Доминирование и равновесие Нэша

Решение пункта (а) — это частный случай пункта (б). Поэтому мы сперва решим пункт (б), а затем вернёмся к пункту (а). Участники Конкурса могли сперва решить пункт (а). Все расчёты мы будем производить в тысячах рублей.

б) Необходимо рассмотреть 4 ситуации в зависимости от того, какой вид рекламы делают Юля и Ваня.

• Случай I. И Юля, и Ваня делают стандартную рекламу. Тогда они оба приносят компании 20 тыс. руб. и делят фонд зарплаты пополам; каждый получает $0.5P + 0.5L$ и не несет никаких издержек.
• Случай II. Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли будет успешна. В этом случае она получит $P$, а Ваня $L$. С вероятностью $0.3$ реклама Юли провалится. Тогда Юля получит $L$, а Ваня $P$. Значит, ожидаемый выигрыш Юли с учетом издержек составляет $0.7P + 0.3L - 20$, а ожидаемый выигрыш Вани — $0.3P + 0.7L$.
• Случай III. Ваня делает креативную рекламу, Юля — стандартную. Этот случай аналогичен предыдущему. Единственное отличие заключается в том, что издержки для Вани будут составлять 30 тысяч рублей, а не 20. Значит, выигрыш составит $0.3P + 0.7L$ для Юли и $0.7P + 0.3L - 30$ для Вани.
• Случай IV. Оба делают креативную рекламу. Возможны 4 исхода: реклама и Вани, и Юли успешна (с вероятностью $0.7 \cdot 0.7 = 0.49$); успешна реклама только Вани (с вероятностью $0.7 \cdot 0.3 = 0.21$); успешна реклама только Юли (0.21); реклама обоих провальна (0.09). В первом и последнем исходе Юля и Ваня делят фонд пополам, а в остальных премию получает тот, чья реклама не провалилась. Записав выигрыши, можно увидеть, что ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани.

Теперь найдём, каким будет равновесие в зависимости от $P$ и $L$. Сначала найдём, когда равновесной будет ситуация, при которой и Ваня, и Юля делают креативную рекламу. В этом случае должна выполняться система:

$$\begin{cases} 0.5P + 0.5L - 20 \geq 0.7L + 0.3P, \\ 0.5P + 0.5L - 30 \geq 0.7L + 0.3P \end{cases}$$

Решая эту систему, получаем, что это равновесие соответствует случаю $P \geq L + 150$. В этом случае оба делают креативную рекламу.

Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает креативную рекламу, а Ваня — стандартную. Аналогично, получаем систему:

$$\begin{cases} 0.7P + 0.3L - 20 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 30 \end{cases}$$

Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. В этом случае креативную рекламу делает только Юля.

Теперь рассмотрим равновесие, в котором Юля делает стандартную рекламу, а Ваня — креативную. Требуемая система уравнений:

$$\begin{cases} 0.7P + 0.3L - 30 \geq 0.5P + 0.5L, \\ 0.7L + 0.3P \geq 0.5P + 0.5L - 20 \end{cases}$$

Решением этой системы является $L + 100 \leq P \leq L + 150$. Такая система не имеет решений. Значит, случай III невозможен в равновесии.

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда оба делают стандартную рекламу. Система в этом случае:

$$\begin{cases} 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 20, \\ 0.5P + 0.5L \geq 0.7P + 0.3L - 30 \end{cases}$$

Решая эту систему, мы получаем $P \leq L + 100$. В этом случае оба делают стандартную рекламу.

Если строго следовать условию, корректным ответом будет следующий: оба делают креативную рекламу при $P \geq L + 150$, только Юля делает креативную рекламу при $L + 100 \leq P < L + 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе.

а) $P = 50$, $L = 0$ относится к случаю $P \leq L + 100$. При таком значении параметров и Юля, и Ваня будут делать стандартную рекламу.

в) Как описано выше, оба делают креативную рекламу при $P - L \geq 150$, только Юля делает креативную рекламу при $100 \leq P - L < 150$, и никто не делает креативную рекламу иначе. Значит, если $P$ и $L$ вырастают на одну и ту же величину, ситуация не меняется — стимулы создаются благодаря разнице между премией и обычной выплатой, а не благодаря размеру премиального фонда. Увеличение $P$ в некоторых границах, равно как и уменьшение $L$, делают разрыв между премией и обычной выплатой более заметным, что увеличивает стимулы создавать креативную рекламу.

г) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим равновесие, соответствующее Случаю IV, то есть $P \geq L + 150$. В этом случае ожидаемый выигрыш составляет $0.5P + 0.5L - 20$ для Юли и $0.5P + 0.5L - 30$ для Вани. Если Ваня и Юля договорятся делать стандартную рекламу, выигрыш каждого увеличится до $0.5P + 0.5L$. Такое отклонение, впрочем, не соответствует создаваемым стимулам — в этом случае Юле будет выгодно отклониться от договорённости и создать креативную рекламу.

д) Заметим сразу, что выбор Юли и Вани зависит исключительно от разницы между $P$ и $L$, в то время как прибыль фирмы строго убывает по $L$, поскольку расходы равны $P + L$. Значит, фирме оптимально всегда назначать $L = 0$. При этом, чем меньше значение $P$, тем меньше расходы фирмы.

Тогда у фирмы есть три варианта:

1. Назначить $P \leq 100$ и стимулировать обоих сотрудников делать стандартную рекламу;
2. Назначить $100 \leq P \leq 150$, чтобы Юля делала креативную рекламу;
3. Назначить $P \geq 150$, чтобы оба делали креативную рекламу.

В первом случае лучше всего назначить $P = L = 0$ и получить прибыль в размере 40 тысяч рублей.

Во втором случае выгодно назначить $P = 100$. Тогда с вероятностью $0.7$ реклама Юли не провалится и фирма получит выручку $60 + 20 = 80$ тысяч рублей, а с вероятностью $0.3$ — $10 + 20 = 30$ тысяч рублей. Ожидаемая прибыль равна $0.7 \cdot 80 + 0.3 \cdot 30 - 100 = 56 + 9 - 100 = -35$ тыс. руб.

В третьем случае при $P = 150$: $0.49 \cdot 120 + 0.42 \cdot 70 + 0.09 \cdot 20 - 150 = 58.8 + 29.4 + 1.8 - 150 = 90 - 150 = -60$ тыс. руб.

Значит, оптимален первый случай — фирма установит $P = L = 0$ и получит прибыль в размере 40 тысяч рублей.

а) Положительное значение $\beta$ означает, что ученики не хотят отклоняться от социальной нормы, то есть получают удовольствие от социального конформизма. Иногда люди, наоборот, хотят выделяться и отклоняться от социальной нормы, например, так можно объяснить возникновение субкультур.

б) Заметим, что только первое слагаемое в полезности играет роль. Поскольку $\alpha > 0$, каждому ученику выгодно проголосовать в соответствии со своим мнением. Полезность каждого ученика составит $\alpha$, значит, общественная полезность равна $30\alpha$. 18 учеников проголосуют за очное обучение, 12 — за комбинированный формат. Исходом голосования станет очное обучение.

в) Пусть значение социальной нормы равно $c$.

Как поведёт себя ученик, для которого $v_i = c$, т.е. ученик, для которого собственное мнение совпадает с социальной нормой?

Проголосовав за социальную норму, он получит $\alpha > 0$, а проголосовав за альтернативный вариант, он получит $-\beta < 0$. Значит, такой ученик всегда голосует за социальную норму. Его полезность всегда равна $\alpha$.

Что насчёт ученика, для которого $v_i \ne c$, т.е. ученика, не согласного с социальной нормой?

Проголосовав за социальную норму, он получит $0$, а проголосовав за альтернативный вариант, он получит $\alpha - \beta$. Значит, такой ученик голосует против социальной нормы при $\alpha > \beta$ и в пользу социальной нормы при $\alpha < \beta$. Если же $\alpha = \beta$, то ему безразлично, за что голосовать.

В краткой форме, полезность такого ученика можно записать как $\max(\alpha - \beta, 0)$.

Пусть $c = 1$. 18 сторонников очного обучения проголосуют за очное обучение. Полезность каждого из них составит $\alpha$. Значит, независимо от голосования оставшихся учеников, исходом голосования будет очное обучение.

12 сторонников комбинированного формата проголосуют за комбинированный формат, если $\alpha > \beta$. Если $\alpha < \beta$, то все они проголосуют за очный формат обучения. Если $\alpha = \beta$, то каждый из них может проголосовать за любой из вариантов.

Общественная полезность составит $18\alpha + 12 \cdot \max(\alpha - \beta, 0)$.

Осталось рассмотреть случай $c = 0$. 12 сторонников комбинированного формата проголосуют за комбинированный формат. Полезность каждого из них составит $\alpha$.

18 сторонников очного формата проголосуют за очный формат, если $\alpha > \beta$. В этом случае очный формат станет исходом голосования. Если $\alpha < \beta$, то все они проголосуют за комбинированный формат, и он станет исходом. Если $\alpha = \beta$, то каждый из них может проголосовать за любой из вариантов. Исходом может стать любой из вариантов (или ничья).

Общественная полезность: $12\alpha + 18 \cdot \max(\alpha - \beta, 0)$.

г) Полезность учеников, согласных с социальной нормой ($v_i = c$), не изменилась, в то время как у учеников, не согласных с этой нормой ($v_i \ne c$), полезность снизилась. Таким образом, общественная полезность сократилась.

Так произошло, потому что ученики, не согласные с социальной нормой, вынуждены нести дополнительные потери из-за нонконформистского поведения или подстраиваться под социальную норму и голосовать в отсутствие внутреннего согласия.

Сокращение происходит при любом значении параметров $\alpha$, $\beta$, $c$ — вопрос лишь в том, какие именно ученики несут потери. Если социальная норма противоречит мнению большинства ($c = 0$), то потери более значительные.

д) На первом этапе, как и в пункте (б), 18 учеников проголосуют за очное обучение, 12 — за комбинированный формат. Новая социальная норма: $c_{\text{новое}} = 1$.

Если изначальной нормой было очное обучение, ничего не изменится. Поведение, исход и полезность останутся как в пункте (в).

Если изначальной нормой было комбинированное обучение ($c = 0$), то поведение изменится.

• 12 сторонников комбинированного формата ранее получали полезность $\alpha$, теперь — $\max(\alpha - \beta, 0)$.
• 18 сторонников очного формата ранее голосовали за очный формат при $\alpha > \beta$ (полезность — $\alpha - \beta$), теперь — $\alpha$.
• Если $\alpha < \beta$, исходом ранее был комбинированный формат, теперь — очный.
• Если $\alpha = \beta$, исход мог быть любым, теперь — очный.

Общественная полезность вырастет на $6(\alpha - \max(\alpha - \beta, 0))$.

е) Люди могут избегать честных ответов, если не уверены в тайности голосования, или стратегически искажать информацию, чтобы изменить общественное мнение (особенно при наличии множества альтернатив). Любое из подобных объяснений приносит максимальный балл за пункт.

ж) Решение пункта (д) показывает, что, давая людям понять, насколько популярны или непопулярны их идеи, можно повысить общественное благосостояние. Например, опросы общественного мнения могут влиять на результаты голосования или принятие норм — как в университетах, школах или корпоративной среде.