Монополия и её регулирование

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

На организацию производства мелких мягких игрушек (аренду помещения и оборудования, оплату лицензии, и прочие постоянные издержки) фирма «Тедди» потратила 200000 рублей. Ожидается, что производство единицы продукции (одной мягкой игрушки) в переменных издержках обойдется фирме в 100 рублей.

Какую прибыль получит фирма, если рассчитывает выпускать в месяц 1000 игрушек, а рыночная цена 400 рублей за одну игрушку?

Р2

Задача Р2

Динамично развивающаяся фирма по производству электрокаров нового поколения «E-car» приобрела постепенно затухающий завод «БензГазТрактор». До заключения этой сделки производительность труда в «E-car» составляла $400$ тыс. руб. в год, а на покупаемом старом заводе $–$ $100$ тыс. руб. После покупки завода производительность труда в обновленной фирме «E-car» составила $425$ тыс. руб. Как изменилась производительность труда для «E-car», если известно, что в «БензГазТракторе» трудилось в $4$ раза меньше работников, чем в «E-car», а после сделки персонал сократился на $20\%$ ?

Р3

Задача Р3

Функция спроса на одеяла имеет вид $Q_d = 150 – P$ , где $Q_d$ – величина спроса, а $P$ – цена. Предложение на одеяла задано функцией $Q_s = 30 + 3P$ , где $Q_s$ – величина предложения. На

каком уровне необходимо правительству зафиксировать цену, чтобы дефицит на рынке не превысил 24?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Господин Гаджет

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 8–9 кл.

Господин Гаджет является единственным продавцом гаджетов. Если он установит на свою продукцию цену $p\le 100$ рублей за штуку, то у него купят $100-p$ единиц продукции (в ином случае не купят ничего). Чтобы произвести $q$ единиц продукции, требуется $q^2$ микросхем, каждая из которых стоит 9 рублей. Господин Гаджет стремится произвести столько гаджетов, чтобы его прибыль (разница между доходами и расходами) была максимальной. Чему будет равна максимальная прибыль?

Теория

Монополия

Почему у монополиста нет кривой предложения

Предложение отвечает на вопрос «сколько продадут при цене $P$ », а монополист цену не принимает, а выбирает. При одних и тех же издержках, но разных спросах он может продавать одно и то же количество по разным ценам или разные количества по одной цене. Поэтому функции предложения у монополии нет.

Прибыль на графике

Площадь между $\mathit{MR}$ и $\mathit{MC}$ от нуля до оптимального выпуска равна прибыли плюс постоянные издержки (площадь под $\mathit{MR}$ это выручка, под $\mathit{MC}$ переменные издержки). Прибыль также равна прямоугольнику $Q^*\big(P - \mathit{AC}(Q^*)\big)$ .

Условия работы: в коротком периоде существует цена, при которой $P \ge \mathit{AVC}$ ; в долгом существует цена, при которой $P \ge \mathit{AC}$ .

Монополист с двумя заводами

Пример

Многозаводская монополия

Спрос $P = 100 - Q$ , заводы: $\mathit{MC}_{1} = 2q_{1}$ , $\mathit{MC}_{2} = q_{2} + 10$ .

Решение. Сначала строим общую кривую $\mathit{MC}$ (горизонтальная сумма): при уровне $m \le 10$ работает только первый завод, $Q = \dfrac{m}{2}$ ; при $m > 10$ оба: $Q = \dfrac{m}{2} + m - 10 = 1{,}5m - 10$ , то есть $m = \dfrac{Q + 10}{1{,}5}$ . Оптимум $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ : $100 - 2Q = \dfrac{Q + 10}{1{,}5}$ , $150 - 3Q = Q + 10$ , $Q = 35$ , $m = 30$ . Заводы: $q_{1} = 15$ , $q_{2} = 20$ , цена $P = 65$ .

Правило: монополист с несколькими заводами выбирает общий выпуск из $\mathit{MR} = \mathit{MC}_{\text{общ}}$

а распределяет его так, чтобы $\mathit{MC}$ всех работающих заводов были равны $\mathit{MR}$ .

Оптимум монополиста на графике

Монополист выбирает Q там, где MR = MC, а цену берёт со спроса (точка M); красный треугольник потери по сравнению с конкуренцией (Q = 80) — **Рис. 51.1:** Монополист выбирает $Q$ там, где $\mathit{MR} = \mathit{MC}$ , а цену берёт со спроса (точка $M$ ); красный треугольник потери по сравнению с конкуренцией ( $Q = 80$ )

Разбор: рост постоянных издержек (региональный этап 2024/25)

Разбор: «А спрос-то не линейный!» (заключительный этап 2021)

Разбор олимпиадной задачи

Ошибка в форме спроса стоит прибыли

Монополист с $\mathit{MC} = 3$ продал 3 единицы по цене 20 и 48 по цене 5. Менеджер провёл через эти точки прямую и назначил оптимальную для неё цену, а настоящий спрос имеет постоянную эластичность. Какую долю максимальной прибыли потеряла фирма?

Решение. Прямая: $Q = 63 - 3P$ ; прибыль $(63 - 3P)(P - 3)$ максимальна при $P = 12$ .

Настоящий спрос $Q = \dfrac{A}{P^k}$ : из $\dfrac{48}{3} = 4^k$ получаем $k = 2$ , $A = 1200$ . При цене 12 продали $\dfrac{1200}{144} = \dfrac{25}{3}$ , прибыль 75. Правильная цена по Лернеру: $\dfrac{P - 3}{P} = \dfrac{1}{2}$ , $P = 6$ , $Q = \dfrac{100}{3}$ , прибыль 100.

Ответ. Потеряно 25% прибыли.

Потери от монополии и её регулирование

Чистые потери

Потолок цены

Потолок делает спрос горизонтальным до потолка, и на этом участке $\mathit{MR} = P_{\text{пот}}$ : дополнительные единицы можно продавать без снижения цены остальных.

Потолок ниже монопольной цены, но выше точки пересечения $\mathit{MC}$ со спросом: монополист увеличивает выпуск, цена падает до потолка, дефицита нет, благосостояние растёт.
Потолок ровно на уровне пересечения $\mathit{MC}$ и спроса: результат как при конкуренции.
Потолок ниже этой точки: выпуск определяется пересечением потолка с $\mathit{MC}$ , возникает дефицит.
Пол цены выше монопольной цены монополист просто принимает как цену; ниже не влияет.

Потолок 40: до Q = 60 можно продавать по 40 без снижения цены остальных, поэтому выпуск растёт с 40 до 60 — **Рис. 52.2:** Потолок 40: до $Q = 60$ можно продавать по 40 без снижения цены остальных, поэтому выпуск растёт с 40 до 60

Естественная монополия

Если средние издержки падают на всём участке спроса, одной фирме производить дешевле, чем нескольким. Регулирование:

$P = \mathit{MC}$ : объём общественно оптимален, но при падающих $\mathit{AC}$ цена ниже средних издержек, и фирма несёт убыток (его покрывают субсидией);
$P = \mathit{AC}$ : нулевая прибыль, без субсидий, но объём меньше оптимального.

Естественная монополия: без регулирования Q = 45; при P = MC = 10 объём 90, но убыток 600; при P = AC нулевая прибыль при Q ≈ 82,7 — **Рис. 52.3:** Естественная монополия: без регулирования $Q = 45$ ; при $P = \mathit{MC} = 10$ объём 90, но убыток 600; при $P = \mathit{AC}$ нулевая прибыль при $Q \approx 82{,}7$

Налоги и субсидии для монополиста

Потоварный налог входит в прибыль: $\Pi = \mathit{TR} - \mathit{TC} - tQ$ , условие $\mathit{MR} = \mathit{MC} + t$ ; выпуск падает, потери растут. Эквивалентность налогов здесь не действует.
Налог на прибыль и аккордный налог выпуск не меняют.
Потоварная субсидия снижает $\mathit{MC}$ , монополист расширяет выпуск, потери уменьшаются: субсидия монополисту может повысить благосостояние (если не считать издержки её финансирования).
Натуральный налог: если государство забирает 50% проданного, произвести нужно в 1,5

раза больше, чем продать: $Q_{\text{произв}} = 1{,}5\,Q_{\text{прод}}$ ; прибыль $\Pi = P(Q_{\text{прод}})\,Q_{\text{прод}} - \mathit{TC}(Q_{\text{произв}})$ .

Разбор олимпиадной задачи

«Бюджетный федерализм», заключительный этап 2016

Монополист: спрос $P = 140-2q$ , на единицу продукции нужны 2 единицы труда по ставке

1. Федеральный налог $f$ с каждой проданной единицы, региональный $r$ с каждой единицы труда. Сначала ставку объявляет федерация, затем регион, затем фирма выбирает выпуск.

Решение. Обратная индукция.

1. Фирма: $\mathit{MR} = 140 - 4q$ равна предельным издержкам $20 + f + 2r$ , отсюда $q =$

$\dfrac{120 - f - 2r}{4}$ .

Регион максимизирует $2rq$ при данном $f$ : $r = \dfrac{120 - f}{4}$ .
Федерация максимизирует $fq$ , учитывая ответ региона, $q = \dfrac{120 - f}{8}$ : $f = 60$ , тогда $r = 15$ , $q = 7{,}5$ .

Монополист и внешний рынок

Монополист на внутреннем рынке может продавать за рубеж по мировой цене $P_{w}$ , на которую не влияет, причём цены на двух рынках могут различаться.

1. Если $P_{w}$ выше внутренней цены при любом объёме, всё идёт на экспорт.
1. Если ниже при любом объёме, всё продаётся внутри.

Иначе: внутри продают, пока $\mathit{MR}_{\text{внутр}} > P_w$ , то есть до $\mathit{MR}_{\text{внутр}} = P_w$ ; общий выпуск из $\mathit{MC} = P_{w}$ ; разница экспортируется.

Утилизация произведённого товара

Если товар уже произведён (издержки производства невозвратны), а непроданное нужно утилизировать за $u$ рублей за единицу, то продажа ещё одной единицы экономит $u$ . Поэтому продают, пока $\mathit{MR} > -u$ , то есть до $\mathit{MR} = -u$ (если запаса хватает).

Плюсы и минусы монополии

Минусы: высокая цена и потери; если монополизирован один этап цепочки, страдают все следующие рынки; недопотребление полезных обществу товаров (вакцины); нет альтернатив, есть барьеры входа; слабые стимулы снижать издержки и внедрять новое; концентрация риска; рост неравенства.

Плюсы: экономия от масштаба (одна большая фабрика дешевле ста маленьких); средства на исследования; единые стандарты качества; удобство государственного контроля стратегических отраслей.

Графическая задача о рентабельностидля заключительного этапа

Пример

Выручка и рентабельность

Спрос на продукцию монополиста линеен, средние издержки постоянны. При оптимальном выпуске выручка составляет $_{9}^{8}$ от максимально возможной. Найдите рентабельность.

Решение. Пусть $P = a - bQ$ , $\mathit{AC} = \mathit{MC} = c = ka$ . Оптимум $Q = \dfrac{a(1 - k)}{2b}$ , $P = \dfrac{a(1 + k)}{2}$ , выручка $\dfrac{a^2(1 - k^2)}{4b}$ , а максимум выручки $\dfrac{a^2}{4b}$ . Из $1 - k^2 = \dfrac{8}{9}$ получаем $k = \dfrac{1}{3}$ . Рентабельность $\dfrac{P - c}{c} = \dfrac{1 - k}{2k} = 1$ , то есть $100\%$ .

Если монополист максимизирует не прибыль, а среднюю прибыль $P - \mathit{AC}$ , он выбирает выпуск, где вертикальное расстояние между спросом и $\mathit{AC}$ наибольшее; при параллельном сдвиге линейного спроса этот выпуск не меняется.

Разбор: двойная маржинализация (заключительный этап 2025, «Буквально вертикальная интеграция»)

Разбор олимпиадной задачи

Носильщики на двух участках маршрута

Спрос на доставку груза в первый лагерь $q_{1} = 110 - p_{1}$ , со второго участка $q_{2} = q_{1} - p_{2}$ (во второй лагерь можно доставить только то, что доставлено в первый). Предельные издержки 10 и 20.

Решение. Конкуренция: $p_{1} = 10$ , $q_{1} = 100$ ; $p_{2} = 20$ , $q_{2} = 80$ .

Две независимые монополии: первая максимизирует $(100 - q_{1})q_{1}$ : $q_{1} = 50$ ; вторая при $q_{1} = 50$ максимизирует $(30 - q_{2})q_{2}$ : $q_{2} = 15$ . Прибыли 2500 и 225.

Единый холдинг: прибыль $(100 - q_1)q_1 + (q_1 - q_2 - 20)q_2$ ; по $q_2$ вершина $q_2 = \dfrac{q_1 - 20}{2}$ , затем $q_{1} = 60$ , $q_{2} = 20$ , прибыль 2800.

Благосостояние (излишки равны $\dfrac{q_1^2}{2}$ и $\dfrac{q_2^2}{2}$ ): конкуренция 8200, две монополии 4087,5, холдинг 4800.

Ответ. Объединение двух монополий выгодно и им, и покупателям: каждая независимая монополия ставит свою наценку поверх чужой (двойная маржинализация), а холдинг учитывает, что высокая цена на первом участке уменьшает спрос на втором. Равный делёж прибыли холдинга (1400 и 1400) первой фирме невыгоден: ей нужно не меньше 2500, например 2525 и 275. Государство может улучшить даже конкурентный исход субсидией на первом участке: каждая доставка в первый лагерь создаёт спрос на втором (положительный внешний эффект).

Разбор: инновации под угрозой входа (заключительный этап 2025, «О пользе конкуренции»)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Монополист, инновации и потенциальный конкурент

Спрос $p = 1-q$ , предельные издержки 0,5; снижение их на $I \le 0{,}5$ стоит $0{,}5kI^{2}$ , $k > 1$ . Сначала монополист «Анна» выбирает выпуск и инновации, затем «Белла» (с издержками 0,5) решает, входить ли, и выбирает выпуск.

Решение. Без угрозы входа. При выпуске $q$ оптимально $I = \dfrac{q}{k}$ , издержки $0{,}5q - \dfrac{q^2}{2k}$ . Прибыль $0{,}5q - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q^2$ , $q^* = \dfrac{k}{2(2k - 1)}$ , $I^* = \dfrac{1}{2(2k - 1)}$ .

С угрозой входа. «Белла» отвечает $q_B = \dfrac{0{,}5 - q_A}{2}$ (если $q_A < 0{,}5$ ). Подставляя, получаем прибыль «Анны» $0{,}25q_A - \left(0{,}5 - \dfrac{1}{2k}\right)q_A^2$ с вершиной $\dfrac{k}{4(k - 1)}$ . При $k \le 2$ эта вершина не меньше 0,5, и «Анна» выбирает $q_{A} = 0{,}5$ , полностью отпугивая «Беллу»; при $k > 2$ она производит $\dfrac{k}{4(k - 1)}$ , а «Белла» входит с $q_B = \dfrac{k - 2}{8(k - 1)}$ .

Ответ. Под угрозой конкуренции «Анна» вкладывает в инновации больше ( $\dfrac{1}{2k}$ или $\dfrac{1}{4(k - 1)}$ против $\dfrac{1}{2(2k - 1)}$ ). Поэтому если на рынке одна фирма, её выпуск не обязательно монопольный: она может производить больше, чтобы не пустить конкурента. Связь конкуренции и стимулов к инновациям описал Кеннет Эрроу.

Разбор: экспортная пошлина для монополиста (заключительный этап 2023)

Разбор олимпиадной задачи

Когда экспортная пошлина повышает благосостояние

Монополист на внутреннем рынке ( $Q = 60 - P$ ), $\mathit{TC} = \dfrac{Q^2}{2}$ , может экспортировать по мировой цене 30; импорт запрещён. Какую экспортную пошлину ввести, чтобы максимизировать благосостояние страны?

Решение. Без пошлины. Внутри продают, пока $\mathit{MR} = 60-2Q_{1}$ выше 30: $Q_{1} = 15$ , $P = 45$ . Всего $\mathit{MC} = Q = 30$ , экспорт 15.

С пошлиной $t$ (при $t \le 10$ ): экспорт приносит $30 - t$ , поэтому внутри продают $Q_{1} =$ $15 + \dfrac{t}{2}$ , всего $Q = 30 - t$ , экспорт $15 - \dfrac{3t}{2}$ . Благосостояние (излишек покупателей, прибыль, пошлина) $SW (t) = -0{,}625t^{2} + 7{,}5t + 787{,}5$ , максимум при $t = 6$ . При $t \ge 10$ экспорт прекращается, и благосостояние ниже.

Ответ. $t^{*} = 6$ . Для монополиста экспортная пошлина делает внутренний рынок относительно выгоднее: продажи внутри растут, цена падает, и выигрыш покупателей вместе со сборами перекрывает потерю прибыли. В конкурентной экономике такая пошлина благосостояние только снижала бы.

Разбор: «Дважды оптимальная субсидия» (заключительный этап 2023)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Самая дешёвая субсидия, доводящая выпуск до оптимального

Монополист: спрос $Q = 80 - P$ , средние издержки 20; без вмешательства выпуск 30, а конкурентный 60. Субсидия $S = f(Q)$ должна заставить фирму выпустить 60 при минимальных расходах.

Решение. Линейная $f = aQ$ : выпуск $\dfrac{60 + a}{2} = 60$ , $a = 60$ , расходы 3600. Квадратичная $f = aQ^2$ : выпуск $\dfrac{30}{1 - a} = 60$ , $a = \dfrac{1}{2}$ , расходы 1800.

Нижняя граница. Без субсидии прибыль $60Q - Q^{2}$ . Выпуск 60 должен быть для фирмы не хуже выпуска 30, где она получает 900 даже без субсидии: $0+f(60) \ge 900+f(30) \ge 900$ . Значит, меньше 900 потратить нельзя.

Схема, достигающая 900: платить 900 только при выпуске ровно 60 (и ничего при другом выпуске). Тогда 30 и 60 дают одинаковую прибыль 900, и при безразличии фирма выбирает больший выпуск.

Ответ. Минимальные расходы 900. Наращивание степени $aQ^{n}$ не помогает бесконечно: при больших $n$ выпуск 60 перестаёт быть максимумом прибыли, хотя производная в нём равна нулю.

Задачи

Базовый уровень

Фирма "Карамелька"

ВсОШ · муниципальный этап · 2020 · 11 кл.

Фирма «Карамелька» является монополистом на рынке конфет. Спрос на конфеты предъявляют $20$ потребителей. Покупка $q$ кг конфет по цене $P$ приносит каждому потребителю удовольствие в размере $U = 10q - P^2q^2$ . Потребитель максимизирует удовольствие. Если потребителю безразлично, покупать или нет, он предпочтёт купить товар. Издержки монополиста составляют $TC = 5Q + 1$ . Какую цену на свою продукцию должна установить «Карамелька»? Какое количество она произведёт?

Евросок

Московская олимпиада (МОШ) · 2014 · 10 кл.

На совершенно конкурентном рынке соков функция спроса имеет вид $Q_d= 50 - P$ , а функция предложения имеет вид $Q_s = - 10 +P$ , где $Q$ — выпуск в тысячах пакетов сока в месяц. Изначально рынок находится в ситуации совершенной конкуренции. Компания «Евросок» предлагает правительству передать ей лицензию, обеспечивающую монопольное право на производство соков, и гарантирует, что в таком случае монопольное положение поможет ей производить сок с издержками $TC = 8Q+F$ , где $F$ — стоимость лицензии. В случае отказа правительства «Евросок» не будет входить на рынок.

а) Предположим, что правительство при принятии своих решений учитывает только благосостояние потребителей сока, при этом потребители не получат ничего из того, что «Евросок» заплатит за лицензию. Согласится ли правительство на предложение «Евросока»?

б) Какую максимальную сумму готов заплатить «Евросок» за возможность войти на рынок?

Решение

а) Найдем равновесие конкурентного рынка: $P^*=30$ , $Q^*=20$ . При монополии же прибыль производителя равна $\pi=(50-Q)Q-8Q-F$ . Это парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается при $Q=21$ , при этом цена равна $29$ . Поскольку цена снижается, а количество растет, потребителям становится лучше, поэтому правительство согласится на вход фирмы.

б) Подставив $Q=21$ в функцию прибыли, получим, что максимальная прибыль равна $441-F$ . Получаем, что максимальная стоимость лицензии равна 441.

Критерии

а) (15 баллов)

5 баллов — нахождение конкурентного равновесия (для дальнейшего решения достаточно одного из компонентов — цены или объема выпуск

5 баллов — нахождение монопольного равновесия (для дальнейшего решения достаточно одного из компонентов — цены или объема выпуск

За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.

Рассуждения об изменении положения потребителей ставится 5 баллов, которые участник не получит, если допустил арифметическую ошибку, повлиявшую на результат сравнения. Сравнение может быть сделано либо через идею об изменении цены или объема выпуска (как выше), либо через сравнение излишков потребителя.

б) (10 баллов)

Если расчеты отсутствуют, но при этом написано, что максимальное значение $F$ должно быть равно значению прибыли, то ставится 1 балл. Если в этом же месте написано «максимальному значению прибыли», то ставится 2 балла.

За арифметические ошибки снимается по 1 баллу. Если решение этого пункта основано на неверных цифрах, полученных в результате арифметических ошибок в пункте а), то баллы дополнительно не снимаются.

Средний уровень

Газированный "Южный"

ВсОШ · муниципальный этап · 2015 · 10 кл.

В регионе Северный функция спроса на газированный напиток «Южный» $Q^D(P)=320-2P$ , где $Q$ и $P$ выражены в соответствующих условных единицах. Средние переменные издержки единственной компании, которая поставляет напиток «Южный» во все точки его продаж в регионе постоянны и равны 20. Кроме того, компания несёт фиксированные затраты в размере 10. Региональные власти хотели бы сократить объём потребления газированных напитков, получив при этом от компании выплаты в бюджет региона. С этой целью власти вводят налог по ставке $t$ за каждую проданную единицу продукции. Налог вводится таким образом, чтобы максимизировать выплаты в региональный бюджет. На сколько процентов при этом сократится объём потребления газированного напитка и на сколько (в %) изменится его цена?

Решение

Прибыль компании, которая при данных условиях задачи действует как монополист, имеет вид:

$П=\left(160-\dfrac{Q}{2}\right) Q -20Q-10$ , где учтено, что обратная функция спроса $P^D(Q)=160-\dfrac{Q}{2}$ , а переменные издержки компании $VC=AVC(Q)\cdot Q=20Q$ .

За правильные расчёты - 2 балла

Выражение для прибыли представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой в пространстве $(Q,П)$ направлены вниз. Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить $Q^*=140$ по цене $P^*=160-\dfrac{140}{2}=90$ .

За правильные расчёты – 2 балла

Если региональные власти вводят налог по ставке $t$ , то прибыль компании составит: $\tilde{П}=\left(160-\dfrac{Q}{2}\right) Q -20Q-10-tQ$

За правильные расчёты – 1 балл

Тогда, максимизируя прибыль, компания будет производить $\tilde{Q}=140-t$ . При этом выплаты в региональный бюджет составят $T=t\tilde{Q}=t\cdot (140-t)$ . Графически эта функция представляет собой в координатах $(t,T)$ параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому максимальный доход от налогообложения власти смогут получить, если налог составит $\tilde{t}=70$ . При таком налоге будет продано $\tilde{Q}=140-70=70$ по цене $\tilde{P}=160-\dfrac{70}{2}=125$

За правильные расчёты – 3 балла

Объём продаж напитка после введения налога сокращается вдвое, следовательно, снижается на $50 \%$ .

Цена напитка возрастает на $100\cdot \dfrac{125-90}{90} \approx 38 \%$

За правильные расчёты – 2 балла

Ответ. На $50 \%$ сокращается объём продаж и на $38 \%$ увеличивается цена напитка.

Сюрприз для «Сюрприза»

ВсОШ · региональный этап · 2013

Фирма «Сюрприз» является монополистом на рынке хороших новостей. Спрос на ее продукцию описывается уравнением $Q_d=11-P$ , где $Q$ — количество покупаемого товара, а $P$ — его цена. Средние издержки фирмы постоянны и равны 1. Для простоты будем считать, что выпуск фирмы может выражаться не только целым числом.

Государство собирается обложить фирму налогом в размере 2 д.е. с каждой проданной единицы продукции. Вам предлагается рассмотреть последствия такого налогообложения в двух случаях: (1) фирма не знает заранее (в момент принятия решения о выпуске), что налог будет введен; (2) фирма заранее об этом знает.

а) (4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма не знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.

б) (4 балла) Допустим, в момент принятия решения об уровне выпуска фирма знает о введении налога. Найдите выпуск фирмы, ее прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов, полученных государством.

в) (2 балла) Сколько фирма выиграет, если узнает заранее о введении налога? Сколько в этом случае потеряет государство?

г) (7 баллов) Докажите, что, каковы бы ни были функция спроса на продукцию фирмы и функция издержек фирмы , а также сама ставка налога, выигрыш фирмы от того, что она заранее узнает о введении налога, не может быть больше, чем соответствующие потери государства. Иными словами, покажите, что система из двух данных агентов в целом проиграет, если информация о введении налога станет заранее доступна фирме.

Решение

(а) Фирма максимизирует прибыль без учета налога:

$\pi(Q)=(11-Q)Q-Q\rightarrow\max$

Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=5$ .

Сумма сборов равна $5\cdot 2=10$ . Значит, прибыль фирмы после налогообложения равна 15.

(б) Теперь фирма учитывает налог при выборе объема выпуска:

$\pi(Q)=(11-Q)Q-Q-2Q\rightarrow\max$

Оптимум достигается в вершине параболы, $Q^{\star}=4$ .

Сумма сборов равна $4\cdot 2=8$ . Прибыль фирмы после налогообложения равна 16.

(в) Узнав о введении налога и успев подстроить выпуск, фирма смогла заработать дополнительно $16-15=1$ д.е. При этом из-за того, что фирма узнала о введении налога, государство потеряло $10-8=2$ д.е.

(г) Пусть $\pi(Q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция от ее выпуска. В ситуации, когда фирма не знает о налоге, она выбирает выпуск $Q_1$ , который максимизирует эту функцию. Тогда прибыль фирмы, если она не знает о налоге, равна $\pi(Q_1)-T_1$ , где $T_1$ — налоговые сборы государства в данной ситуации.

Обозначим за $Q_2$ выпуск, который фирма выбирает, если знает о налоге. Ее прибыль в этой ситуации равна $\pi(Q_2)-T_2$ , где $T_2$ — налоговые сборы государства, если фирма знает о налоге.

Тогда выигрыш фирмы от «знания о налоге» равен $(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)$ , а проигрыш государства равен $T_1-T_2$ .

Требуемое неравенство тогда запишется как

(\pi(Q_2)-T_2)-(\pi(Q_1)-T_1)\leq T_1-T_2,

что эквивалентно

\pi(Q_1)\geq \pi(Q_2).

Однако последнее неравенство верно, так как $\pi(Q_1)$ — это значение функции $\pi(Q)$ в точке максимума, а $\pi(Q_2)$ — это значение той же функции в какой-то точке.

Ответ. см. выше.

Олимпиадный уровень

Товар Икс

ВсОШ · муниципальный этап · 2017 · 11 кл.

На рынке товара $X$ действует монополия, издержки которой описываются функцией $TC=5Q$ , где $Q$ – объём выпуска товара $X$ . Обратная функция спроса на товар $X$ имеет вид $P=8-2Q$ , где $P$ – цена за единицу товара $X$ . В целях максимизации благосостояния общества государство решило ввести налог (или субсидию) в размере $t$ у.е. за единицу товара $X$ . Какой должна быть ставка налога (или размер субсидии), если под общественным благосостоянием $(SW)$ государство понимает сумму излишка потребителей $(CS)$ , прибыли фирмы $(\pi)$ и чистых налоговых сборов ( $T$ , за вычетом затрат на субсидию)?

Решение

Для более ясной интерпретации результата рассмотрим решение задачи в общем виде. Пусть c учётом налога:

$\begin{gathered} P_D=a-bQ \\ TC=(c+t)\cdot Q \end{gathered}$

Тогда функция прибыли имеет вид:

$\pi = Q\cdot(a-bQ)-(c+t)\cdot Q=-bQ^2+(a-c-t)\cdot Q \textbf{ (2 балла)}$

Это парабола ветвями вниз относительно Q, прибыль максимальна в вершине (1 балл за обоснование, 1 балл за правильные выпуск и цену):

$Q^*=\dfrac{a-c-t}{2b}; \quad P^*=\dfrac{a+c+t}{2}$

В условиях нашей задачи $a-c=3 \gt 0$ , значит, до введения налога оптимум не в нуле:

$\begin{array}{l} CS=\dfrac{a-P}{2}\cdot Q=\dfrac{a-c-t}{4}\cdot Q \\ \pi = TR-TC=\dfrac{a-c-t}{2}\cdot Q \\ T=t\cdot Q\end{array}$

Тогда:

$\begin{array}{l} SW=CS+\pi +T \\ SW=\dfrac{Q}{4}\cdot (3(a-c)+t)=\dfrac{1}{4}\cdot \left(-t^2-2(a-c)t+3(a-c)^2\right) \end{array}$

(По 1 баллу за каждое выражение и за суммарную функцию. Всего 4 балла. Если слагаемые не были выписаны ранее, но функция верная, то за суммарную функцию всё равно ставить 4 балла)

Это парабола ветвями вниз относительно $t$ . Оптимум в вершине, $t^*=c-a=-3$ , то есть необходимо ввести субсидию в размере 3 у.е. (1 балл за обоснование, 2 за ответ).

Ответ. надо ввести субсидию в размере 3 у.е

Монополист и обменный курс

ВсОШ · заключительный этап · 2012

Фирма Ф, расположенная на территории страны Р, является монопольным производителем товара Т в этой стране. Национальная валюта страны Р называется рубль.

Для производства продукции фирма Ф нуждается в сырье, которое она закупает за границей. Для производства одного килограмма товара Т необходимо закупить сырья на сумму 5 долларов. Остальные издержки представляют собой расходы на оплату отечественных факторов производства; эти расходы описываются уравнением $C=5q^2$ , где $q$ количество продаваемого товара (в кг), а $C$ расходы (в рублях). Обратная функция спроса на товар Т на внутреннем рынке страны Р имеет вид $p=90-5q$ . Иностранные потребители готовы купить любое количество продукции фирмы по цене, не превышающей 10 долларов за кг.

а) Обозначим за $e$ обменный курс рубля (количество рублей за один доллар). Для каждого положительного значения обменного курса $e$ определите оптимальный выпуск товара Т фирмой Ф. На графике в координатах $(e;q)$ изобразите зависимость оптимального выпуска фирмы от обменного курса рубля.

б) Предложите содержательное экономическое объяснение вида этой зависимости.

Решение

(а) В задаче фигурируют две валюты: рубли и доллары. Для того чтобы не запутаться, удобно все переменные, выраженные в денежных единицах (прибыль, издержки, цены) номинировать в одной и той же валюте. В этом решении все денежные переменные выражены в рублях.

Издержки фирмы Ф (в рублях): $TC=5L+5eq=5q^2+5eq$ .

Следовательно, предельные издержки равны: $MC=10q+5e$

Предельный доход на внутреннем рынке описывается уравнением: $MR=90-10q$ .

На внешнем рынке цена фиксирована: $P=10e$ . Поэтому предельный доход от продажи каждой дополнительной единицы товара на внешнем рынке тоже равен $10e$ .

Будем пока считать, что валютный курс меньше 9, и, следовательно, предельный доход на внешнем рынке меньше 90. В этом случае при небольших объемах продаж предельный доход на внутреннем рынке больше, чем на внешнем рынке. Поэтому сначала фирме следует продавать товар на внутреннем рыке. А затем, когда предельные доходы внешнего и внутреннего рынка сравняются, следует продавать товар на внешнем рынке. Таким образом, суммарный предельный доход от продажи товара на всех рынках будет иметь вид:

\begin{cases} 90-10q, & q<9-e \\ 10e, & q \ge 9-e \end{cases}

Предельный доход не возрастает, а предельные издержки строго возрастают, значит в точке, в которой MR(q)=MC(q) предельный доход равен предельным издержкам, прибыль максимальна.

Отсюда находим:

\begin{cases} 4,5-0,25e, & e<6 \\ 0,5e, & e \ge 6 \end{cases}

Заметим, что, если курс больше девяти, то это соотношение также верно, так как в этом случае фирме выгодно всю продукцию продавать только на внешнем рынке и, следовательно, предельный доход фирмы имеет вид $10e$ , а оптимальный выпуск равен $0{,}5e$ .

(б) Содержательно полученный результат можно интерпретировать следующим образом.

Ослабление национальной валюты вызывает два эффекта, влияющих на оптимальный выпуск фирмы:

Негативный — рост издержек фирмы (в рублевом выражении) из-за удорожания импортного сырья.

Позитивный — рост предельной выручки (в рублевом выражении) от продажи товара иностранцам.

Сначала, по мере ослабления валютного курса выпуск падает из-за того, что преобладает негативный эффект (на первом участке позитивный эффект отсутствует вообще, так как продажа осуществляется только на внутренний рынок). Однако затем преобладающим становится позитивный эффект и выпуск начинает расти.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.