Маша. Голосование открытое и последовательное: сначала свой выбор объявляет вслух один член совета директоров, после него — второй и, наконец, третий.

Порядок голосования определяет председатель Маша. Какой порядок она выберет?

Решение

Всего существует 6 возможных порядков голосования; обозначим их по первым буквам имен членов совета директоров: ВПМ, ВМП, МПВ, МВП, ПВМ, ПМВ.

Маша выберет тот из них, при котором она добивается реализации как можно более хорошей для себя альтернативы. Докажем, что при порядке голосования ПМВ Маша сможет добиться реализации альтернативы С, а при всех остальных порядках голосования альтернатива С реализована не будет. Сначала установим несколько простых фактов.

Утверждение 1. Если первый из голосующих называет не самую лучшую для себя альтернативу, то именно названная им альтернатива будет реализована.

**Доказательство.**Для одного из оставшихся членов совета директоров названная первым голосующим альтернатива будет самой лучшей. Поэтому можно быть уверенным в том, что за данную альтернативу будет отдано как минимум 2 голоса, в результате чего

она будет реализована.

Утверждение 2. Первый из голосующих никогда не отдаст свой голос за самую худшую из своих альтернатив.

**Доказательство.**По утверждению 1 если первый проголосует за альтернативу, которая не является для него наилучшей, то именно она будет реализована. Значит, первому заведомо лучше назвать среднюю альтернативу, чем самую худшую.

Утверждение 3. Если Вася голосует первым, то будет реализована альтернатива В.

Доказательство. Из утверждения 2 следует, что Вася не будет голосовать за альтернативу С. По утверждению 1, если Вася проголосует за В, то будет реализована альтернатива В. Пусть теперь Вася голосует за А. Если вторым голосует Петя, то для него альтернатива В недостижима, так как, проголосовав за В, он обнаружит, что Маша проголосовала за С и победила альтернатива С. Поэтому Пете придется довольствоваться альтернативой В. Если второй голосует Маша, то она может обеспечить себе альтернативу С: если она проголосует за С, то Пете придется выбирать между В и С, и он сделает выборв пользу С. Понимая это, Вася назовет В, а не А. Тогда будет реализована альтернатива В.

Утверждение 4. Если Петя голосует первым, а Вася – вторым, то будет реализована альтернатива В.

Доказательство. Если Петя назовет альтернативу В, то Васе придется назвать В и согласиться с тем, что победит альтернатива В. Если бы Вася назвал А или С, то Маша отдаст свой голос за С. В результате этого победит С, что Васю не устраивает. Таким образом, при порядке голосования ПВМ побеждает альтернатива В.

Нож в спину картели

Авторские задачи · 2025

Что сильнее -- коллективный разум или индивидуальный интерес? Две далее представленные фирмы на олигополистическом рынке олицетворяют эту дилемму. Спрос на их продукцию задан функцией Q = 60 – 0.5Р, Q = q1 + q2. На производство каждой единицы продукции компании несут издержки в размере с = 8, а начальных издержек нет. В течение некоторого времени фирмы честно конкурировали, но вскоре поняли, что могут объединиться в картель, взвинтить цены и получать большую прибыль. Участники такого сговора выбирают оптимальные равные количества q1 и q2, максимизируя суммарную прибыль и делят её между собой поровну. Если же какая-то фирма решит «предать» другую, то есть не соблюсти договор и назначить иное, своё количество, все последующие периоды на рынке будет равновесие при конкуренции по Курно.

Обе фирмы хотят максимизировать свою дисконтированную прибыль в безграничной временной перспективе, а ставка дисконтирования постоянна и равна δ ∈ [0;1].

а) При каком δ финансовый результат обоих сценариев будет идентичен?

б) Пусть δ = 0,4. Сделайте вывод о том, какая из прибылей будет больше: с предательством или без. Подумайте, всегда ли после отклонения фирмы от оговоренного количества её прибыль увеличивается.

в) Есть ли какие-то предпосылки, которыми руководствовалась фирма, нарушая сговор и максимизируя свою прибыль? Придумайте пример, когда после отклонения первой фирмы, её прибыль уменьшилась, по сравнению с получаемой ею картельной прибылью.

г) На горизонте для картеля появился грозный регулятор -- Федеральная антимонопольная служба. Теперь каждый раз при объединении в одну фирму с целью получения монопольной прибыли, участники картели обязаны заплатить штраф в размере А в какой-то период t1, выбираемый ФАС. Интуитивно объясните, что произойдёт с коэффициентом δ, при котором фирме безразлично договариваться или нет.

д) Пусть главы фирм решили, что не стоит так радикально реагировать на отклонение другого и полностью ограничивать последующее взаимодействие. Теперь, если какая-то фирма решит предать другую, то последующие Т периодов вторая фирма будет сожалеть об этом предательстве, и только в течение этого времени на рынке будет конкуренция. При каком коэффициенте δ сговор не будет нарушен для любого Т?

Решение

а) Посчитаем прибыль в случае кооперации двух фирм:

П = PQ -TC = (120 - 2q1 - 2q2)Q - 8*(q1+q2) = (120 - 2Q)Q - 8Q --> max

Q* = 112/4 = 28 => q1 = q2 = 14

П = 11228 - 28282 = 2828*2= 1568

тогда каждая фирма в сговоре получает 784

Пусть, не умаляя общности, первая фирма решит предать вторую: тогда

посчитаем её прибыль:

П1 = (120 - 2q1 - 2q2)q1 - 8q1 --> max

-2q1*q1 + q1( 120 - 28 - 8) --> max

q1* = 84/4 = 21

П1 = 21212 = 882

После предательства на рынке образуется конкуренция: посчитаем прибыль фирм в этом случае:

П Курно = (120 - 2q1 - 2q2)q1 - 8q1 --> max

q1* = 28 - 0.5q2

Аналогично q2* = 28 -0.5q1, эти два условия в оптимуме выполняются одновременно. Откуда 0,75q2 = 14 --> q2 = q1 = 18,66 --> Q = 37,3

Подставим в прибыль при курно:

П = 45,418,66 – 818,66 = 847 – 149 = 699

Итого сравним две прибыли с учётом дисконтирования:

не предавать V предать

784 + 784 δ + 784 δ^2 + … V 882 + 699 δ + 699 δ^2 + 699 δ^3 + …

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

S = b1 / (1-q), в данном случае q = δ

784 + 784 δ / (1- δ) V 882 + 669 δ / (1- δ)

85 δ / (1- δ) V 98

85 δ V 98 - 98 δ

183 δ V 98

δ V 98/183 = 0,54

Значит при δ = 0,54 безразлично нарушать сговор или нет.

б) Если δ = 0.4 > 0,54 --> первая геом прогрессия больше второй --> фирмам выгодно нарушить сговор.

в) Максимизируя прибыль после прекращения кооперации, отклонившаяся фирма предполагает, что другая будет действовать также, как и в прошлых периодах, то есть назначив ранее оговоренное количество. Однако это не всегда выполняется. Пусть вторая фирма посмотрев на коэффициент дисконтирования тоже решила не выполнить своё обещание. Тогда обе фирмы назначат количество равное 21, и из-за низкой цены при таком предложении q = 42 прибыли фирм упадут.

г) Теперь объединение фирм менее выгодно, поэтому, так как деньги сейчас мы ценим больше чем потом, а прибыль картели в первом периоде упала, то, чтобы излишек предателя в первый период значил меньше, коэффициент δ должен увеличиться.

д) В данном пункте делаем всё то же самое, что и в пункте (а), но прибыль становится убывающей не бесконечно геометрической прогрессией. Записываем эти прибыли, выраженные через δ и через Т. Пишем, что одна из них всегда больше другой и смотрим, есть ли такой δ, и если есть, то чему равен.

Рад, что вы зашли на мою задачу)

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.