Рынок труда

Решение 1 (простое, не требует знания производной):

Выведем функцию переменных издержек фирмы.

Выражая $L$ из производственной функции, получаем

Значит, $VC(Q)=wL=w(Q^3-12Q^2+48Q)$.

Значит, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид

$AVC(Q)=wL=w(Q^2-12Q+48)=w((Q-6)^2+12)$.

Средние переменные издержки достигают минимума, когда выражение в квадрате равно нулю. Значит, минимум $AVC$ равен $12w$.

Фирма останется на рынке, если цена не меньше, чем минимум средних переменных издержек, то есть если $12w \leq P=60$ . Отсюда $w\leq 5$.

Название фирмы является намеком на этот простой метод решения.

Решение 2 (громоздкое, требует знания производной и одного специального факта):

Есть такой факт: фирма останется на рынке, если зарплата не больше, чем максимум среднего продукта труда в денежном выражении.

Найдем этот максимум.

Производная этого выражения равна:

Обладая недюжинной интуицией, можно угадать корень этого выражения: $L=72$ .

Производная в этой точке меняет знак с плюса на минус, значит это действительно точка максимума.

Значит, максимальный средний продукт труда в денежном выражении равен

$60 \frac{4+\sqrt[3]{72-64}}{72}=5$

Ответ. Фирма останется на рынке при $w\leq 5$.

При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное ограничение, не оговоренное в условии, что $h \leq 24$, а можно не учитывать. Стоит засчитывать оба варианта решения.

Вариант 1 (не учтено ограничение $h \leq 24$)

Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).

При $h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $\frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow w \geq 80$ (3 балла). При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла).

При $h < \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w} \leftrightarrow w < \frac{160}{3}$ (3 балла). При $w \geq \frac{160}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{160}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла).

Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U (\text{вершина})$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$

Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$ (1 балл).

Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$, она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$.

Вариант 2 (учтено ограничение $h \leq 24$)

Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).

Первый участок.

При $24 \geq h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $24 \geq \frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow 96 \geq w \geq 80$. При $w > 96$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w > 96$ на данном участке является $h^{*} = 24$.

При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$.

Нужно, чтобы $\frac{1600}{w} \leq 24 \leftrightarrow w \geq \frac{200}{3}$.

При $w < \frac{200}{3}$ не выполняется условие $24 > h$.

Второй участок.

При $h < \frac{1600}{w}, h \leq 24$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} \leq 24 \leftrightarrow w \leq \frac{128}{3}$.

$h^{*} = 24$, если $24 < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} > 24 \leftrightarrow w \in [\frac{128}{3}; \frac{200}{3}]$

При $w \geq \frac{200}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{200}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$.

Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U(\text{вершина})$, а первый кусок отсутствует при $w \leq \frac{200}{3}$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$

Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$.

Разбалловка: по 4 балла за каждый участок функции полезности (минус 2 балла, если пропущен какой-то из случаев ограничений на $w$), 2 балла за итоговую функцию предложения труда, 1 балл за вывод о невозрастании.

Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$

Она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$.