Ценовая дискриминация

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Фирма «Гудок» является единственным производителем на рынке паровозов в некоторой стране. У фирмы есть шесть потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного паровоза. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за паровоз, составляет 1000 монет. Второй покупатель согласен заплатить за паровоз не более 800 монет. Третий – не более 600. Четвёртый – не более 400. Наконец, пятый и шестой покупатели согласны заплатить за паровоз максимум по 200 монет. По местным законам фирма обязана продавать все паровозы по одинаковой цене. Какую цену ей следует установить для получения наибольшей выручки?

Решение

Составим наглядную таблицу:

Цена	Количество покупателей по данной цене	$\begin{array}{c} \text{Выручка}= \\ \text{Цена} \cdot \text{Количество} \\ \textbf{За формулу - 2 балла}\end{array}$
1000	1	1000
800	2	1600
600	3	1800 максимальное значение
400	4	1600
200	6	1200

Ответ. 600 монет

Р2

Задача Р2

Жители Сигмаленда покупают только смартфоны Сигма, при этом их обратная функция спроса имеет вид P=100-Q, смартфоны производит монополист, издержки которого имеют вид TC=10Q. Государство хочет ввести налог по ставке t такой, чтобы собрать как можно больше денег на строительство школ, но жители не рады введению налога, поэтому государству будет необходимо потратить t² д.е. на создание промо роликов, чтобы жители не ругались. Помогите государство подобрать t, при котором достигается максимальное значение Т, где T=t*Q-t².

Р3

Задача Р3

Мама приобрела в супермаркете дисконтную карту за 500 рублей, дающую скидку на весь товар 3%. В первые полгода мама каждый месяц тратила в супермаркете в среднем по 2000 рублей, а во все последующие – в среднем по 1000 рублей. На каком по счету месяце окупится дисконтная карта?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Задача 3 Московской олимпиады школьников — 2016

Московская олимпиада (МОШ) · 2016 · 5–7 кл.

Лёша готов заплатить за поездку на колесе обозрения 30 рублей, а на цепочной карусели – 20 рублей. Боря готов заплатить за поездку на колесе обозрения 10 рублей, а на цепочной карусели – 30 рублей. В кассе можно купить отдельно билет на карусель, отдельно билет на колесо обозрения, а также абонемент, который даёт право прокатиться и на колесе, и на карусели. Жадный владелец аттракционов Владимир размышляет, какую цену за такой абонемент и за отдельные билеты на каждый аттракцион установить, чтобы содрать с ребят побольше денег. Какие цены он в итоге назначит и сколько ему удастся заработать, если ребята не хотят кататься два раза на одном и том же аттракционе?

Теория

Ценовая дискриминация

Что такое дискриминация

Для дискриминации нужно, чтобы продавец мог различать покупателей (или их группы) и чтобы перепродажа была невозможна.

Степень	Как устроена	Как решать
Первая (совершенная)	каждому покупателю своя цена, равная его готовности платить	спрос совпадает с $\mathit{MR}$ ; выпуск как при конкуренции
Вторая	цена зависит от объёма покупки: меню комплектов, двухчастный тариф	ограничения участия и самоотбора
Третья	разные цены для разных групп	$\mathit{MR}$ в каждой группе равна общим $\mathit{MC}$

Третья степень

Постоянные предельные издержки

Задача распадается на независимые: в каждой группе $\mathit{MR}_{i} = \mathit{MC}$ .

Растущие предельные издержки

Издержки зависят от суммарного выпуска, и условия связаны: $\mathit{MR}_{1} = \mathit{MR}_{2} = \mathit{MC}(Q_{1} +$ $Q_2).$

Пример

Связанные рынки

$P_1 = 90 - Q_1$ , $P_2 = 60 - Q_2$ , $\mathit{TC} = \dfrac{Q^2}{2}$ , $Q = Q_1 + Q_2$ .

Решение. Построим общую $\mathit{MR}$ . $\mathit{MR}_{1} = 90 - 2Q_{1}$ , $\mathit{MR}_{2} = 60 - 2Q_{2}$ . Пока $\mathit{MR}_{1} > 60$ (то есть $Q < 15$ ), продаём только первой группе: $\mathit{MR} = 90 - 2Q$ . Дальше распределяем так, чтобы $\mathit{MR}_1 = \mathit{MR}_2$ : $Q_1 = Q_2 + 15$ , откуда $Q_1 = \dfrac{Q + 15}{2}$ и $\mathit{MR} = 75 - Q$ . Пересечение с $\mathit{MC} = Q$ : $75 - Q = Q$ , $Q = 37{,}5$ . Тогда $Q_1 = 26{,}25$ , $Q_2 = 11{,}25$ , $P_1 = 63{,}75$ , $P_2 = 48{,}75$ .

Первая степень

Каждая единица продаётся по максимальной цене конкретного покупателя, поэтому продажа новой единицы не снижает цену предыдущих: спрос совпадает с MR.

Дискриминация во времени

Годовой спрос $Q = 120-P$ , издержек нет. Обычный монополист ставит цену 60 и получает

1. Пусть реклама позволяет продать товар всем желающим за полгода, после чего можно снизить цену для оставшихся. Тогда во втором полугодии действует остаточный спрос $Q_{2} =$

$P_1 - P_2$ . Прибыль $\Pi = (120 - P_1)P_1 + (P_1 - P_2)P_2$ ; по $P_2$ вершина $P_2 = \dfrac{P_1}{2}$ , затем $\Pi = 120P_1 - \dfrac{3}{4}P_1^2$ , $P_1 = 80$ , $P_2 = 40$ , $\Pi = 4800$ . Значит, за такую рекламу фирма готова заплатить до 1200.

Важно: если о возможности второго периода фирма узнаёт только после первого, решение другое.

Вторая степень

Двухчастный тариф

Покупатель платит фиксированную сумму $A$ за право покупать и цену $P$ за каждую единицу (вход в парк и плата за аттракционы).

Одинаковые покупатели: цена за единицу равна MC, весь излишек забирается абонентской платой — **Рис. 53.3:** Одинаковые покупатели: цена за единицу равна $\mathit{MC}$ , весь излишек забирается абонентской платой

Если все покупатели одинаковы, выгодно поставить $P = \mathit{MC}$ и забрать весь излишек абонентской платой: результат как при совершенной дискриминации. Если покупатели разные, плата ограничена излишком самого «бедного» покупателя (или его исключают).

Пример

Двухчастный тариф для двух покупателей

Полезности $U_{1} = 40x - x^{2} - C$ , $U_{2} = 32x - x^{2} - C$ , где $C$ потраченные деньги, $\mathit{MC} = 4$ .

Решение. Продаём обоим. При цене $P$ покупатели берут $x_1 = \dfrac{40 - P}{2}$ и $x_2 = \dfrac{32 - P}{2}$ . Плату $A$ ограничивает излишек второго: $A = \left(\dfrac{32 - P}{2}\right)^2$ . Прибыль $(P - 4)(36 - P) + 2\left(\dfrac{32 - P}{2}\right)^2$ , максимум при $P = 8$ : $A = 144$ , прибыль 400.

Продаём только первому: $P = 4$ , $A = 324$ , прибыль 324. Выгоднее продавать обоим.

Скрининг: меню комплектов

Продавец предлагает комплекты «количество $x_{i}$ за сумму $P_{i}$ », каждый покупатель выбирает не больше одного.

Пример

Меню из двух комплектов

Те же покупатели, $\mathit{MC} = 4$ . Комплект $(x_{1}; P_{1})$ для первого, $(x_{2}; P_{2})$ для второго.

Решение. Ограничения: участие (купить выгоднее, чем ничего) и самоотбор (свой комплект не хуже чужого).

1. Участие первого следует из его самоотбора и участия второго, его можно отбросить.
1. Цены поднимаем, пока ограничения не станут равенствами: $32x_{2} - x^{2}_{2} = P_{2}$ (участие второго) и $40x_{1} - x^{2}_{1} - P_{1} = 40x_{2} - x^{2}_{2} - P_{2}$ (самоотбор первого). Отсюда $P_{1} = 40x_{1} - x^{2}_{1} - 8x_{2}$ : чем больше комплект второго, тем больше скидка первому.
1. Прибыль $P_{1} + P_{2} - 4(x_{1} + x_{2}) = 36x_{1} - x^{2}_{1} + 20x_{2} - x^{2}_{2}$ : $x_{1} = 18$ , $x_{2} = 10$ , $P_{1} = 316$ , $P_{2} = 220$ , прибыль 424.
1. Если продавать только первому: $x_{1} = 18$ , $P_{1} = 396$ , прибыль 324.

Скрининг (424) выгоднее двухчастного тарифа (400): там покупатели сами выбирали количество, а здесь его выбирает продавец.

Практика

Количественные скидки (опт дешевле розницы), классы билетов (качественная дискриминация через самоотбор), связанные продажи, продажа наборами, разные цены в разное время. Более «богатому» покупателю продаётся больший комплект: иначе комплект «меньше за большую цену» никто не выбрал бы.

Ограничение перепродажи

Пример

Перепродажа стоит 5

Группы $Q_{1} = 100 - P_{1}$ и $Q_{2} = 100 - 2P_{2}$ , $\mathit{MC} = 20$ . Без ограничений монополист назначил бы 60 и 35. Но товар можно перевезти из второй группы в первую за 5, поэтому разница цен не может превышать 5.

Решение. Максимизируем $(P_{2} + 5 - 20)(95 - P_{2}) + (P_{2} - 20)(100 - 2P_{2})$ : производная $250 - 6P_{2} = 0$ , $P_{2} \approx 41{,}7$ , $P_{1} \approx 46{,}7$ . Прибыль $\approx 1783$ : больше, чем при единой цене (1633), но меньше, чем при свободной дискриминации (2050).

Разбор: «Две группы потребителей и потолок цены» (заключительный этап 2021)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Дискриминация может улучшить положение всех

Монополист без переменных издержек продаёт двум группам с линейным спросом по единой цене. Наблюдая, какую цену фирма ставит при разных потолках $x$ , государство увидело: при $x$ до 7 цена равна потолку, от 7 до 14 цена 7, от 14 до 21 цена равна потолку, выше 21 цена 21. Какие цены поставит фирма, если разрешить дискриминацию?

Решение. Выручка как функция цены состоит из двух парабол: при низких ценах покупают обе группы (вершина 7), при высоких только «богатая» группа (вершина 21). Скачок при потолке 14 означает, что выручка при цене 7 (обе группы) равна выручке при цене 14 (одна группа), а глобальный максимум 21. Записав спросы как $a-bP$ и $c-dP$ , из условий $\dfrac{a}{2b} = 21$ , $\dfrac{a + c}{2(b + d)} = 7$ и равенства выручек получаем $a = 42b$ , $c = 70b$ , $d = 7b$ . При дискриминации цены $\dfrac{a}{2b} = 21$ и $\dfrac{c}{2d} = 5$ .

Ответ. 21 и 5. Без дискриминации фирма продавала бы только богатой группе по 21; при дискриминации богатые платят те же 21, бедная группа впервые покупает по 5, а прибыль растёт. Никому не хуже, кому-то лучше: улучшение по Парето.

Задачи

Базовый уровень

Олимпийка или олимпос?

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 10 кл.

Фирма «Вершина» производит олимпийские куртки и имеет возможность осуществлять ценовую дискриминацию, продавая их по разным ценам на внутреннем и внешнем рынках. На внутреннем рынке фирма «Вершина» является монополистом и функция спроса на куртки имеет вид $Q^d=200-P$ , на внешнем рынке фирма может продать любое количество курток по цене $P_w=160$ . Функция издержек фирмы «Вершина» на производство курток имеет вид $TC=Q^2$ .

а) ( $5$ баллов) Определите количество курток, которое продаст фирма «Вершина» на внутреннем и внешнем рынках.

б) Государство решило ввести потоварный налог на продажу олимпийских курток. Определите максимально возможные налоговые сборы государства, если налог введён

( $5$ баллов) На каждую куртку, проданную на внутреннем рынке;
( $5$ баллов) На каждую куртку, проданную на внешнем рынке;
( $5$ баллов) На каждую проданную куртку, вне зависимости от того, на каком рынке она продана.

в) ( $10$ баллов) Какие налоговые сборы в пункте б) получились больше: суммарные налоговые сборы в пунктах $1$ и $2$ или налоговые сборы в пункте $3$ ? Дайте экономическую интерпретацию полученного результата.

Решение

Приведем решение «в лоб» – через максимизацию прибыли. Также в данной задаче было возможно графическое решение через построение графика суммарного предложения для двух рынков.

а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:

$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$

б) Аналогично пункту а) решим пункт б).

$\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

$Q_w = 80 - Q_d, ~~ Q_d = \dfrac{40 - t}{2}$

Запишем и промаксимизируем налоговые сборы:

$T = 20t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

$t = 20 \Rightarrow T_{max} = 400 - 200 = 200$ 2. $\Pi = Q_d(200 - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

$Q_d = 50 - 0,5Q_w, ~~ Q_w = 60 - t$

Максимизируем налоговые сборы:

$T = 60t - t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

$t = 30 \Rightarrow T_{max} = 1800 - 900 = 900$ 3. $\Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

$Q_d = 20, ~~ Q_w = \dfrac{120 - t}{2}$

Максимизируем налоговые сборы:

$T = 20t + 60t - 0,5t^2 \rightarrow \underset{t \geqslant 0}{max}$

Это парабола ветвяими вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

$t = 80 \Rightarrow T_{max} = 1600 + 4800 - 3200 = 3200$

в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$ , в пункте $3$ же – $3200$ . При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.

Купоны и спрятанные ценники

Конкурс РЭШ · 2011

Приведите единое объяснение для следующих двух историй.

Некоторые фирмы печатают в газетах, размещают на своём сайте или просто раздают на улицах купоны, предоставляющие их обладателю скидку при приобретении услуг данной фирмы. Если они таким образом хотят привлечь покупателей более низкой стоимостью услуг, то почему бы им просто не снизить цену и не объявить об этом, вместо того чтобы раздавать купоны?
Во многих обувных магазинах ценники спрятаны внутрь обуви (или приклеены на подошву), так что тому, кто ищет низкую цену, приходится вручную перебирать все модели, что довольно хлопотно; подобная картина наблюдается и во многих магазинах одежды. Это повышает риск того, что покупатель не найдёт подходящей по цене модели и уйдёт ни с чем. Зачем тогда магазин прячет ценники?

Решение

За одни и те же блага разные люди готовы платить разную цену: богатые готовы платить больше, чем бедные. Если продавать товары одним (богатым) покупателям по более высокой цене, а другим (бедным) — по более низкой, то можно получить прибыль больше, чем если продавать всем по одной цене. Проблема в том, что по внешнему виду покупателя трудно определить, богатый он или бедный, а если магазин повесит на один и тот же товар два различных ценника — для богатых и для бедных, то это станет практически невозможно:). Потенциальный путь решения этой проблемы — продавать два вида товаров (дешёвый и дорогой), такие что бедные предпочтут купить дешёвый товар, а богатые — дорогой. Естественно, товары должны чем-то отличаться, иначе богатые тоже выберут дешёвый. В примерах из данной задачи таким отличием является то, что для покупки дешёвого товара нужно потратить больше времени, чем для покупки дорогого. Как мы помним, за одно и то же благо богатый человек готов платить больше, чем бедный. Это относится и к такому благу, как свободное время. Бедные готовы потратить время, чтобы перебрать все модели в магазине в поисках низкой цены; они готовы при случае поискать купон на скидку, а также могут собирать такие купоны впрок. Богатые же, если разница в ценах не очень велика, предпочтут купить первую понравившуюся модель, не тратя время на поиск низкой цены или купона.

Средний уровень

Электроники-10

Московская олимпиада (МОШ) · 2014 · 10 кл.

Фирма «Электроник-N» осуществляет производство и распределение электроэнергии в городе N. Если компания производит электроэнергию сама, то она несет издержки 2 млн руб. в месяц, а также 10 руб. за каждый произведенный $кВт\cdotч$ электроэнергии. При этом «Электроник-N» может произвести не более 1 000 тыс. $кВт\cdotч$ электроэнергии в месяц. Кроме того, фирма может купить любое количество электроэнергии по 15 руб. за $кВт\cdotч$ у электростанции «Электроник-A», расположенной в городе A, и продать своим потребителям.

Администрация города N согласна купить у фирмы «Электроник-N» не более 800 тыс. $кВт\cdotч$ в месяц по цене не более 12 руб. Частная производственная фирма может купить у фирмы не более 500 тыс. $кВт\cdotч$ в месяц по цене не более 16 руб. Других клиентов у фирмы нет.

а) Если «Электроник-N» может назначить разные цены для разных потребителей, то сколько электроэнергии он будет производить и продавать? Какую прибыль он получит?

б) Рассмотрим фирму «Электроник-N». Производство обходится ей в 7 руб. за $кВт\cdot ч$ (производственные мощности не ограничены, других издержек нет). Раньше она могла продавать электроэнергию только по единой фиксированной цене 15 руб. за $кВт\cdot ч$ , но недавно администрация сняла это ограничение, и теперь «Электроник-А» может назначить любую (единую) цену для всех своих покупателей. Сама администрация города N готова купить у фирмы не более 1 000 тыс. $кВт\cdot ч$ по цене не более 15 руб. за $кВт\cdot ч$ . Также спрос предъявляет фирма «Электроник-N», а других покупателей нет. Какую цену назначит фирма «Электроник-N» и какую максимальную прибыль получит?

Решение

а) Докажем сначала три вспомогательных утверждения.

Утверждение 1. Нет смысла продавать энергию по ценам, отличным от 16 и 12. Действительно, если поставить цену из множества $P\in [0;12)\cap (12;16)$ , то повышение цены не уменьшит спрос, то есть выручка увеличится без изменения издержек, а значит, увеличится прибыль.

Утверждение 2. Нет смысла продавать более 1000 тыс. единиц продукции. Допустим, мы продали больше 1000 тыс. единиц продукции. Это значит, что мы продаем товар обоим покупателям и используем оба источника при производстве (собственное производство и закупки). Тогда, если мы продадим администрации на одну тыс. единиц меньше, отказавшись от закупки этой тысячи у фирмы «Элекироник-А», то наша прибыль увеличится на 3.

Утверждение 3. Нет смысла закупать электроэнергию у фирмы «Электроник-А». Поскольку мы продаем не более 1000 тыс. единиц продукции, мы можем произвести их все самостоятельно, понеся издержки $TC(q)=2000+10q$ тыс. руб. Если же мы будем закупать энергию в другом городе (сэкономив 2000 тыс. рублей, но заплатив больше за каждую единицу), то издержки составят $15q$ тыс. Нетрудно убедиться, что закупки извне оправданы только при $q\le 400$ , но это не может быть оптимальным объемом продаж, так как производственная фирма готова купить 500 единиц по цене 16, что превышает издержки в любом случае.

Поскольку готовность платить каждого покупателя не убывает по цене, нужно назначить каждому из них ту максимальную цену, которую он готов платить: производственной фирме $P_1=16$ , а администрации $P_2=12$ . При этом из доказанного выше следует, что мы должны произвести всю энергию сами и продать ее производственной фирме и администрации. Поскольку обе цены превышают предельные издержки, ясно, что нужно произвести так много энергии, как это возможно — 1000 тыс. единиц, и продать 500 из них по максимальной цене $P_1$ , а остальные — по цене $P_2$ . Прибыль, которую можно получить таким образом, равна 2000 тыс руб.

б) Рассмотрим оптимальное поведение фирмы «Электроник-N» в зависимости от цены $P_A$ , по которой фирма «Электроник-A» будет продавать ей энергию.

Если $P_A<12$ , то фирма «Электроник-N» захочет купить «Электроник-A» все 1300 тыс. единиц, которые она может продать. Это следует, во-первых, из того, что 1300 тыс. единиц можно продать по цене не меньше 12 (значит, она захочет продать все), а кроме того, даже производство всех возможых 1000 тыс. единиц на своих мощностях не окупит связанных с этим квазипостоянных издержек: $2000+10\times 1000>P_A\times 1000$ .

Если $P_A=12$ , то фирме «Электроник-N» без разницы, закупать 1000 тыс. единиц или производить самостоятельно. При этом она может продать 500 тыс. единиц по цене 16 производственной фирме, а также любое количество энергии администрации города N. Таким образом, спрос фирмы «Электроник-N» на продукцию фирмы «Электроник-A» будет иметь следующий вид (в тысячах единиц):

Q= \begin{cases} 0, & \text{если } P_A>12; \\ 1300, & \text{если } 0 \le P_A \le 12. \end{cases}

Прибавив к этому спрос, предъявляемый администрацией города A, получим

Q= \begin{cases} 0, & \text{если } P_A>15; \\ 1000, & \text{если } 12 < P_A \le 15; \\ 2300, & \text{если } 0 \le P_A \le 12. \end{cases}

Фирма A может либо назначить цену 15 и получить прибыль $(15 -7)\times 1000 = 8000$ тыс. руб., либо назначить цену 12 и получить прибыль $(12-7)\times 2300 = 11500$ тыс. руб. Предпочтительнее второй вариант.

Критерии

Решения, приводимые участниками, могут отличаться от приведенного выше (например, вряд ли стоит ждать от них предварительного доказательства приведенных утверждений), но проверяющий должен определить, какие необходимые шаги выполнены в решении, а какие нет

а) (10 баллов)

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 1, он получает 2 балла.

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 2, он получает 3 балла.

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 3, он получает 3 балла.

Верный ответ оценивается в 2 балла

б) (15 баллов)

Если правильно найдена пограничная точка спроса фирмы «Электроник-N» ( $P_A=12$ ), то ставится 2 балла.

Еще 13 баллов ставится за корректную функцию спроса на продукцию фирмы «Электроник-A» и выбор оптимальной цены. Из них:

7 баллов, если построен корректный спрос, включая точку $P_A=15$ .
6 баллов за сравнение вариантов цен, которые участник не получит, если допустил арифметическую ошибку, повлиявшую на результат сравнения.

За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.

Условный потолок

ВсОШ · региональный этап · 2020 · 10–11 кл.

Фирма M продает некое лекарство в две страны – A и B. Фирма является монополистом на мировом рынке данного лекарства, так как она обладает патентом на его производство. В стране A спрос описывается уравнением $Q_A=30-P_A$ , а в стране B – уравнением $Q_B=10-P_B$ . Издержки производства считайте равными нулю. Фирма может назначать разные цены в разных странах, так как покупка лекарств иностранцами и перепродажи эффективно блокируются.

а) (10 баллов) Найдите цены $P^*_A$ и $P^*_B$ , которые назначит фирма в отсутствие вмешательства государства.

б) (20 баллов) Президент страны A, ратуя за доступность лекарств, ввел следующее правило: фирма М не может назначать цену в стране A выше, чем в стране B. Теперь фирма М назначает цены так, чтобы прибыль была максимальная с учетом этого правила. Удастся ли президенту с помощью этой меры добиться снижения цены в своей стране?

Решение

а). Составим функцию прибыли:

$\pi=(30-P_A)\cdot P_A+(10-P_B)\cdot P_B$

Эта функция – сумма двух не зависящих друг от друга парабол с ветвями вниз, значит, её значение будет максимально, когда максимума достигает каждая из парабол. Это происходит при $P_A^*=15 \text{ и } P^*_B=5$ .

б) В пункте (а) цена в стране A оказалась выше, поэтому максимизировать прибыль так, как раньше, фирма не сможет. Она будет назначать одинаковые цены на двух рынках, то есть фактически столкнётся с общей функцией спроса:

$Q=\begin{cases} 30-P, & \text{если } 10\leq P\leq 30 \\ 40-2P, & \text{если } 0\leq P\leq10\end{cases}$

Функция прибыли имеет вид:

$\pi=\begin{cases} (30-P)P, & \text{если } 10\leq P\leq 30 \\ (40-2P)P, & \text{если } 0\leq P\leq10\end{cases}$

На первом участке фирма работает только на рынке страны A. Как и в предыдущем пункте, оптимальная цена в стране A при этом равна 15, а прибыль равна 225. На втором участке ( $P\leq10$ ) фирма обслуживает рынки в обеих странах. Парабола $(40 − 2P)P$ имеет ветви вниз и максимум в точке $P=10$ , прибыль при этом равна 200, то есть меньше, чем в предыдущем случае. Можно также заметить, что при такой цене фирма ничего не продаёт на рынке страны B, а на рынке страны A не получает максимальной прибыли.

Следовательно, цена в обеих странах будет 15. Таким образом, цена в стране A не изменится, президент своей цели не добьётся.

Олимпиадный уровень

Счастливые часы

Сибириада · 2015 · 11 кл.

Сеть кафе «У Аристарха» имеет сотни заведений по всему городу. Владелец сети, Аристарх, заметил, что в разное время дня разное количество посетителей хотят заказать фирменное блюдо его ресторанов. Все рестораны открываются в 12 часов, и если одна порция стоит $p$ рублей, в первый час работы посетители покупают $q=132-p$ тыс. порций во всей сети. В последний час работы кафе (с 21 до 22 часов) посетители заказывают $q=141-p$ тыс. порций. Аристарх вывел следующую зависимость купленных порций от цены и времени: если в период с $t$ до $t+1$ часов ( $t$ — целые числа от 12 до 21) цена составляет $p$ рублей за порцию, то общее количество купленных порций за это время составляет $q=120+t-p$ тыс. Производство одной порции стоит 40 рублей, владелец сети старается сделать так, чтобы прибыль (разница между его доходами и расходами) за день работы была максимальной. Считайте, что кроме фирменного блюда в кафе ничего не продается.

а) Какую цену нужно установить Аристарху, если он не хочет менять ее в течение дня?

б) Сын Аристарха, Ксенофонт, предложил папе ввести в его ресторанах «счастливые часы»: назначать одну цену на фирменное блюдо утром (с открытия до $X$ часов) и другую цену вечером (с $X$ часов до закрытия). «Счастливыми часами» называется тот период, когда цена ниже. Не проводя расчетов, объясните, в какое время (в первой части дня или во второй) Аристарху нужно устроить «счастливые часы», и предположите, в какую сторону утренняя и вечерняя цена будет отличаться от цены в пункте а). Приведите содержательное объяснение, почему прибыль при такой политике может увеличиться.

в) Рассчитайте оптимальную длину счастливых часов.

Решение

а) (8 баллов за пункт) Считая, что в каждый из рабочих часов в кафе продается ненулевое количество порций, найдем общий спрос:

$Q=(132-p)+(133-p)+⋯+(141-p)=1365-10p.$ (4 балла)

Тогда прибыль за день будет равна:

$π=(1365-10p)(p-40).$

Эта функция является квадратичной параболой с ветвями вниз, вершина ее будет максимумом**(1 балл)**. Она расположена посередине между нулями функции:

$p=(136,5+40)/2=88,25.$

(3 балла) Это и есть оптимальная цена.

б) Можно заметить, что по мере приближения вечера спрос на фирменное блюдо становится численно больше, а эластичность его снижается. Поскольку издержки не меняются в течение дня, это означает, что цена должна быть выше вечером. (5 баллов)

в) (12 баллов за пункт) Пусть T — длина счастливых часов, $p_1$ — цена во время счастливых часов, $p_2$ — цена после их окончания. Тогда спрос в счастливые часы составит:

$Q_1=(132-p_1 )+(133-p_1 )+⋯+(132+(T-1)-p_1 )=T⋅(131,5+T/2-p_1 )$

(3 балла) (свернуто по формуле суммы арифметической прогрессии: количество членов, умноженное на среднее арифметическое между первым и последним). Спрос после окончания счастливых часов составит:

$Q_2=(132+T-p_2 )+⋯+(141-p_2 )=(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )$ . (3 балла)

Тогда функция прибыли имеет вид:

$π=T⋅(131,5+T/2-p_1 )(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )(p_2-40)$ . (1 балл)

Допустим, T — какая-то длина счастливых часов. Тогда цены, максимизирующие прибыль, можно найти как вершины двух парабол с ветвями вниз — первого и второго слагаемого в функции прибыли. При максимизации всей функции ни одна из этих цен не оказывает влияния на «чужую» часть прибыли, поэтому параболы можно максимизировать отдельно. (рассуждение о параболах и способе максимизации — 3 балла) Получаем:

$p_1^*=85,75+T/4$ , $p_2^*= 88,25+T/4.$

Осталось подставить найденные значения в функцию прибыли:

$π=T⋅(131,5+T/2-(85,75+T/4))(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-(88,25+T/4))(p_2-40).$

Упрощая, получаем:

$π=T⋅(45,75+T/4)^2+(10-T)⋅(48,25+T/4)^2=5/8 (-T^2+10T+37249).$

Эта квадратичная парабола с ветвями вниз имеет максимум в точке $T^*=5$ (2 балла), это и есть оптимальная длина счастливых часов. Можно убедиться, что цена в первой части дня равна 87, а во второй части дня цена равна 89,5, то есть вечерняя цена, как и было предсказано в пункте б), выше.

Задача 12 заключительного этапа ВОШ — 2016

ВсОШ · заключительный этап · 2016

В N-ске есть 150 человек, которым утром нужно улететь в Москву (возвращаться они не планируют). Готовность платить за билет каждого из них зависит от времени вылета рейса; для каждого пассажира существует некое идеальное для него время вылета, и чем больше отклонение фактического времени от идеального, тем меньше его готовность платить. Готовность платить пассажира i можно рассчитать по формуле

$V_{i}(t)=8−2∣t−t^*_{i} ∣$ ,

где $V_{i}(t)$ –– максимальная цена, которую пассажир $i$ готов заплатить за билет (в тыс. руб.), $t$ – фактическое времяв ылета , а $t^*_{i}$ -идеальное время вылета с точк изрения пассажира $i$ .

Разные пассажиры предпочитают разное время вылета. Количество пассажиров с соответствующими значениями $t^*_{i}$ представлено в таблице.

\begin{array}{|c|c|} \hline t^*_{i} & n \\ 6 ч. утра & 30 \\ 7 ч. утра & 40 \\ 8 ч. утра & 60 \\ 9 ч. утра & 20 \\ \hline \end{array}

В связи с небольшим размером рынка рейсы из N-ска в Москву организует только одна авиакомпания –– «N-авиа». В распоряжении авиакомпании есть один самолет вместимостью как раз 150 человек. Издержки на осуществление рейса равны 500 тыс. руб. независимо от количества проданных билетов и времени вылета. Компания стремится к тому, чтобы ее прибыль от рейса была максимальной.

Предположим, компания назначает единую цену на все билеты. Какую цену она назначит и какое время вылета она выберет (время вылета необязательно целое)?
Предположим,что,несмотря на то, что все места в самолете одинаковые, компания может назначать на них разные цены (вплоть до того, что каждое из 150 мест может быть продано по своей цене). В этом случае процесс взаимодействия компании с потенциальными пассажирами устроен так:

Компания определяет время вылета и цены на разные места и публикует эту информацию на сайте;
Когда человек заходит на сайт компании, он, видя время вылета и цены, решает, будет ли он покупать билет. Если он покупает билет, то он покупает самое дешевое место из оставшихся.

Предположим, что чем раньше для человека идеальное время вылета, тем раньше он приходит на сайт для покупки билетов (те, кто привык рано вставать, привыкли все дела делать раньше).* Найдите время вылета, которое выберет авиакомпания, и определите, сколько ценовых категорий мест она выделит, каковы будут количество мест и цена билета в каждой категории. Укажите в ответе все оптимальные для авиакомпании варианты.

*Более реалистично было бы предполагать случайный порядок захода посетителей на сайт, однако такая предпосылка значительно усложняет решение.

Решение

Меняя время вылета $t$ , фирма меняет готовность потребителей платить и тем самым кривую спроса на билеты. Поэтому один из способов решения задачи — найти кривую спроса, оптимальную цену и максимальную прибыль при каждом $t$ , а затем промаксимизировать эту прибыль по $t$ .

Этот способ, однако, трудоемок. В данном случае легче найти, какое $t$ максимизирует спрос при данном $p$ , затем уже максимизировать прибыль по $p$ .

При цене $p$ захотят купить билет потребители, для которых $t_{i}\in \left[\frac{t−(8−p)}{2};\frac{t+(8−p)}{2} \right]$ .Это отрезок длины $(8 − p)$ c центром в точке $t$ .

Заметим, что при $p\le5$ тыс. руб., всегда можно найти отрезок длины $(8 − p)$ , накрывающий множество $t^*_i\in\{6, 7, 8, 9\}$ . Например, можно выбрать отрезок с центром $t = 7,5$ . Иными словам, в этом случае фирма всегда может выбрать $t$ так, чтобы билеты захотели купить все 150 человек –– достаточно выбрать $t = 7∶30$ утра. Максимальная выручка в данном случае достигается при цене 5 и равна $5⋅150 = 750$ .

При $p\in(5; 6]$ , отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 3 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем $t^*_i\in\{6, 7, 8\}$ , спрос предъявят 130 человек, а если накрыть группы с идеальным времени 7, 8 и 9 часов, спрос предъявят 120 человек. Максимальная выручка равна $130 ⋅ 6 = 780$ , для ее достижения нужно назначить $t = 7$ утра.

При $p\in(6; 7]$ , отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 2 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем 6 и 7 часов, спрос предъявят 70 человек; 7 и 8 часов –– 100 человек; 8 и 9 часов –– 80 человек. Максимальная выручка равна $100 ⋅ 7 = 700$ , для ее достижения нужно назначить $t = 7:30$ утра.

При $p\in(7; 8]$ , отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 1 группу потребителей. Это должна быть самая многочисленная группа. Таким образом, максимальная выручка в данном случае равна $8 ⋅ 60 = 480$ , для ее достижения нужно назначить $t = 8$ утра.

При $p > 8$ ни один потребитель не приобретет билет ни при каком времени вылета.

Сравнивая выручку во всех случаях выше, получаем, что оптимальным является назначение цены 6 тыс. руб. за билет и времени вылета 7 часов утра. (Прибыль фирмы составит 280 тыс. руб.) 2. Для лучшего понимания происходящего рассмотрим пару примеров. Фирме имеет смысл выделять несколько ценовых категорий билетов, если она сможет продать билеты дороже тем, кто готов за них платить больше. Для этого необходимо, чтобы больше была готовность платить именно тех потребителей, кто позже приходит на сайт. Например, если установить время вылета $t = 9$ часов утра, то готовности платить для четырех групп будут равны $(2; 4; 6; 8)$ тыс. руб, и если фирма выделит 4 категории билетов: 30 билетов по 2 тыс., 40 билетов по 4 тыс., 60 билетов по 6 тыс., и 20 билетов по 8 тыс., она сможет продать билет каждому потребителю по его готовности платить, и в итоге получит выручку 740 тыс. руб, что гораздо больше, чем максимальная выручка

при $t = 9$ , если назначать единую цену (480 тыс. руб.).

С другой стороны, если установить время вылета $t = 7$ часов утра, то готовности платить будут равны $(8; 6; 4; 2)$ тыс. руб, и трюк с выделением нескольких категорий не пройдет, так как самая ранняя группа купит билеты по 2, а не по 8, и.т.д. В этом случае фирма не сможет заработать выручку больше, чем в случае установления единой цены.

Несмотря на то, что при $t = 9$ фирма может изъять у каждого потребителя его готовность платить, не факт что $t = 9$ является оптимальным, ведь фирма, меняя $t$ , может менять сами готовности платить. Тем не менее, из примеров выше становится ясно, что ценовая дискриминация будет приносить выгоду скорее при больших $t$ , чем при маленьких.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Будем называть группы потребителей по идеальному для них времени вылета; за $V_t$ обозначим готовность платить члена группы с идеальным временем $t$ .

Заметим, что при оптимальной для фирме ценовой политике выполнено следующее: если некая группа потребителей покупает билеты, то все группы, для которых идеальное время вылета меньше, тоже покупают билеты. Действительно, если это не так, то фирма может опустить цену на часть билетов так, чтобы более «ранние» группы купили их, не меняя поведение более «поздних» групп, и прибыль ее увеличится.

Таким образом, в оптимуме возможны 4 варианта: (1) Все потребители покупают билеты; (2) Только группы 6, 7, 8 покупают билеты; (3) Только группы 6 и 7 покупают билеты; (4) Только группа 6 покупает билеты.

Будем рассматривать эти 4 случая по отдельности.

Случай 1. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 9]$ . Встанем в $t = 9$ и будем уменьшать $t$ . При $t\in[8,5; 9]$ готовности платить $V_6$ , $V_7$ , $V_8$ и $V_9$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8\le V_9$ . Выделяя 4 категории билетов — 30 билетов по $V_6$ тыс., 40 билетов по $V_7$ тыс., 60 билетов по $V_8$ тыс., и 20 билетов по $V_9$ тыс, фирма сможет изъять у каждого потребителя его готовность платить. При этом при уменьшении $t$ суммарная готовность платить групп 6, 7 и 8 растет сильнее, чем падает суммарная готовность платить группы 9 (так как $2⋅(30+40+60) > 2⋅20$ ), и поэтому максимальная выручка на этом участке достигается при $t = 8,5$ ; несложно посчитать, что она равна 850 тыс. руб. При $t\in[8; 8,5)$ будет выполнено соотношение $V_6\le V_7\le V_9⩽ V_8$ , и потому, чтобы продать билеты всем группам, фирме придется установить единую цену для групп 8 и 9, равную $V_9$ (для групп 6 и 7 цены по-прежнему равны $V_6$ и $V_7$ ). При этом на этом участке выручка уменьшается при уменьшении $t$ , так как $2 ⋅ (30 + 40) < 2 ⋅ (20 + 60)$ .

При $t\in[7,5; 8)$ фирме придется устанавливать единую цену для групп 7, 8 и 9, равную $V_9$ ; выручка по-прежнему будет уменьшаться при уменьшении $t$ , так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 20 + 60)$ . При $t < 7,5$ фирме придется устанавливать единую цену на все билеты, чтобы все группы купили билет. Эта цена равна $V_9$ , и поэтому выручка, очевидно, будет убывать при уменьшении $t$ .

Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 8,5$ . При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

Случай 2. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 8]$ . (Про группу 9 забудем, будем считать, что фирма предлагает только 130 билетов.) Встанем в $t = 8$ и будем уменьшать $t$ . Аналогично Случаю 1, при $t\in[7,5; 8]$ готовности платить $V_6$ , $V_7$ и $V_8$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8$ , и потому фирма сможет изъять у каждой из трех групп ее излишек, выделяя три ценовые категории. При этом выручка будет возрастать при уменьшении $t$ , так как $2 ⋅ (30 + 40) > 2 ⋅ 60$ . На этом участке оптимальным является $t = 7,5$ , несложно посчитать, что максимальная выручка опять равна 850 тыс. руб.

При $t < 7,5$ фирме придется назначать единую цену для групп 7 и 8, равную $V_8$ ; так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 60)$ , выручка будет убывать при уменьшении $t$ . При $t < 7$ цена должна быть общей для всех трех групп, и выручка вновь будет убывать при уменьшении $t$ .

Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 7,5$ . При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.

Случай 3. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ (30 + 40) < 850$ , и потому этот вариант не может быть оптимальным.

**Случай 4.**Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ 30 < 850$ , и потому этот вариант не может быть оптимальным.

Ответ. Первый вариант: вылет в 7:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Второй вариант: вылет в 8:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и

80 билетов по 7000.

В обоих случаях прибыль компании составит 350 тыс. руб.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.