Курно, Штакельберг, Бертран

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

На рынке сигарет конкурируют два производителя. Может ли прибыль каждого из них вырасти, если будет введён запрет на рекламу сигарет? (Постройте таблицу игры, где каждая фирма выбирает из двух стратегий — рекламировать или не рекламировать, задав подходящим образом прибыли фирм в каждом из четырёх исходов. Найдите равновесный исход. Является ли он эффективным?)

Решение

$\pi_i = TR_i - TC_{i\text{ на рекламу}}$

Общий спрос на сигареты, равный 4 единицам, делится между фирмами в зависимости от рекламы. $TC_i = \begin{cases} 1\text{, если рекламирую} \\ 0\text{, если не рекламирую} \end{cases}$

Фирма 1 Фирма 2	рекламировать	не рекламировать
рекламировать	$^\lor \frac{4}{2} - 1 ; \frac{4}{2} - 1^\lor$	$^\lor \frac{4}{1} - 1 ; 0 - 0$
не рекламировать	$0 - 0 ; \frac{4}{1} - 1^\lor$	$\frac{4}{2} - 0 ; \frac{4}{2} - 0$

Значит, равновесие Нэша: (рекламировать; рекламировать)

Этот исход неэффективен: Парето-улучшение к нему — (не рекламировать; не рекламировать).

Если запретить рекламу, то исход (не рекламировать, не рекламировать) станет равновесным.

Р2

Задача Р2

Фирма «Гудок» является единственным производителем на рынке паровозов в некоторой стране. У фирмы есть шесть потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного паровоза. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за паровоз, составляет 1000 монет. Второй покупатель согласен заплатить за паровоз не более 800 монет. Третий – не более 600. Четвёртый – не более 400. Наконец, пятый и шестой покупатели согласны заплатить за паровоз максимум по 200 монет. По местным законам фирма обязана продавать все паровозы по одинаковой цене. Какую цену ей следует установить для получения наибольшей выручки?

Решение

Составим наглядную таблицу:

Цена	Количество покупателей по данной цене	$\begin{array}{c} \text{Выручка}= \\ \text{Цена} \cdot \text{Количество} \\ \textbf{За формулу - 2 балла}\end{array}$
1000	1	1000
800	2	1600
600	3	1800 максимальное значение
400	4	1600
200	6	1200

Ответ. 600 монет

Р3

Задача Р3

Динамично развивающаяся фирма по производству электрокаров нового поколения «E-car» приобрела постепенно затухающий завод «БензГазТрактор». До заключения этой сделки производительность труда в «E-car» составляла $400$ тыс. руб. в год, а на покупаемом старом заводе $–$ $100$ тыс. руб. После покупки завода производительность труда в обновленной фирме «E-car» составила $425$ тыс. руб. Как изменилась производительность труда для «E-car», если известно, что в «БензГазТракторе» трудилось в $4$ раза меньше работников, чем в «E-car», а после сделки персонал сократился на $20\%$ ?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Sussy рынок

Авторские задачи · 2023

Sussy рынок

Армянин Амогус и его брат Омогус решили торговать на рынке нард, спрос на котором задается уравнением P = max{10 - Q; 0}.

Братья - олигополисты, принимающие решения независимо и одновременно, братская любовь все же не абсолютная

Издержки Амогуса задаются так:

TCа = 4Qa - 5Qo + 5, Qa > 0 и

4Qa - 5Qo, Qa = 0.

Амогус очень любит своего брата, так что невероятно радуется его продажам, но зато сам продавать он не очень любит

TCo = 4Qo, издержки Омогуса же не зависят от его брата.

Соответственно, как и в 90% задач по экономике найдите равновесие)

Теория

Модель Курно: одновременный выбор количеств

Простой пример

Спрос $P = 100 - Q$ , у двух фирм $\mathit{MC} = 10$ .

1. Прибыль первой: $(100-q_{1}-q_{2}-10)q_{1}$ ; при фиксированном $q_{2}$ это парабола по $q_{1}$ с вершиной

$q_1 = \dfrac{90 - q_2}{2}$ . Это линия реакции первой фирмы; у второй симметрично.

1. Пересечение: $q_{1} = q_{2} = 30$ , $Q = 60$ , $P = 40$ , прибыль каждой 900.
1. Для сравнения: монополия $Q = 45$ , $P = 55$ ; конкуренция $Q = 90$ , $P = 10$ .

Равновесие Курно в точке К (q1 = q2 = 30); лидер Штакельберга выбирает точку Ш на линии реакции второй фирмы — **Рис. 57.1:** Равновесие Курно в точке К ( $q_{1} = q_{2} = 30$ ); лидер Штакельберга выбирает точку Ш на линии реакции второй фирмы

Алгоритм

Определение

Решение модели Курно

1. Записать прибыль каждой фирмы, подставив цену из спроса: $P = P (q_{1} + q_{2} + ...)$ .
1. Максимизировать прибыль фирмы по её выпуску при фиксированных выпусках остальных: получить линию реакции. Обязательно учесть $q_{i} \ge 0$ : при большом выпуске конкурентов фирма производит ноль.
1. Найти пересечение линий реакции (лучше с рисунком в осях $(q_{1}; q_{2})$ , если у линий несколько участков).

Пример

Угловое равновесие

$P = 180 - Q$ , $\mathit{TC}_1 = 150q_1$ , $\mathit{TC}_2 = 100q_2$ .

Решение. Линия реакции первой: $q_1 = \dfrac{30 - q_2}{2}$ при $q_2 \le 30$ , иначе 0. Второй: $q_2 = \dfrac{80 - q_1}{2}$ при $q_1 \le 80$ , иначе 0. Если искать внутреннее пересечение, получится $q_1 < 0$ . На рисунке линии пересекаются в углу: $q_{1} = 0$ , $q_{2} = 40$ . Первая фирма с высокими издержками не производит, вторая ведёт себя как монополист.

Курно для n одинаковых фирм

Спрос $P = a - bQ$ , у всех фирм $\mathit{MC} = c$ . Линия реакции фирмы $i$ : $q_i = \dfrac{a - c - bQ_{-i}}{2b}$ , где $Q_{-i}$ выпуск остальных. В симметричном равновесии

q = \frac{a - c}{b(n + 1)}, \qquad Q = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{a - c}{b}, \qquad P = \frac{a + nc}{n + 1}.

При $n = 1$ это монополия, при $n \to \infty$ цена стремится к $c$ , то есть к конкуренции. Чем больше фирм, тем ниже наценка.

Квазипостоянные издержкидля заключительного этапа

Если фирма несёт издержки $F$ только при ненулевом выпуске, её линия реакции имеет разрыв: при большом выпуске конкурента прибыль $\dfrac{(a - c - bQ_{-i})^2}{4b} - F$ становится отрицательной, и выгоднее перескочить на ноль. Поэтому в зависимости от $F$ равновесие может быть одно, несколько (например, «работают обе» и «работает только одна») или меняться скачком.

Изопрофитыдля заключительного этапа

Изопрофита фирмы это множество пар $(q_{1}; q_{2})$ с одинаковой прибылью этой фирмы. Чем ближе изопрофита первой фирмы к оси её выпуска (чем меньше $q_{2}$ ), тем выше прибыль. При каждом $q_{2}$ оптимальный $q_{1}$ это вершина самой низкой доступной изопрофиты; соединив вершины, получают линию реакции.

Ограничение мощностей

Пример

Мощность второй фирмы

$P = 100 - Q$ , $\mathit{MC} = 10$ у обеих, но вторая фирма может выпустить не больше 20.

Решение. Без ограничения было бы по 30. Линия реакции второй: $q_2 = \min\left\{\dfrac{90 - q_1}{2};\ 20\right\}$ . Предположим, ограничение действует: $q_2 = 20$ , тогда $q_1 = \dfrac{90 - 20}{2} =$

$35$ . Проверка: при $q_{1} = 35$ вторая хотела бы $27{,}5 > 20$ , значит, ограничение действительно работает. Ответ: $q_{1} = 35$ , $q_{2} = 20$ , $P = 45$ .

Разбор: «Максимизируем выручку, чтобы максимизировать прибыль» (заключительный этап 2021)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Менеджер как обязательство

Две фирмы с издержками 3 на единицу выбирают выпуски одновременно, $P = 12-q_{A}-q_{B}$ . Владелец фирмы A может нанять менеджера и платить ему долю выручки (или выручки и прибыли), а менеджер выбирает выпуск.

Решение. Без менеджера (Курно): $q_{A} = q_{B} = 3$ , прибыли по 9.

Менеджер максимизирует выручку: его линия реакции $q_A = \dfrac{12 - q_B}{2}$ (выше, чем у владельца), фирма B отвечает $q_B = \dfrac{9 - q_A}{2}$ . Равновесие $q_A = 5$ , $q_B = 2$ , $P = 5$ , прибыль A равна 10: больше, чем 9.

Почему так. Договор с менеджером публичен и работает как обязательство производить много; конкурент, видя это, сокращает выпуск. Это та же логика, что у лидера Штакельберга.

Лучшая оплата. Если платить $\alpha \cdot \mathit{TR} + \beta \cdot \Pi$ , можно подобрать соотношение, при котором выпуски совпадают с исходом Штакельберга ( $q_A = 4{,}5$ , $q_B = 2{,}25$ ): условие менеджера $\alpha(12 - q_B - 2q_A) + \beta(9 - q_B - 2q_A) = 0$ в этой точке даёт $\dfrac{\alpha}{\beta} = 3$ .

Ответ. Делегирование с правильными стимулами даёт владельцу прибыль лидера. Отсюда одно из объяснений, почему фирмы на практике часто ориентируются на выручку, а не только на прибыль.

Модель Штакельберга: последовательный выбор количеств

Простой пример

Спрос $P = 100 - Q$ , $\mathit{MC} = 10$ , первая фирма лидер.

Последователь: $q_2 = \dfrac{90 - q_1}{2}$ .
Прибыль лидера: $(90 - q_1 - q_2)q_1 = \left(45 - \dfrac{q_1}{2}\right)q_1$ , максимум при $q_1 = 45$ .
$q_{2} = 22{,}5$ , $Q = 67{,}5$ , $P = 32{,}5$ . Прибыль лидера $1012{,}5$ больше, чем в Курно (900), последователя меньше ( $506{,}25$ ).

Пример

Кусочная линия реакции

$P = 30 - Q$ , $\mathit{TC}_{1} = 15q_{1}$ (лидер), $\mathit{TC}_{2} = 10q_{2}$ .

Решение. Последователь: $q_2 = \dfrac{20 - q_1}{2}$ при $q_1 \le 20$ , иначе 0. Прибыль лидера: при $q_1 \le 20$ получается $5q_1 - \dfrac{q_1^2}{2}$ , при $q_1 > 20$ получается $15q_1 - q_1^2$ . На первом участке вершина $q_1 = 5$ (прибыль 12,5); на втором вершина 7,5 вне участка, лучшая точка $q_1 = 20$ с прибылью $-100$ . Ответ $q_{1} = 5$ , $q_{2} = 7{,}5$ .

Тот же алгоритм работает для любых последовательных решений: максимизировать цель последнего, подставить его ответ в цель предыдущего и так далее.

Лидер с более низкими издержками

Разбор: «О пользе самоограничения» (заключительный этап 2023)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Последователь выигрывает, ограничив свои мощности

Спрос $p = 2 - q_{A} - q_{B}$ , издержки единицы 1. Лидер «Анна» выбирает выпуск первой, последователь «Белла» второй. Может ли «Белла» выиграть, заранее необратимо ограничив свою мощность $C$ ?

Решение. Без ограничения (обычный Штакельберг): $q_B = \dfrac{1 - q_A}{2}$ , лидер выбирает $q_A = \dfrac{1}{2}$ , тогда $q_B = \dfrac{1}{4}$ ; прибыли $\dfrac{1}{8}$ и $\dfrac{1}{16}$ .

С ограничением. Теперь $q_B = \min\left\{C;\ \dfrac{1 - q_A}{2}\right\}$ . Если ограничение действует, прибыль лидера $(1 - C)q_A - q_A^2$ с вершиной $\dfrac{1 - C}{2}$ , и она даёт $\dfrac{(1 - C)^2}{4}$ ; если же лидер выпускает $\dfrac{1}{2}$ (и ограничение не действует), он получает $^{1}_{8}$ . Лидер предпочитает учитывать ограничение, пока $\dfrac{(1 - C)^2}{4} \ge \dfrac{1}{8}$ , то есть $C \le 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}293$ . Прибыль «Беллы» $\dfrac{C - C^2}{2}$ растёт на этом отрезке, поэтому она выбирает $C = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

Ответ. $q_A = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}354$ , $q_B = C \approx 0{,}293$ ; прибыль последователя растёт с $\dfrac{1}{16}$ до $\dfrac{\sqrt{2} - 1}{4} \approx 0{,}104$ , у лидера не меняется. Самоограничение работает как обязательство: лидер, зная, что «Белла» не нарастит выпуск, сам производит меньше, и цена растёт. Простое обещание без физического ограничения не сработало бы: «Белле» было бы выгодно его нарушить.

Модель Бертрана: конкуренция ценами

Одинаковые издержки

Если у обеих фирм $\mathit{MC} = c$ , единственное равновесие $P_{1} = P_{2} = c$ . При любой цене выше $c$ сопернику выгодно назначить чуть меньше и забрать весь рынок; при цене ниже $c$ продавец терпит убытки.

Разные издержки

Пример

Разные MC

Спрос $Q = 10 - P$ , $\mathit{MC}_{1} = 2$ , $\mathit{MC}_{2} = 8$ . При равных ценах спрос делится пополам.

Решение. Монопольная цена первой фирмы 6 (максимум $(10 - Q)Q - 2Q$ ), второй 9. Линия реакции первой фирмы:

$P_{2} > 6$ : ставит $P_{1} = 6$ и забирает рынок как монополист;
$2 < P_{2} \le 6$ : ставит $P_{1} = P_{2} - \varepsilon$ , чуть ниже соперника;
$P_{2} = 2$ : любая $P_{1} \ge 2$ , прибыль 0;
$P_{2} < 2$ : любая $P_{1} > P_{2}$ , прибыль 0.

Пересекая с линией реакции второй фирмы, получаем два множества равновесий: (а) $2 < P_{2} \le 6$ и $P_{1} = P_{2} - \varepsilon$ ; (б) $P_{1} = 6$ и любая $P_{2} > 6$ . Во всех равновесиях рынок у первой фирмы, а вторая получает ноль.

Как избежать парадокса

Цена выше $\mathit{MC}$ возможна, если товары различаются (пространственная или качественная дифференциация, глава 62), если у фирм ограничены мощности или если игра повторяется (сговор, глава 61).

Конкуренция ценами при ограниченных мощностяхдля заключительного этапа

Пример

Бертран с мощностями

Спрос $Q = 100 - P$ , у двух фирм $\mathit{MC} = 0$ , но каждая может продать не больше 30. Решение. При цене 0 спрос 100 больше суммарной мощности 60, поэтому продать всё можно по цене, при которой спрос равен мощности: $100-P = 60$ , $P = 40$ , каждая продаёт 30 и получает 1200. Снижать цену невыгодно: продать больше 30 нельзя. Повышать тоже: тогда фирма продаёт остаточный спрос $70 - P$ , выручка $P (70 - P)$ максимальна при $P = 35 < 40$ , поэтому при $P > 40$ она убывает. Значит, $P = 40$ равновесие, и парадокс Бертрана исчезает: цена выше $\mathit{MC}$ .

Дифференцированный товар

Пример

Бертран с различающимися товарами

Спрос на товар фирмы 1: $q_{1} = 20 - 2p_{1} + p_{2}$ , аналогично для фирмы 2; издержек нет.

Решение. Прибыль $p_1(20 - 2p_1 + p_2)$ , условие $20 - 4p_1 + p_2 = 0$ , линия реакции $p_1 = \dfrac{20 + p_2}{4}$ . Симметричное равновесие $p = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67 > 0$ : когда товары неодинаковы, снижение цены не отбирает у соперника всех покупателей, и цена остаётся выше предельных издержек.

Задачи

Базовый уровень

Винтик и Шпунтик

ВсОШ · муниципальный этап · 2020 · 10 кл.

На рынке обслуживания автомобилей в Цветочном городе конкурируют два механика: Винтик и Шпунтик. Ежемесячный спрос на услуги механиков описывается функцией $Q_{d} = 100 - 2P$ . Функция издержек Винтика $TC = \frac{Q^2}{10}$ , и он выбирает, принимать в месяц $50$ или $60$ заказов. Мастерская Шпунтика обладает более скромными возможностями: при функции издержек $TC = 2Q$ , он выбирает между объемами $20$ или $40$ заказов в месяц. Механики объявляют о том, сколько готовы принять заказов в начале месяца, одновременно и независимо друг от друга, цена определяется из функции спроса.

Вопрос 1 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(50; 20)$ соответственно.

прибыль Винтика
прибыль Шпунтика

Вопрос 2 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(50; 40)$ соответственно.

прибыль Винтика
прибыль Шпунтика

Вопрос 3 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(60; 20)$ соответственно.

прибыль Винтика
прибыль Шпунтика

Вопрос 4 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(60; 40)$ соответственно.

прибыль Винтика
прибыль Шпунтика

Вопрос 5 (7 баллов). Какие объемы выберут для производства Винтик и Шпунтик в равновесии?

объем производства Винтика
объем производства Шпунтика

Решение

Необходимо посчитать выигрыши (в данном случае прибыль) для всех четырёх возможных соотношений объёмов: $(50; 20)$ , $(50; 40)$ , $(60; 20)$ , $(60; 40)$ . В данном случае Винтик и Шпунтик – олигополисты, поэтому в прибыль подставляем функцию спроса.

Ответ на вопрос 1: 1) 500; 2) 260. $П_{в} = (50 - \frac{70}{2}) \cdot 50 - \frac{50^2}{10} = 500$ $П_{ш} = (50 - \frac{70}{2}) \cdot 20 - 2 \cdot 20= 260$

Ответ на вопрос 2: 1) 0; 2) 120. $П_{в} = (50 - \frac{90}{2}) \cdot 50 - \frac{50^2}{10} = 0$ $П_{ш} = (50 - \frac{90}{2}) \cdot 40 - 2 \cdot 40= 120$

Ответ на вопрос 3: 1) 240; 2) 160. $П_{в} = (50 - \frac{80}{2}) \cdot 60 - \frac{60^2}{10} = 240$ $П_{ш} = (50 - \frac{80}{2}) \cdot 20 - 2 \cdot 20= 160$

Ответ на вопрос 4: 1) -360; 2) -80. $П_{в} = (50 - \frac{100}{2}) \cdot 60 - \frac{60^2}{10} = -360$ $П_{ш} = (50 - \frac{100}{2}) \cdot 40 - 2 \cdot 40= -80$

Найдём равновесие.

Принятие решения Винтиком:

Если Шпунтик выберет объём $20$ , Винтику выгоднее выбрать в ответ $50$ (тогда выигрыш составит $500$ , а при объёме $60$ всего $240$ ). Если Шпунтик решит принимать $40$ заказов, Винтику также выгоднее выбрать объём $50$ (тогда прибыль $0$ , а если выбрать $60$ заказов, она составит $–360$ ). Значит, при любом выборе Шпунтика Винтику выгоднее принимать $50$ заказов.

Принятие решения Шпунтиком:

Если Винтик выберет объём $50$ , то Шпунтику выгоднее выбирать $20$ (тогда прибыль $260$ , а в случае $40$ заказов в месяц – всего $120$ ). Если Винтик выберет объём $60$ , то Шпунтику по-прежнему выгоднее принимать $20$ заказов (тогда он получает $160$ , а если выберет $40$ – получает убытки $–80$ ). Таким образом, Шпунтику при любом поведении Винтика выгоднее выбирать объём $20$ .

Значит, единственным равновесием будет набор объёмов $(50; 20)$ .

Ответ на вопрос 5: 1) 50; 2) 20.

Винтик берёт $50$ заказов, Шпунтик – $20$ .

Пятница 13-е

Авторские задачи · 2025

В стране Пятница работает 20 фирм. Каждая фирма может работать только в 2-х отраслях: в добыче нефти или на рынке высоких технологий: 

Мировая цена на баррель нефти равна 60, внутреннего спроса на нее нет, издержки фирм на b баррелей нефти равны $2b^2$ .

 2) Спрос на рынке высоких технологий равен Q=240-P, издержки фирм в этой отрасли равны $Q^2$ . Если в отрасли высоких технологий больше 1-й фирмы, то они начинают конкурировать по модели Курно.

  Каждая фирма преследует свои личные интересы и максимизирует свою прибыль.

а) Найдите, сколько фирм будет работать на рынке высоких технологий в равновесии.

В пятницу 13-го числа в одной арабской стране случилась революция и эта страна отказалась экспортировать нефть на мировой рынок. Тогда цена на баррель нефти выросла до 100.

б) Найдите какой будет экономическая прибыль у фирм в равновесии теперь.

в) Прокомментируйте свой ответ, полученный в пункте б). Как могло так получиться?

Решение

а) Допустим k - это количество фирм на рынке высоких технологий (k>0, k-целое). Тогда найдем какие прибыли будут получать фирмы на обоих рынках в зависимости от k:

На рынке по добыче нефти. Как мы знаем $TC=2Q^2, P=60$ . Тогда прибыль фирмы будет:

$Pr=TR-TC=60Q-2Q^2$

Это парабола ветвями вниз и тогда максимум в вершине:

$Q*=\frac{-60}{-4}=15$ . Тогда $Pr=450$

Получается, что каждая фирма на рынке нефти может получать прибыль 450.

На рынке высоких технологий.

$Pr=TR-TC=PQ-Q^2=(240-q-Q)Q-Q^2=(240-q)Q-2Q^2$ ,

где q - количество, которые производят остальные фирмы. Тогда это парабола ветвями вниз и максимум в вершине:

$Q*=\frac{240-q}{4}=60-0.25q$

Мы получили кривую реакции одной фирмы на суммарный выпуск остальных фирм. Можем заметить, что q всегда меньше 240, так как P не может быть меньше 0, а значит, что выпуск каждой фирмы Q>0. Также можно отметить, что все фирмы симметричны (одинаковые издержки) и значит, что у них будет одинаковый выпуск в равновесии. Тогда (всего k фирм):

$Q=60-0.25q$ , где $q=(k-1)Q$ .

$Q=60-0.25(k-1)Q$

$(1+0.25k-0.25)Q=60$

$Q=\frac{60}{0.25k+0.75}=\frac{240}{k+3}$

Значит $Q_{суммарное}=kQ=\frac{240k}{k+3}$

Найдем прибыль каждой отдельной фирмы:

$P=240-Q_{суммарное}=\frac{720}{k+3}$

$Pr=TR-TC=PQ-Q^2=\frac{720}{k+3}\frac{240}{k+3}-(\frac{240}{k+3})^2=(\frac{480}{k+3})(\frac{240}{k+3})$

Получается, что $Pr=\frac{115200}{k^2+6k+9}$

Теперь нам нужно сравнить обе прибыли. В равновесии они равны, иначе какой-то фирме выгодно сменить свою отрасль и перейти в более прибыльную.

$450=\frac{115200}{k^2+6k+9}$

$1=\frac{256}{k^2+6k+9}$

$k^2+6k+9=256$ , откуда k=13

б) Найдем прибыль фирмы, работающей на рынке нефти:

$Pr=100Q-2Q^2$

$Q*=25, Pr=1250$

Сравним с прибылью на рынке высоких технологий:

$1250=\frac{115200}{(k+3)^2}$

k=6.6, тогда количество фирм может быть либо 7, либо 6. Заметим что когда фирм 7, то прибыль на рынке высоких технологий становится ниже, чем на рынке нефти и фирме выгодно сменить свою отрасль. Тогда в равновесии лишь 6 фирм работают на рынке высоких технологий. Найдем их экономическую прибыль:

$Pr_{экономическая}=\frac{115200}{(6+3)^2}-1250=\frac{1550}{9}$ , так как их лучшая альтернатива это перейти на рынок добычи нефти, где прибыль фиксирована.

Теперь экономическая прибыль фирм на рынке нефти. Их лучшая альтернатива перейти на рынок высоких технологий, но тогда на этом рынке будет 7 фирм:

$Pr_{экономическая}=1250-\frac{115200}{(7+3)^2}=98$

в) В этом пункте нужны обоснования того, как экономическая прибыль у всех фирм >0, ведь тогда у каждой фирмы ее отрасль лучше чем, остальные и при этом фирмы находятся в разных отраслях.

Ответ. а) 13

б) У 6 фирм на рынке высоких технологий - $\frac{1550}{9}$ , у 14 фирм на рынке добычи нефти - 98

Средний уровень

Лидер и аутсайдеры

Авторские задачи · 2026

На рынке ауры спрос задаётся функцией $Q_d=1-P$ , где $P$ – цена на рынке.

Ауру производят 3 фирмы— 1 лидер и 2 аутсайдера. Фирмы знают всю информацию друг о друге(т.е.на рынке олигополия).Взаимодействие происходит таким образом, что сначала лидер называет свой объем производства, затем две оставшиеся фирмы(аутсайдеры) одновременно называют свой объем производства. Издержки у каждой фирмы одинаковы и задаются функцией $TC=Q^2$ .

а)Найдите равновесные объемы производства, цену и прибыль каждой фирмы.

б)Государство обеспокоились тем, что фирма лидер обладает большей властью и ввела на неё(на аутсайдеров налог не

накладывается) потоварный налог по ставке $t$ , чтобы фирмы стали производить одинаковый объем товара. Найдите значение $t$ .

в) Теперь государство хочет максимизировать налоговые сборы, вводя потоварный налог по ставке $t_2$ на все фирмы.Найдите значение $t_2$ .

Решение

а) Запишем функцию прибыли для аутсайдеров.

$\pi_2=(1-q_1-q_2-q_3)q_2-q_2^2$

Относительно $q_2$ ЭПВВн. Значит:

$q_2*=(1-q_1-q_3) /4$ (1)

Аналогично мы получаем:

$q_3*=(1-q_1-q_2) /4$ (2)

Решая систему из 1 и 2 уравнения мы получаем,что:

$q_2*=q_3*=0.2(1-q_1)$

Функция прибыли лидера:

$\pi_1=(1-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=0.6(1-q_1)q_1-q_1^2$

Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит

$q_1*=0.6/3.2=0.1875$

Подставим значения и получим, что:

$q_2*=q_3*=0.1625$

$P=0.4875$

$\pi_1*=0,05625$

$\pi_2*=\pi_3*=0,0528125$

б) Запишем функцию прибыли ч по товарным налогом фирмы лидера:

$\pi_1=(1-t-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=(0.6(1-q_1) -t)q_1-q_1^2$

Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит:

$q_1*=(0.6-t)/3.2$

Т.к. мы хотим, чтобы фирмы имели одинаковый объем производства, то:

$q_1=q_2=q_3=0.2(1-q_1)$

$q_1=0.2(1-q_1)$

$q_1=1/6$

$q_1=(0.6-t) /3.2=1/6$

$t=1/15$

в) Государство вводит потоварный налог $t_2$ на все три фирмы, чтобы максимизировать налоговые сборы $T = t_2 \cdot Q$ , где $Q = q_1 + q_2 + q_3$ .

Найдём, как аутсайдеры реагируют на выбор лидера при налоге $t_2$ .

У аутсайдера прибыль $\pi_2 = P \cdot q_2 - q_2^2 - t_2 q_2$ , где цена $P = 1 - (q_1 + q_2 + q_3)$ .

Максимизируем $\pi_2$ по $q_2$ , считая $q_1$ и $q_3$ заданными.

Производная:

$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - q_3 - 4q_2 - t_2 = 0$ .

В силу симметрии аутсайдеров $q_2 = q_3 = q_a$ . Подставляем:

$1 - q_1 - q_a - 4q_a - t_2 = 0$

$\Rightarrow 1 - q_1 - t_2 = 5 q_a$

$\Rightarrow q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5}$ .

Теперь задача лидера, который тоже платит налог $t_2$ . Его прибыль:

$\pi_1 = [1 - (q_1 + 2q_a)]q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$ .

Подставляем выражение для $q_a$ :

$Q = q_1 + 2q_a = q_1 + \frac{2(1 - q_1 - t_2)}{5} = \frac{2 - 2t_2 + 3q_1}{5}$ .

Цена $P = 1 - Q = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5}$ .

Тогда $\pi_1 = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5} q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$ .

Упрощаем:

$\pi_1 = \frac{3q_1 - 8q_1^2 - 3t_2 q_1}{5}$ .

Максимизируем по $q_1$ :

$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{3 - 16q_1 - 3t_2}{5} = 0$

$\Rightarrow 3 - 16q_1 - 3t_2 = 0$

$\Rightarrow q_1 = \frac{3 - 3t_2}{16}$ .

Теперь $q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5} = \frac{1 - \frac{3 - 3t_2}{16} - t_2}{5}$ .

Приводим к общему знаменателю 16 в числителе:

Числитель: $\frac{16 - 3 + 3t_2 - 16t_2}{16} = \frac{13 - 13t_2}{16}$ ,

тогда $q_a = \frac{13 - 13t_2}{80} = \frac{13(1 - t_2)}{80}$ .

Общий выпуск $Q = q_1 + 2q_a = \frac{3 - 3t_2}{16} + \frac{26(1 - t_2)}{80}$ .

Приводим к общему знаменателю 80:

$q_1 = \frac{15(1 - t_2)}{80}$ , $2q_a = \frac{26(1 - t_2)}{80}$ ,

сумма: $Q = \frac{15(1 - t_2) + 26(1 - t_2)}{80} = \frac{41(1 - t_2)}{80}$ .

Налоговые сборы:

$T = t_2 \cdot Q = t_2 \cdot \frac{41(1 - t_2)}{80} = \frac{41}{80}(t_2 - t_2^2)$ .

Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине:

$t_2 = \frac{1}{2}$ .

(все оптимумы можно находить и как виршину попаболы ветвями вниз)

Такси

ВсОШ · заключительный этап · 2015

Спрос на услуги маршрутных такси в городе N имеет вид $Q = 600 -p$ , где $p$ — цена одной поездки в рублях, a $Q$ — количество поездок, которое горожане готовы приобрести по данной цене в течение недели. В городе N есть две фирмы, которые предоставляют услуги перевозок на маршрутных такси: «Автолайн» и «Минибус». Обе фирмы стремятся максимизировать свою прибыль. Общие издержки «Автолайна» описываются уравнением $TC_1 = 0{,}25q_1^2$ , где $q_1$ — количество поездок, которое обеспечивают маршрутные такси фирмы «Автолайн» в течение недели. Функция общих издержек «Мииибуса» имеет вид $TC_2 = 0{,}5q_2^2$ , где $q_2$ — количество поездок, которое обеспечивают маршрутные такси фирмы «Минибус» в течение недели.

В соответствии с местными законами, цену на услуги маршрутных такси в городе N устанавливает городская администрация (цена является единой для всех потребителей). Так сложилось, что глава этой администрации, Петр Петрович, является другом владельца фирмы «Автолайн» Ивана Ивановича. Поэтому Петр Петрович предложил Ивану Ивановичу выбрать цену на услуги маршрутных такси, которую в этом году установит администрация. Какую цену следует выбрать Ивану Ивановичу?

Решение

Решение удобно начать с фирмы «Минибус», которая на цену никак влиять не может.

Функция прибыли «Минибуса» имеет вид: $p \times q_{2}−0,5q_{2}^{2}$ . Это парабола с ветвями направленными вниз, и, следовательно, прибыль «Минибуса» максимальна при выпуске $q_{2}=p$ .

Прибыль «Автолайна» равна $PR_{1}=p \times q_{1}−0,25q_{1}^{2}$ , где цена на продукцию определяется владельцем автолайна и следующим образом связана с выпуском двух фирм: $p=600−q_{1}−q_{2}$ .

Причём Иван Иванович знает, что $q_{2}=p$ , поэтому понимает, что цена на продукцию его фирмы следующим образом связана с ее выпуском: $p=300−0,5q_{1}$ . Подставляя последнее выражение в функцию прибыли «Автолайна», получаем: $\begin{gathered}PR_1=(300−0,5q_{1})\times q_{1}−0,25q_{1}^{2}\\ PR_{1}=300q_{1}−0,75q_{1}^{2}\end{gathered}$

Это парабола с ветвями направленными вниз, и, следовательно, прибыль «Автолайна» максимальна при выпуске $q_{1}=200$ .

Следовательно, цена, которая обеспечит автолайну максимальную прибыль, равна $p=300−0,5\times 200=200$

Ответ. 200

Олимпиадный уровень

Типичные пингвины

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 10–11 кл.

На рынке плюшевых пингвинов «Тоша» действует фирма «ВОШ», а фирма «МОШ» готовится войти на рынок и стать ее конкурентом. Взаимодействие на рынке происходит так: сначала «ВОШ» выбирает объем выпуска $q_1>0$ тыс. шт. и объявляет его, а затем «МОШ», узнав объем выпуска конкурента, решает, входить на рынок или нет. Если она входит, то производит $q_2>0$ тыс. шт., а если не входит, то $q_2=0$ . Чтобы попасть в перечень фирм, имеющих право производить плюшевых пингвинов, «МОШ» должна получить лицензию правительства («ВОШ» в лицензии не нуждается). Правительство выдает лицензии бесплатно, но только тем фирмам, у которых хорошо организовано производство, так что фирме «МОШ» придется потратить 100 тыс. рублей на начальные инвестиции, чтобы начать работать. «МОШ» решит войти на рынок, только если разница между доходами и расходами на производство пингвинов будет превосходить эти затраты. Цена одного плюшевого пингвина формируется исходя из объема предложения обеих фирм и равна $P=(110-q_1-q_2)$ руб. Производство типичного пингвина обходится любой из фирм в 10 руб., фирмы при принятии решений учитывают их последствия и стараются получить как можно большую прибыль (разницу между доходами и расходами). Сколько плюшевых пингвинов произведет фирма «ВОШ»?

Решение

Поскольку фирма «ВОШ» первой принимает решение, она может предсказать поведение фирмы «МОШ». Выбирая $q_2$ , фирма «МОШ» максимизирует функцию

\pi_2=\begin{cases} (110-q_1-q_2)q_2-10q_2-100, & \text{если } q_2 > 0, \\ 0, & \text{если } q_2=0. \end{cases}

Если фирма решит выбрать положительное $q_2$ , то ее прибыль — парабола с ветвями вниз относительно $q_2$ и вершиной в точке $q_2^\star=50-q_1/2$ . Максимальная ее прибыль в этом случае составит (в тысячах рублей)

\pi_2^\star=(100-q_1-(50-q_1/2))(50-q_1/2)-100=(50-q_1/2)^2-100.

Заметим, что эта прибыль положительна при $q_1< 80$ , то есть при $q_1\ge 80$ фирма «МОШ» не войдет на рынок. Таким образом, оптимальный выбор второй фирмы задается такой зависимостью:

q_2=\begin{cases} 50-q_1/2, & \text{если } q_1 <80, \\ 0, & \text{если } q_1\ge 80. \end{cases}

Зная реакцию фирмы «МОШ», фирма «ВОШ» может принять одно из двух решений:

Производить меньше 80 единиц продукции и допустить вход на рынок фирмы «МОШ». Тогда ее прибыль составит

\pi_1=(100-q_1-(50-q_1/2))q_1=(50-q_1/2)q_1.

Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $q_1^\star=50$ . Прибыль фирмы равна $\pi_1^\star=1250$ .

Произвести $q_2\ge 80$ и остаться единственной фирмой на рынке. В этом случае ее прибыль составит

\pi_1=(100-q_1)q_1.

Это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке $q_1=50$ , однако эта точка фирме недоступна (при $q_1=50$ вторая фирма войдет на рынок), а самая лучшая из доступных точек $q_1^\star=80$ . В этом случае прибыль равна $\pi_1^\star=1600$ , что больше, чем прибыль в варианте 1).

Ответ. 80 тыс.

Равновесие на кольце

Авторские задачи · 2026

В городе построено Городское Центральное Кольцо (ГЦК), имеющее форму окружности длины $1$ . В диаметрально противоположных точках кольца расположены две станции техобслуживания: станция $A$ и станция $B$ .

Водители равномерно распределены по кольцу. Каждый водитель может обслужиться не более одного раза на одной из станций либо отказаться от обслуживания вовсе. Станции одновременно назначают цены $p_A$ и $p_B$ . Предельные издержки обслуживания одной машины равны $c_A$ и $c_B$ соответственно, причём $0 \leqslant c_A < c_B$ . Если водитель, находящийся в точке $x$ кольца, обслуживается на станции $i\in\{A,B\}$ , его полезность равна

U_i(x)=V-p_i-t\,d(x,i),

где $V>0$ - базовая полезность обслуживания, $t>0$ - параметр неудобства поездки, $d(x,i)$ - кратчайшее расстояние по кольцу от точки $x$ до станции $i$ .

Если водитель отказывается от обслуживания, его полезность равна $0$ . Водитель выбирает вариант с максимальной полезностью. Считайте, что параметры $V,t,c_A,c_B$ таковы, что в равновесии Нэша все водители, находящиеся между станциями, предпочитают обслуживаться на одной из станций, а не отказываться от обслуживания.

а) Найдите равновесные цены и прибыли фирм.

б) Какая станция назначает более высокую цену? Какая обслуживает бо́льшую долю водителей?

Решение

Канал об олимпиадной экономике: https://t.me/economybyanton

Выбор водителей и граница безразличия.

Рассмотрим дугу между станциями $A$ и $B$ , имеющую длину $\tfrac12$ .

Пусть $x\in[0,\tfrac12]$ — расстояние от станции $A$ вдоль кратчайшей дуги к станции $B$ .

Тогда

d(x,A)=x, \qquad d(x,B)=\tfrac12-x.

Полезности водителя, находящегося в точке $x$ , равны:

U_A(x)=V-p_A-tx, \qquad U_B(x)=V-p_B-t\bigl(\tfrac12-x\bigr).

Граница между зонами обслуживания определяется условием безразличия:

V-p_A-tx = V-p_B-t\bigl(\tfrac12-x\bigr).

Отсюда получаем

x^*=\frac{p_B-p_A}{2t}+\frac14.

Спрос на услуги станций.

По предположению задачи, в равновесии Нэша водители между станциями не используют внешнюю опцию,

поэтому каждый из них выбирает одну из станций.

Станция $A$ обслуживает водителей, находящихся на расстоянии не более $x^*$ от неё по обе стороны,

следовательно,

D_A=2x^*=\frac12+\frac{p_B-p_A}{t}.

Аналогично,

D_B=\frac12+\frac{p_A-p_B}{t}.

Прибыль фирм.

Прибыль станции $A$ равна

\pi_A=(p_A-c_A)D_A =(p_A-c_A)\left(\frac12+\frac{p_B-p_A}{t}\right).

Аналогично для станции $B$ :

\pi_B=(p_B-c_B)\left(\frac12+\frac{p_A-p_B}{t}\right).

Нахождение равновесных цен.

Максимизируем прибыль станции $A$ по цене $p_A$ :

\pi'_A =\frac12+\frac{p_B-2p_A+c_A}{t}.

Условие максимума:

\frac12+\frac{p_B-2p_A+c_A}{t}=0,

откуда

p_A=\frac{p_B+c_A}{2}+\frac{t}{4}.

Проверим условия второго порядка:

\pi''_A =-\frac{2}{t}<0.

Аналогично для станции $B$ :

p_B=\frac{p_A+c_B}{2}+\frac{t}{4}.

Равновесие Нэша.

Решая систему двух уравнений, получаем равновесные цены:

\begin{cases} p_A = \frac{p_B + c_A}{2} + \frac{t}{4},\\[4pt] p_B = \frac{p_A + c_B}{2} + \frac{t}{4}. \end{cases}

p_A=\frac{4c_A-c_B+3t}{3}, \qquad p_B=\frac{4c_B-c_A+3t}{3}.

Подставляем цены в прибыли и получаем искомые значения:

\pi_A = \left( \frac{c_B - c_A}{3} + \frac{t}{2} \right) \left( \frac12 + \frac{c_B - c_A}{3t} \right), \quad \pi_B = \left( \frac{t}{2} - \frac{c_B - c_A}{3} \right) \left( \frac12 - \frac{c_B - c_A}{3t} \right)

Сравнение цен и долей рынка.

Подставляя равновесные цены в функции спроса, находим:

D_A=\frac12+\frac{c_B-c_A}{3t}, \qquad D_B=\frac12-\frac{c_B-c_A}{3t}.

Так как предельные издержки у фирмы A меньше, чем у фирмы B, объем продаж фирмы А больше, чем у фирмы B (см. расчеты).

Кроме того, $p_A-p_B=\frac{c_A-c_B}{3}<0,$ то есть станция с меньшими издержками назначает более низкую цену.

Ответ. Равновесные цены:

p_A=\frac{4c_A-c_B+3t}{3}, \qquad p_B=\frac{4c_B-c_A+3t}{3}.

Прибыли фирм:

\pi_A = \left( \frac{c_B - c_A}{3} + \frac{t}{2} \right) \left( \frac12 + \frac{c_B - c_A}{3t} \right), \quad \pi_B = \left( \frac{t}{2} - \frac{c_B - c_A}{3} \right) \left( \frac12 - \frac{c_B - c_A}{3t} \right)

равновесные объемы:

D_A=\frac12+\frac{c_B-c_A}{3t}, \qquad D_B=\frac12-\frac{c_B-c_A}{3t}.

Станция с меньшими издержками обслуживает большую долю водителей, и при этом она назначает более низкую цену.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.