Кейнсианский крест и мультипликаторы

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Деньги находятся в постоянном движении между тремя субъектами: физическими лицами, организациями и органами государственной власти. Движение денег при выполнении ими своих функций в наличной и безналичной формах представляет собой денежное обращение.

Какая ситуация для экономики страны выгоднее: когда деньги постоянно обращаются, или когда владельцы основную часть дохода придерживают у себя? Приведите частный пример движения денег.

Р2

Задача Р2

По самым разным причинам люди могут принимать участие в теневой экономике. Часто они не отказываются от предложений домработниц, нянек, сантехников или строителей о выполнении работ «без чека». Тем самым эти работники хотят уклониться от уплаты налогов. Масштабы этого явления в разных странах отличаются. Предложите способы, с помощью которых можно было бы оценить масштабы теневой экономики.

Решение

Для измерения масштабов теневой экономики используются различные методы. Примеров может быть очень много :

Метод спроса на наличность. При совершении сделки в теневой экономике предпочтение отдается наличным деньгам. Для оценки сравнивают темп роста количества наличных денег с темпом роста предложения денег.
Метод производственных коэффициентов, при котором наблюдают за производством и потреблением электроэнергии, объемом перевозок грузов транспортом, для сравнения полученных данных с официальными данными динамики промышленного производства.
Методы, основанные на информации, полученной путём специальных обследований, опросов, для выявления расхождений между доходами и расходами отдельных групп налогоплательщиков. Для оценки сравнивают потребительский спрос с полученными доходами.
Использование информации о динамике продаж строительных материалов (кирпича, цемента, железобетонных конструкций, деревянных строительных материалов) для определения динамики индивидуального строительства, с последующим сравнением с официальными данными.
По показателю занятости. Данные о рабочих местах, полученные статистиками (переписи и обследования), сопоставляются с соответствующими данными юридических и налоговых органов, а также органов соцобеспечения.

*Первичные данные при этом извлекаются не из вопросников, возвращаемых предприятиями, а из данных специально организованного обследования домашних хозяйств. Домохозяйства отбираются на основании случайной выборки, и интервьюеры опрашивают членов домашних хозяйств о количестве часов, отработанных последними в той или иной отрасли. При этом учитываются любые затраты рабочего времени – на крупных и мелких предприятиях или индивидуально. Людям, которых не спрашивают о доходах, нет смысла искажать информацию об отработанном рабочем времени.

Сравнение расходов, измеренных разными способами (официальные данные и экспертные оценки). Например, в России высоки расхождения оценок потребительского спроса на рынке услуг (образование, здравоохранение, на помощь по хозяйству, уход за престарелыми, за детьми, частный извоз). Экспертные данные могут в несколько раз превышать официальные.

«Согласно данным опросов фонда «Общественное мнение» за поступление в вузы и в ходе учебы своих детей в вузах в 2005/06 учебном году россияне дали взяток на сумму 618 млн долл., или 14,5 млрд руб. При этом взятки составили, по нашим данным, около 40% всех затрат, понесенных семьями на стадии поступления детей в вузы.»

Метод товарных потоков, при котором движение стоимости от производителей до потребителей выстраивается в разрезе отдельных важнейших продуктов и товарных групп. Смысл применения данного метода состоит в построении специфической балансовой модели (например, сумма производства и импорта товара должна равняться суммарному использованию).

Р3

Задача Р3

АО «Капитал» было учреждено тремя юридическими лицами. В 2015 году АО «Капитал» получило прибыль. На выплату дивидендов было выделено 4% от общей суммы прибыли и распределено в следующей последовательности: участник No1 получил 4500 рублей, участник No2 – 3500 рублей, участник No3 – 2000 рублей. Определите, сколько составила общая сумма прибыли АО «Капитал» в 2015 году. Рассчитайте долю каждого участника в АО «Капитал». Установите, сколько получит участник No1, если общий фонд для выплаты дивидендов составит 8000 рублей.

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Кто девушку ужинает, тот её и танцует

Московская олимпиада (МОШ) · 2017 · 10–11 кл.

Главным производственным предприятием города Байкальска Иркутской области долгое время являлся печально известный Байкальский целлюлозно-бумажный комбинат. Известность этого комбината была печальна в связи с тем, что отходы от его производства попадали в Байкал, нанося серьёзный ущерб экологии этого уникального озера. Несмотря на многочисленные обращения защитников природы, окончательно остановить вредное производство удалось лишь в 2013 году. Проблема заключалась в том, что комбинат был градообразующим предприятием, то есть он кормил целый город. На момент остановки предприятия на нём трудились 2000 человек, а население города составляло 13 000 человек. Объясните, как так получается, что от одной шестой населения может зависеть благосостояние целого города?

Теория

Кейнсианский крест и мультипликаторы

Простой пример

C = 100 + 0{,}8(Y - T),\ I = 200,\ G = 300,\ T = 250,\ X_n = 0.

$Y = 100 + 0{,}8(Y - 250) + 200 + 300$ , откуда $0{,}2Y = 400$ , $Y = 2000$ .
Мультипликатор госзакупок $\dfrac{1}{1-0{,}8} = 5$ : рост $G$ на 50 даёт $+250$ .
Мультипликатор налогов $-\dfrac{0{,}8}{0{,}2} = -4$ : рост налогов на 50 даёт $-200$ .

1. Если $G$ и налоги одновременно растут на 50: $+250 - 200 = +50$ , мультипликатор сбалансированного бюджета равен 1.

Модель

Автономные величины не зависят от других переменных модели, неавтономные зависят. Если не сказано иное, всё, кроме потребления, автономно.

C = C_a + \mathit{mpc}\,(Y - T), \qquad \mathit{mps} = 1 - \mathit{mpc}.

Подставляя в тождество:

Кейнсианский крест: равновесие там, где планируемые расходы равны выпуску; рост G сдвигает расходы вверх — **Рис. 92.1:** Кейнсианский крест: равновесие там, где планируемые расходы равны выпуску; рост $G$ сдвигает расходы вверх

Мультипликатор Формула При mpc = 0,9 госзакупок, автономного потребления, инве- 1 1 mpc 10

стиций, чистого экспорта

налогов − mpc 1 −mpc −9 трансфертов mpc 1 −mpc 9 сбалансированного бюджета (аккордные на- 1 1

логи)

Механизм это бесконечно убывающая прогрессия: $1 + \mathit{mpc} + \mathit{mpc}^2 + \ldots = \dfrac{1}{1-\mathit{mpc}}$ (глава 3).

Налоги действуют слабее госзакупок: изменение налога сначала меняет располагаемый доход, и только доля $\mathit{mpc}$ доходит до расходов.

Подоходный налог и открытая экономика

При подоходном налоге $T = tY$ и импорте, растущем с доходом ( $Im = Im_{0} + mpm \cdot Y$ ):

m_G = \frac{1}{1 - \mathit{mpc}(1-t) + \mathit{mpm}}.

Пример: $\mathit{mpc} = 0{,}8$ , $t = 0{,}25$ , $\mathit{mpm} = 0{,}1$ : $m = \dfrac{1}{1 - 0{,}6 + 0{,}1} = 2$ , а без импорта было бы 2,5. Чем более открыта экономика, тем слабее фискальная политика действует на свой ВВП: часть стимула достаётся производителям других стран. На региональном этапе 2024/25 была задача «Два налога, два мультипликатора»: метод тот же, выразить $Y$ из тождества с учётом того, от чего зависят $C$ и $T$ .

Ещё пример: инвестиции зависят от дохода

Парадокс бережливости

Разбор: «Два налога, два мультипликатора» (региональный этап 2024/25)

Разбор олимпиадной задачи

Подоходный налог и налог на потребление

$C = C_{a} + \mathit{mpc} \cdot Y_{d}$ , госзакупки $G$ и инвестиции $I$ постоянны. (а) Подоходный налог со ставкой $t$ . (б) Вместо него налог $t$ с потребления прошлого периода: в начале периода домохозяйства платят $tC_{t-1}$ , затем потребляют по $C(Y_d)$ . Найдите мультипликаторы госзакупок и сравните.

Решение. (а) $Y = C_a + \mathit{mpc}(1-t)Y + I + G$ , $Y = \dfrac{C_a + I + G}{1 - \mathit{mpc}(1-t)}$ , мультипликатор $\dfrac{1}{1 - \mathit{mpc} + \mathit{mpc}t}$ .

(б) В равновесии потребление не меняется: $C = C_a + \mathit{mpc}(Y - tC)$ , откуда $C = \dfrac{C_a + \mathit{mpc}Y}{1 + \mathit{mpc}t}$ .

Подставляя в $Y = C + I + G$ : $Y (1 - \mathit{mpc} + \mathit{mpc}t) = C_{a} + (1 + \mathit{mpc}t)(I + G)$ , мультипликатор

\frac{1 + \mathit{mpc}t}{1 - \mathit{mpc} + \mathit{mpc}t}.

(в) Мультипликатор в случае (б) в $1 + \mathit{mpc}t > 1$ раз больше: налог на потребление меньше «гасит» каждый новый круг расходов.

Фискальная политика и государственный долг

Стимулирующая и сдерживающая политика

Стимулирующая: рост $G$ , трансфертов или снижение налогов, чтобы закрыть рецессионный разрыв. Сдерживающая: обратные меры против инфляционного разрыва. Встроен ные стабилизаторы: подоходный налог и пособия по безработице автоматически смягчают колебания (в спаде налоги сами падают, пособия растут).

Разбор олимпиадной задачи

«Две цели», региональный этап 2020/21, 11 класс

$C = 10 +^{2}_{3}Y_{d}$ , $I = 40$ , ставка подоходного налога 0,25, потенциальный ВВП 300.

Решение.

$Y = 10 +^{2}_{3} \cdot 0{,}75Y + 40 + G$ , откуда $Y = 100 + 2G$ .

1. Потенциальный выпуск при $G = 100$ , сбалансированный бюджет ( $0{,}25Y = G$ ) при $G = 50$ : цели противоречат друг другу.
1. Компромисс через функцию потерь $L = (Y - Y^{*})^{2} + 4s^{2}$ , где $s = 0{,}25Y - G = 25 - 0{,}5G$ . Получаем $L = 4(G - 100)^{2} + (50 - G)^{2}$ , минимум при $G = 90$ .

По критериям арифметическая ошибка стоила 1 балл, а если из-за неё ВВП оказывался меньше одной из своих составляющих, штраф был больше.

Рис. 93.1: Функция потерь «Двух целей»: компромисс между потенциальным выпуском и сбалансированным бюджетом

Встроенные стабилизаторы в цифрах

Задачи

Базовый уровень

Динамика ВВП

ВсОШ · региональный этап · 2020 · 10–11 кл.

В закрытой экономике потребители в каждом году расходуют 60% от своего располагаемого дохода, а также тратят еще 10 д.е., составляющих автономное потребление. Инвестиции, совершаемые в каждый год в данной стране, зависят от настроений инвесторов, которые в свою очередь зависят от изменения ВВП за год: $I_t=30+0{,}15\cdot\Delta Y_t$ , где $\Delta Y_t=Y_t-Y_{t-1}$ . Госзакупки постоянны и равны 60 д.е. Налогов и трансфертов нет.

а) (8 баллов) Найдите уровень ВВП в долгосрочном равновесии $Y^*$ , то есть такой, который, единожды установившись в данной экономике, закрепится и не будет меняться без внешних шоков.

б) (8 баллов) Предположим, что в 2019 году (при $t=2019$ ) экономика находилась в долгосрочном равновесии. В начале 2020 года правительство реализует стимулирующую фискальную политику и меняет ежегодную величину госзакупок на 10%. Найдите новый уровень ВВП в долгосрочном равновесии $Y^{**}$ .

в) (14 баллов) Прежде чем принять значение $Y^{**}$ , ВВП будет динамически меняться. Найдите «краткосрочное» значение ВВП, которое будет наблюдаться в 2020 году.

Решение

а) В долгосрочном равновесии $\Delta Y=0$ , то есть $I=30$ . Воспользовавшись формулой ВВП по расходам для закрытой экономики, составим уравнение:

$\begin{array}{c} Y=C+I+G \\ Y=(0{,}6Y+10)+30+60 \\ Y^*=250\end{array}$

б) Поскольку политика стимулирующая, госзакупки должны увеличиться на 10 %, то есть на 6. Составим уравнение с новым уровнем госзакупок:

$\begin{array}{c} Y=(0{,}6Y+10)+30+66 \\ Y^{**}=265\end{array}$

Этот же ответ можно получить, воспользовавшись формулой мультипликатора госрасходов (в которой тоже предполагается постоянный уровень инвестиций):

$\begin{array}{c} \Delta Y=\Delta G\cdot\dfrac{1}{1-mpc}=6\cdot\dfrac{1}{1-0{,}6}=15 \\ Y^{**}=Y^*+\Delta Y=250+15=265\end{array}$

в) Применим формулу ВВП по расходам в 2020 году без предположения о том, что ВВП стабилен:

$\begin{array}{c} Y_{20}=C_{20}+I_{20}+G_{20} \\ Y_{20}=(0{,}6Y_{20}+10)+\bigl(30+0{,}15(Y_{20}-Y_{19})\bigr)+66 \\ Y_{20}=424-0{,}6Y_{19}\end{array}$

Поскольку в 2019 году ВВП равнялся $Y^*=250$ , в 2020 году он станет равен: $Y_{20}=424-0{,}6\cdot250=274$ .

Доля государства в экономике

Авторские задачи · 2021

В общем виде модель кейнсианского креста можно записать следующим образом.

$\bullet$ $Y$ – национальный доход, он же совокупный выпуск (реальный ВВП экономики).

$\bullet$ Совокупное предложение экономики (AS от англ. aggregate supply) можно записать в виде функции $AS(Y)=Y$ .

$\bullet$ С другой стороны, совокупный спрос общества (совокупные планируемые расходы, AE от англ. aggregate expenditure) имеет вид $AE(Y)=\overline{AE}+mpe \times Y$ , где $\overline{AE}$ есть автономные (не зависящие от дохода) расходы, и $mpe$ – предельная норма к расходыванию (англ. marginal propensity to expend).

$\bullet$ Равновесный выпуск $Y^\star$ есть такое значение $Y$ , при котором выполняется равенство $AS(Y^\star)=AE(Y^\star)$ .

(Подробнее о такой записи модели можно прочитать здесь.)

(a) Найдите зависимость мультипликатора автономных расходов $mult$ от $mpe$ и постройте её график.

(b) Покажите, что в рыночной экономике с небольшой долей государства эффективность фискальной политики мала: выпуск малочувствителен к изменению госзакупок. (Мы предполагаем, что госзакупки в экономике являются полностью автономной величиной, то есть не зависят от дохода: $G=\bar{G}$ .)

(c) Пусть нам известно, что если $mpe$ вырастет на $1\%$ , то величина мультипликатора увеличится примерно на $1,5\%$ . Пусть нам также известно, что если госзакупки вырастут на $1\%$ , то ВВП увеличится примерно на $0,5\%$ . Найдите долю государства в экономике.

Решение

(a) Преобразовывая равенство $Y^{\star}=\overline{AE}+mpe \times Y^{\star}$ , получаем, что равновесный выпуск равен $Y^{\star}=\frac{1}{1-mpe}\times \overline{AE}=mult \times \overline{AE}$ . Соответственно, мультипликатор автономных расходов есть $mult=\frac{1}{1-mpe}$ .

(b) Госзакупки $\bar{G}$ входят в автономные планируемые расходы $\overline{AE}$ . Эластичность (чувствительность) выпуска по госзакупкам равна $\varepsilon_{Y^{\star}}^{\bar{G}}=(Y^{\star})_{\bar{G}}^{'}\times\frac{\bar{G}}{Y^{\star}}=(Y^{\star})_{\overline{AE}}^{'}\times\frac{\bar{G}}{Y^{\star}}=mult \times\frac{\bar{G}}{Y^{\star}},$ где $\frac{\bar{G}}{Y^{\star}}$ и есть доля государства в экономике. Чем меньше эта доля, тем ниже эластичность $\varepsilon_{Y^{\star}}^{\bar{G}}$ .

(c) Эластичность мультипликатора по $mpe$ равна $\varepsilon_{mult}^{mpe}=(mult)_{mpe}^{'}\times\frac{mpe}{mult}=\frac{mpe}{1-mpe}=mult-1=1,5$ , следовательно, $mult=2,5$ . Поскольку $\varepsilon_{Y^{\star}}^{\bar{G}}=mult \times\frac{\bar{G}}{Y^{\star}}=2,5\times \frac{\bar{G}}{Y^{\star}}=0,5$ , то доля государства в экономике $\frac{\bar{G}}{Y^{\star}}$ равна $\frac{1}{5}$ .

Средний уровень

Просто страна А

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 11 кл.

В закрытой экономике страны А предельная склонность к потреблению равна $0.6$ , а инвестиции и государственные закупки постоянны и равны $100$ и $200$ , соответственно. Единственный доход государства – это аккордный налог, которым оно облагает потребителей, при этом государственный бюджет сбалансирован. Автономное потребление и трансферты в данной экономике равны нулю.

а) ( $5$ баллов) Найдите ВВП страны А.

б) ( $10$ баллов) Если известно, что потенциальный ВВП равен $500$ , коэффициент Оукена равен $2$ , а естественный уровень безработицы равен $5\%$ , то чему равен фактический уровень безработицы?

в) ( $15$ баллов) Правительство решает изменить государственные закупки, не поднимая налоги, чтобы уменьшить уровень циклической безработицы. При этом, оно не хочет разгонять инфляцию в стране, так что оно минимизирует сумму квадратов циклической безработицы и инфляции. Поскольку правительство все еще хочет иметь сбалансированный бюджет, оно занимает деньги у ЦБ (то есть ЦБ изменяет денежную базу). Известно, что банки страны А не держат избыточных резервов, жители не пользуются наличными деньгами, а совокупный спрос задаётся уравнением количественной теории денег. Если ставка обязательных резервов равна $rr$ , скорость обращения денег равна $1$ , а денежная база была изначально равна $180$ , то чему будут равны инфляция и уровень фактической безработицы после изменений? Чему будет равен дефицит государственного бюджета после проведения политики правительства? Проинтерпретируйте полученные результаты.

Решение

а) Известно, что потребители облагаются аккордным налогом $T$ , значит располагаемый доход составляет $Y - T$ , а тогда потребление $C = mpc (Y - T)$ , т.к. автономное потребление и трансферты равны нулю.

Также нам дано, что государственный бюджет сбалансирован, а значит в отсутствие трансфертов $G = T = 200$ .

Теперь воспользуемся формулой ВВП по расходам:

Y = C + G + I = mpc(Y - T) + G + I

Y = \dfrac{-mpc \cdot T + G + I}{1 - mpc} = \dfrac{-0,6 \cdot 200 + 200 + 100}{0,4} = 450

б) Воспользуемся формулой Оукена:

\dfrac{Y - Y^*}{Y^*} = -\beta (u - u^*),

где $Y$ – фактический ВВП, $Y^*$ – потенциальный ВВП, $\beta$ – коэффициент Оукена, $u$ – фактическая безработица и $u^*$ – естественная безработица.

Подставим в формулу имеющиеся у нас значения:

\dfrac{450 - 500}{500} = -2(u - 0,05)

u = 0,1

в) В соответствие с формулой Оукена, для того, чтобы снизить уровень циклической безработицы, необходимо увеличить фактический ВВП. Поскольку инвестиции постоянны, а правительство решает не изменять налоги, то ВВП может увеличиться только за счет увеличения государственных закупок. Выдавая кредит правительству, Центральный банк увеличивает денежную базу ровно на величину кредита.

Банки страны А не держат избыточных резервов, а значит норма избыточных резервов ( $er$ ) равна $0$ . Жители не пользуются наличными деньгами, что означает, что норма депонирования ( $cr$ ) также равна $0$ .

Таким образом, $G_1 = 200 + K, ~~ H_1 = 180 + K$ .

Для начала найдем уровень цен до проведения политики правительства. Используем для этого денежный мультипликатор, который равен $mm = \dfrac{1 + cr}{rr + er + cr} = \dfrac{1}{rr}$ .

Кроме того, $mm = \dfrac{M}{H} \Rightarrow M_0 = \dfrac{180}{rr}$ .

Известно, что совокупный спрос задается уравнением количественной теории денег, поэтому $Mv = PY$ , а с учетом того, что скорость обращения денег равна $1$ , имеем $P = \dfrac{M}{Y}$ .

Можем найти уровень цен до проведения политики правительства:

P_0 = \dfrac{180}{450rr} = \dfrac{0,4}{rr}

Теперь найдем ВВП после проведения политики правительства. Воспользуемся формулой из пункта 1:

Y_1 = \dfrac{-mpc \cdot T + G_1 + I}{1 - mpc} = \dfrac{-0,6 \cdot 200 + 200 + K + 100}{0,4} = \dfrac{180 + K}{0,4}

Найдем новую денежную массу с помощью денежного мультипликатора:

mm = \dfrac{M_1}{H_1} = \dfrac{1}{rr} \Rightarrow M_1 = \dfrac{180 + K}{rr}

Вернемся к уравнению количественной теории денег и найдем новый уровень цен:

P_1 = \dfrac{M_1}{Y_1} = \dfrac{(180 + K)\cdot 0,4}{rr(180 + K)} = \dfrac{0,4}{rr}

Видно, что $P_1 = P_0$ , а значит инфляция равна $0$ .

Поскольку правительство минимизирует сумму квадратов уровня циклической безработицы и инфляции, а инфляция равна $0$ , имеем $u_c^2 \rightarrow min$ , откуда получаем, что оптимальный уровень циклической безработицы равен $0$ . Тогда уровень фактической безработицы просто равен уровню естественной безработицы $u = u^* = 0,05$ .

В соответствие с законом Оукена, если циклическая безработица равна $0$ , то фактический ВВП равен потенциальному, а значит $Y_1 = Y^* = 500$ .

Теперь можем найти дефицит государственного бюджета.

Y_1 = \dfrac{180 + K}{0,4} = 500 \Rightarrow K = 20 \Rightarrow G - T = 20

Получили, что в данной экономике правительство может стимулировать выпуск без увеличения уровня цен, т.е. без инфляции. Это означает, что правительство проводит стимулирующую фискальную политику так, чтобы выпуск стал равен потенциальному.

Эффект перелива

Московская олимпиада (МОШ) · 2020 · 10–11 кл.

Две страны $–$ $A$ и $B$ $–$ имеют общую валюту и ведут международную торговлю исключительно друг с другом. Частный сектор в странах идентичен: и в стране $A$ , и в стране $B$ потребители расходуют ровно половину своего дохода и сверху этого ещё $10$ д.е., составляющих автономное потребление; инвестиции в каждой из стран равны $50$ д.е. Государственные закупки в странах составляют соответственно $G_{A}$ и $G_{B}$ д.е.; в целях упрощения предположим, что налоги и трансферты отсутствуют. Известно, что страна $A$ тратит на импортную продукцию (т.е. на товары, завезённые из $B$ ) $20\%$ от своего дохода, тогда как страна $B$ тратит на импортную продукцию (т.е. на товары, завезённые из $A$ ) $10\%$ от своего дохода.

(а) Очевидно, что в данной модели, в отличие от стандартной, ВВП в каждой стране будет реагировать не только на изменение национальных госзакупок, но и на изменение иностранных. Найдите мультипликаторы, показывающие реакцию:

$–$ выпуска страны $A$ на изменение госзакупок в стране $A$ ;

$–$ выпуска страны $A$ на изменение госзакупок в стране $B$ ;

$–$ выпуска страны $B$ на изменение госзакупок в стране $B$ ;

$–$ выпуска страны $B$ на изменение госзакупок в стране $A$ .

(б) Пусть госзакупки в странах $A$ и $B$ равны $40$ и $60$ д.е. соответственно. Подсчитайте ВВП и сальдо торгового баланса каждой из стран.

(в) Правительство страны $A$ желает поддержать национальных производителей, для чего решило квотировать импорт: отныне в страну $A$ можно завезти товаров на сумму не более $30$ д.е. (естественно, условие о том, что страна $A$ тратит на импорт $20\%$ своего дохода, теперь выполняться не обязано). Чему будут равны выпуски каждой из стран в новом равновесии?

(г) Если вы правильно решили пункты (б) и (в), вы получили, что ВВП страны $A$ вырастет, а ВВП страны $B$ снизится. Однако на самом деле в реальном мире вовлечённость страны в международную торговлю и ВВП на душу населения связаны положительно. Дайте краткий комментарий, почему эта связь положительна, приведя два аргумента.

(д) Увидев сокращение выпуска, вызванное протекционистскими мерами страны $A$ , правительство страны $B$ принимает решение увеличить госзакупки, чтобы вернуть экономику к исходному выпуску, найденному в пункте (б). На какую величину следует изменить госзакупки?

Решение

а) Запишем уравнения ВВП по расходам для каждой страны:

Y_{A} = C_{A} + I_{A} + G_{A} + Ex_{A} - Im_{A} = 10 + 0,5Y_{A} + 50 + G_{A} + 0,1Y_{B} - 0,2Y_{A}

Y_{B} = C_{B} + I_{B} + G_{B} + Ex_{B} - Im_{B} = 10 + 0,5Y_{B} + 50 + G_{B} + 0,2Y_{A} - 0,1Y_{B}

Преобразовав уравнения, получим систему:

\begin{cases} 0,7Y_{A} = 60 + G_{A} + 0,1Y_{B} \\ 0,6Y_{B} = 60 + G_{B} + 0,2Y_{A} \end{cases}

Решим систему относительно выпусков, считая госзакупки параметрами. В таком случае эта линейная система с двумя уравнениями и двумя неизвестными. Выразив $Y_{B}$ из первого уравнения и подставив во второе, получим

6(0,7Y_{A} - 60 - G_{A}) = 60 + G_{B} + 0,2Y_{A} \qquad 4,2Y_{A} - 360 - 6G_{A} = 60 + G_{B} + 0,2Y_{A}

4Y_{A} = 420 + 6G_{A} + G_{B} \qquad Y_{A} = 105 + 1,5G_{A} + 0,25G_{B}

Подставив это, например, в первое уравнение, найдем $Y_{B}$ :

Y_{B} = 10(0,7Y_{A} - 60 - G_{A}) = 7Y_{A} - 600 - 10G_{A} = \\ = 7(105 + 1,5G_{A} + 0,25G_{B}) - 600 - 10G_{A} = \\ = 735 + 10,5G_{A} + 1,75G_{B} - 600 - 10G_{A} = 135 + 1,75G_{B} + 0,5G_{A}

Итак, $Y_{A} = 105 + 1,5G_{A} + 0,25G_{B}$ и $Y_{B} = 135 + 1,75G_{B} + 0,5G_{A}$ , значит,

\frac{\Delta Y_{A}}{\Delta G_{A}} = 1,5 \quad \frac{\Delta Y_{A}}{\Delta G_{B}} = 0,25 \quad \frac{\Delta Y_{B}}{\Delta G_{B}} = 1,75 \quad \frac{\Delta Y_{B}}{\Delta G_{A}} = 0,5

б) Если $G_{A} = 40$ и $G_{B} = 60$ , то

Y_{A} = 105 + 1,5 \cdot 40 + 0,25 \cdot 60 = 180

Y_{B} = 135 + 1,75 \cdot 60 + 0,5 \cdot 40 = 260

NX_{A} = 0,1Y_{B} - 0,2Y_{A} = 0,1 \cdot 260 - 0,2 \cdot 180 = -10

NX_{B} = 0,2Y_{A} - 0,1Y_{B} = -NX_{A} = 10

в) В пункте (б) можем видеть, что без вмешательства страна $A$ импортировала на сумму $36$ д.е., что больше $30$ , а значит, ограничение будет связывающим: в новом равновесии импорт страны $A$ составит в точности $30$ д.е. Импорт страны $A$ $–$ это экспорт страны $B$ , который, стало быть, будет равен $30$ д.е., тогда для страны $B$ можем составить уравнение с одной переменной $-$ $Y_{B}$ :

Y_{B} = C_{B} + I_{B} + G_{B} + Ex_{B} - Im_{B} = 10 + 0,5Y_{B} + 50 + 60 + 30 - 0,1Y_{B} = 150 + 0,4Y_{B}

Отсюда получаем $Y_{B} = 250$ . Значит, $Ex_{A} = 0,1$ , $Y_{B} = 25$ . Вспомним, что $Im_{A} = Ex_{B} = 30$ :

Y_{A} = C_{A} + I_{A} + G_{A} + Ex_{A} - Im_{A} = 10 + 0,5Y_{A} + 50 + 40 + 25 - 30 = 95 + 0,5Y_{A}

Отсюда получаем $Y_{A} = 190$ .

г) Действительно, $\Delta Y_{A} = 10 > 0$ и $\Delta Y_{B} = -10 < 0$

д) Заметим, что пользоваться мультипликатором из пункта (а) больше нельзя, так как при зафиксированном импорте страны $A$ предельная склонность к импортированию у страны $A$ фактически стала равна нулю. Уравнение ВВП страны $B$ примет вид

Y_{B} = C_{B} + I_{B} + G_{B} + Ex_{B} - Im_{B} = 10 + 0,5Y_{B} + 50 + G_{B} + 30 - 0,1Y_{B} = 90 + G_{B} + 0,4Y_{B}

Цель правительства $-$ $Y_{B} = 260$ , тогда

0,6Y_{B} = 90 + G_{B} = 0,6 \cdot 260 = 156 \quad G_{B} = 66 \quad \Delta G_{B} = 6

Олимпиадный уровень

Денег нет, но вы держитесь!

ВсОШ · региональный этап · 2017 · 10–11 кл.

В закрытой экономике частное потребление равно $C = 50 + (2/3)Y_d$ млрд р., где $Y_d$ – располагаемый доход. Инвестиции постоянны и равны $50$ млрд р. Доходы государственного бюджета состоят только от поступлений от подоходного налога, взимаемого с населения по ставке $t$ за каждый заработанный рубль. Расходы бюджета –– государственные закупки, определяемые правительством. В 2016 году из-за кризиса бюджет страны имел дефицит, поэтому председатель правительства сделал заявление о бюджете на следующий год:

Денег нет, но вы держитесь! В 2017 году наш бюджет будет сбалансирован. Чтобы достичь баланса, мы либо поднимем ставку подоходного налога в 2,5 раза, либо урежем госзакупки втрое. Всего доброго, хорошего настроения и здоровья!

а) *(10 баллов)*Какую меру из предложенных двух должно выбрать правительство, если оно хочет, чтобы сокращение реального ВВП в 2017 году было меньше?

б) *(20 баллов)*На какую величину в результате сократится реальный ВВП?

Решение

а) Способ 1. Пусть $t$ –– ставка налога в 2016 году, $G$ –– объем госзакупок, а $Y_1$ и $Y_2$ –– значения ВВП при выборе первой и второй меры соответственно. Для сбалансированности бюджета в 2017 году нужно, чтобы доходы бюджета были равны расходам. В первом варианте это будет означать $2,5t \cdot Y_1 = G$ , а во втором – $t \cdot Y_2 = G/3$ .

Отсюда получаем $Y_1 = \frac{G}{2,5t}, Y_2 = \frac{G}{3t}$

Отсюда ясно, что первая мера снижает ВВП не так сильно, как вторая.

Способ 2. Можно найти изменения ВВП при применении обеих мер непосредственно, а затем сравнить их. В первом случае новый ВВП должен получиться равным $400$ , а во втором – равным $1000/3$ (решение приведено в пункте 2). Таким образом, участник может просто решить пункт 2, а выводы пункта 1 будут следовать из него автоматически.

б) Обозначим за $Y_0$ объем ВВП в 2016 году. Тогда выполнена система уравнений

\begin{gathered} Y_0 = 50 + \frac{2}{3}(Y_0 − tY_0) + 50 + G \\ Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − 2,5tY_1) + 50 + G \\ Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − tY_2) + 50 + G/3 \\ 2,5t \cdot Y_1 = G \\ t \cdot Y_2 = G/3. \end{gathered}

Первые три уравнения представляют собой формулу ВВП по расходам ( $Y = C + I + G + X_n)$ , записанную для 2016 года и для двух вариантов развития событий в 2017 году. Остальные два уравнения являются условиями сбалансированности бюджета для двух рассматриваемых политик.

Решать эту систему можно, например, так

Подставляя $2,5tY_1$ из четвертого уравнения во второе, получаем $Y_1 = 50 + \frac{2}{3}(Y_1 − G) + 50 + G$ , откуда $Y_1 = 300 + G$ . Подставляя $tY_2$ из пятого уравнения в третье, получаем, что $Y_2 = 50 + \frac{2}{3}(Y_2 − G/3) + 50 + G/3$ , откуда $Y_2 = 300 + G/3$ .
Деля четвертое уравнение на пятое (это можно делать,поскольку налог и госзакупки по условию существуют), получаем $Y_1/Y_2 = 6/5$ , и значит, $5(300 + G) = 6(300 + G/3)$ , откуда $G = 100$ . Значит, $Y_1 = 400$ . Из четвертого уравнения получаем, что $t = 10 \%$ .
Наконец, найдем ВВП в 2016 году из первого уравнения. Подставляя найденные значения ставки налога и госзакупок, получаем, что

Y_0 = 50 + \frac{2}{3} \cdot 0,9Y_0 + 50 + 100

откуда $Y_0 = 200/0,4 = 200 \cdot 2,5 = 500$ .

Значит, сокращение ВВП при повышении ставки налога составит $Y_0 − Y_1 = 500 − 400 = 100$ .

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.