Монопсония, минимальная зарплата и профсоюзы

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

10 бедных студентов хотят бесплатно проехать на метро. Для этого им нужно прыгнуть через турникет. У турникета стоит охранник, который может поймать ровно одного студента. Больше всего студенты хотят проехать бесплатно, на втором месте по предпочтительности — заплатить, меньше всего они любят, когда их ловят. Студент откажется прыгать, только если он будет уверен, что его поймают. Охранник умеет различать студентов. Студенты прыгают одновременно.

Охранник может объявить студентам правило, по которому он будет их ловить. Что он должен сказать, чтобы все студенты купили билет?

Р2

Задача Р2

На рынке сигарет конкурируют два производителя. Может ли прибыль каждого из них вырасти, если будет введён запрет на рекламу сигарет? (Постройте таблицу игры, где каждая фирма выбирает из двух стратегий — рекламировать или не рекламировать, задав подходящим образом прибыли фирм в каждом из четырёх исходов. Найдите равновесный исход. Является ли он эффективным?)

Решение

$\pi_i = TR_i - TC_{i\text{ на рекламу}}$

Общий спрос на сигареты, равный 4 единицам, делится между фирмами в зависимости от рекламы. $TC_i = \begin{cases} 1\text{, если рекламирую} \\ 0\text{, если не рекламирую} \end{cases}$

Фирма 1 Фирма 2	рекламировать	не рекламировать
рекламировать	$^\lor \frac{4}{2} - 1 ; \frac{4}{2} - 1^\lor$	$^\lor \frac{4}{1} - 1 ; 0 - 0$
не рекламировать	$0 - 0 ; \frac{4}{1} - 1^\lor$	$\frac{4}{2} - 0 ; \frac{4}{2} - 0$

Значит, равновесие Нэша: (рекламировать; рекламировать)

Этот исход неэффективен: Парето-улучшение к нему — (не рекламировать; не рекламировать).

Если запретить рекламу, то исход (не рекламировать, не рекламировать) станет равновесным.

Р3

Задача Р3

На организацию производства мелких мягких игрушек (аренду помещения и оборудования, оплату лицензии, и прочие постоянные издержки) фирма «Тедди» потратила 200000 рублей. Ожидается, что производство единицы продукции (одной мягкой игрушки) в переменных издержках обойдется фирме в 100 рублей.

Какую прибыль получит фирма, если рассчитывает выпускать в месяц 1000 игрушек, а рыночная цена 400 рублей за одну игрушку?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Монопсония на рынке труда

ВсОШ · муниципальный этап · 2015 · 11 кл.

Фирма «Альфа» функционирует в регионе М и производит товар Игрек. При этом «Альфа» является единственным агентом на рынке труда, который предъявляет спрос на трудовые ресурсы, производящие товар Игрек. Предельный доход продукта труда компании имеет вид $MRP^A_L(L)=120-\dfrac{L}{7}$ . Предложение трудовых ресурсов в регионе М, которые могут быть заняты в производстве товара Игрек: $L^S(w)=6w-120$ , где $w$ – заработная плата в тыс. руб.

Каковы заработная плата, численность занятых и уровень безработицы в регионе?

Теория

Монопсония

Модель

Условие оптимума монопсониста: предельная полезность (или предельная выручка от фактора) равна предельным расходам на покупку, которые выше цены: купив ещё единицу, он повышает цену для всех.

У монопсониста нет кривой спроса: он выбирает точку на кривой предложения. Самый важный пример монопсонии это рынок труда с единственным работодателем, он разобран в части о рынках факторов.

Монопсония на рынке сырья

Монопсония на графике

**Рис. 54.1:** Молокозавод-монопсонист: покупает 20 по цене 30, где предельные расходы равны ценности 50; конкурентный рынок купил бы 40

Минимальная закупочная цена

Пример

Государство защищает фермеров

Молокозавод-монопсонист ценит литр в 50, предложение фермеров $P = 10 + Q$ ; без вмешательства он покупает 20 по 30. Государство запрещает закупать дешевле 40.

Решение. До 30 литров (при цене 40 фермеры предлагают ровно 30) предельные расходы завода равны 40, меньше ценности 50, поэтому он покупает 30 по 40. Закупки выросли с 20 до 30, а цена с 30 до 40. Это то же явление, что минимальная зарплата при монопсонии (глава 67).

Монопсония на рынке труда, минимальная зарплата и профсоюзы

Предельные расходы на труд

Если монопсонист нанимает по кривой предложения $w(L)$ , его расходы $w(L) \cdot L$ , и

\mathit{MC}_L = w(L) + L\, w'(L) > w(L).

Для $w = L$ : расходы $L^{2}$ , $\mathit{MC}$ L $= 2L$ .

Оптимум монопсониста

Пример

Монопсонист на двух рынках

Спрос на товар $P = 100 - Q$ , $Q = L$ , предложение труда $L_{s} = w$ . Фирма монополист на рынке товара и монопсонист на рынке труда.

Решение. $\Pi = (100 - L)L - L^{2}$ , парабола ветвями вниз, $L = 25$ , $w = 25$ (ставка с кривой предложения). Если бы фирма не влияла на ставку, её спрос на труд $100 - 2L = w$ , а

Рис. 67.1: Монопсонист нанимает там, где $\mathit{MRP}$ L $= \mathit{MC}$ L (точка K), ставку берёт с кривой предложения (M); минимальная зарплата 30 увеличивает занятость до 30 (W)

Минимальная зарплата при монопсонии

Минимальная ставка делает предложение труда для фирмы горизонтальным до точки, где она пересекает исходное предложение: на этом участке $\mathit{MC}$ L $= w_{min}$ . Поэтому:

если $w_{\min}$ между ставкой монопсониста и конкурентной ставкой, растут и занятость, и зарплата (в примере при $w_{\min} = 30$ фирма нанимает 30 человек);
если $w_{\min}$ равна конкурентной ставке, результат как при конкуренции;
если выше, занятость падает, возникает безработица.

Это зеркальное отражение потолка цены для монополиста.

Профсоюзы

Профсоюз действует как монополист на стороне продавцов труда: может добиваться ставки выше равновесной (как минимальная зарплата, только для своих членов) или ограничивать число работающих. На конкурентном рынке труда это повышает зарплату членов профсоюза ценой снижения занятости. Против монопсониста профсоюз может, наоборот, увеличить и зарплату, и занятость: получается двусторонняя монополия, где итог зависит от переговорной силы сторон.

Профсоюз против монопсонии

Задачи

Базовый уровень

Приватизация фабрики «Нить»

Высшая проба · 2014 · 11 кл.

Ткацкая фабрика «Нить» являющаяся единственным предприятием в регионе, нанимает на работу женщин. До приватизации деятельность фабрики финансировалась региональными властями, что позволяло выплачивать всем женщинам, работающим на фабрике, ежемесячную заработную плату в размере 5 тыс. рублей. При этом все женщины, желающие работать на таких условиях, обеспечены работой на фабрике. Исследования предложения труда в регионе показали, что издержки фабрики на одного занятого (в тыс. рублей) при выплате заработной платы женщинам трудоспособного возраста зависит от количества нанятых и составляют 0,5L+1, где L - количество нанятых женщин (в сотнях). Продукция фабрики продавалась на конкурентном рынке по цене 1 тыс. рублей за 1 тыс. километров нити, а объём производимой продукции зависит от количества занятых в его производстве женщин следующим образом $y(L) = 10L – 0,25L^2$ для $L \le 40$ , где y - ежемесячный объем продукции в тыс. км, а L - количество нанятых женщин (в сотнях).

Определите, на сколько (в %) изменится заработная плата и количество женщин, занятых в производстве на фабрике, после приватизации предприятия, если государственное финансирование будет отменено, а приватизационный процесс не изменит технологию производства и предложение трудовых ресурсов в регионе.

Решение

Издержки фабрики на одного нанятого, есть зарплата женщин на фабрике, т.е. $w=0,5L+1$ , что есть обратная функция предложения труда женщин в регионе.

При зарплате 5 тыс. рублей наняты будут все желающие работать женщины. Их численность можно узнать, подставив значение заработной платы в функцию предложения труда, т.е., $L= 2w − 1 = 8$ . То есть, при поддержке региональных властей на фабрике было занято 8 сотен женщин.

В отсутствии финансирования фабрика Нить (монопсонист) решает следующую задачу максимизации своей прибыли:

$П =py(L)-w(L)*L \rightarrow max$ , выбирая численность нанятых.

Подставляя данные, имеем:

$10L-0,25L^2-(0,5L+1)*L \rightarrow max$

График целевой функции является параболой, ветви которой направлены вниз, что гарантирует максимум в точке: $L^*= 6$ (сотен женщин).

Следовательно, монопсонист установит заработную плату на уровне

$L = 0,5 ∗ 6 + 1 = 4$ (тыс. рублей)

Откуда получаем, что заработная плата сократится на $\frac{5-4}{5}∗ 100\% = 20\%$ , а

количество занятых в производстве женщин сократится на $\frac{8-6}{8}∗ 100\% = 25\%$

Наследие Мормонтов

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2021 · 10–11 кл.

Где-то в землях Вестероса находится небольшой городок Кархолд, принадлежащий королевству Севера. Несмотря на инфраструктурные проблемы, он развивался достаточно динамично, и местное население жило в достатке. Многое начало меняться с появлением в городе крупного металлургического комбината «Наследие Мормонтов», ставшего за короткое время монопсонистом. Высокая прибыльность предприятия по какой-то причине не сильно отражалась на уровне и качестве жизни населения, что впоследствии привело к усилению социальной напряженности и миграционных настроений в обществе.

О недовольстве жителей Кархолда узнал король Севера и обратился к своим советникам за помощью в разрешении сложившейся ситуации. Так уж получилось, что именно на вас легла вся ответственность… Проанализируйте предложенную ситуацию и выполните следующие задания:

а) Предложите три (3) направления государственного регулирования монопсонии на рынке труда в городе Кархолде, которые бы могли помочь улучшить уровень и качество жизни местного населения (будут учитываться только первые три из приведенных направлений). Для этого используйте известные вам знания об экономике.

б) Предложите два (2) непротиворечащих закону варианта по преодолению возникшего дефицита кадров на предприятии «Наследие Мормонтов» без сокращения выработки, которыми бы мог воспользоваться его генеральный директор в условиях монопсонии на рынке труда (будут учитываться только первые два приведенные варианта).

Решение

а) Для первого вопроса правильными будут считаться ответы, в которых развернуто говорится:

$-$ о повышении минимального размера оплаты труда;

$-$ о повышении межотраслевой и территориальной мобильности трудовых ресурсов;

$-$ о повышении роли профсоюзов (формирование двусторонней монополии) и социальной ответственности бизнеса;

$-$ о диверсификации экономики (от развития малого бизнеса до инвестиций в строительство новых предприятий);

$-$ о совершенствовании антимонопольного законодательства / правовой культуры в сфере трудовых отношений и т.д. (12 баллов, за каждый развернутый тезис по 4 балла)

б) Правильными ответами для второго вопроса будут считаться такие, в основе которых будут заложены следующие тезисы:

$-$ привлечение рабочей силы из числа мигрантов (без упоминания мигрантов ответ не засчитывается, поскольку в сложившихся условиях безработных в самом городе крайне мало);

$-$ модернизация материально-технической базы предприятия;

$-$ повышение производительности труда путем развития системы стимулирования работников;

$-$ реализация инфраструктурных проектов / благотворительность / формирование благоприятного имиджа компании и другие меры, направленные на повышение привлекательности города и т.д. (8 баллов, за каждый развернутый тезис по 4 балла)

Средний уровень

Трудовое законодательство

ВсОШ · региональный этап · 2019 · 10–11 кл.

Градообразующее предприятие является монополистом на внутреннем рынке товара $X$ , а также монопсонистом на рынке труда специалистов по его производству. Производственная функция имеет вид $Q=L/2$ , где $L$ — число нанятых работников. Предложение труда работников задается функцией $w=3+L/4$ , где $w$ — зарплата. Спрос потребителей на товар $X$ зависит от фазы экономического цикла. Он задается функцией $Q=90-P$ во время экономического подъема; во время спада спрос меньше в 5 раз при каждой цене. Монополист планирует свою деятельность на следующие два года: считая, что в ближайший год будет подъем, а в следующий — спад, он определяет оптимальные цены и количество нанятых работников в каждом периоде.

а) (12 баллов) Сколько работников наймет фирма в каждом периоде?

б) (16 баллов) Государство изменило трудовое законодательство, чтобы защитить работников в кризис: монополисту разрешено увольнять не более 50% работников после окончания первого года. Об этом правиле стало известно заранее, еще до начала первого года. Сколько работников наймет фирма в каждом из периодов?

в) (2 балла) Допустим, благосостояние работников положительно зависит от суммы количеств работающих в первом и втором периоде. Вырастет ли благосостояние работников в результате изменения трудового законодательства, призванного защитить их?

Решение

а) Во время спада функция спроса будет иметь вид $Q = (90 − P )/5 = 18 − P/5$ . Обратная функция спроса будет иметь вид $P = 90 − 5Q$ . Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема ( $L_1$ ) и спада ( $L_2$ ):

\pi (L_1,L_2) = TR_1 + TR_2 − w(L_1)\cdot L_1 − w(L_2)\cdot L_2 = (90 − Q_1)\cdot Q_1 + (90 − 5Q_2)\cdot Q_2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 =

= (90 − L_1/2)\cdot L_1/2 + (90 − 5L_2/2)\cdot L_2/2 − (3 + L_1/4)\cdot L_1 − (3 + L_2/4)\cdot L_2 = (42L_1 − L_1^2/2) + (42L_2 − 3L_2^2/2).

Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда $L_1^* = \frac{42}{2/2} = 42$ , $L_2^* = \frac{42}{2\cdot 3/2} = 14$ .

Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий $MRP_L = MC_L$ для каждого периода:

Первый период:

$MR = 90 − 2Q = 90 − L$

$MP_L = 1/2$

$MRP_L =MR\cdot MP_L = (90 − L)\cdot 1/2$

$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$

$MC_L = 3 + L/2$

$MRP_L = MC_L$

$(90 − L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$

$L = 42$

Второй период:

$MR = 90 − 10Q = 90 − 5L$

$MP_L = 1/2$

$MRP_L = MR\cdot MP_L = (90 − 5L)\cdot 1/2$

$TC(L) = (3 + L/4)\cdot L$

$MC_L = 3 + L/2$

$MRP_L = MC_L$

$(90 − 5L)\cdot 1/2 = 3 + L/2$

$L = 14$

Функции $MRP_L$ убывают, а $MC_L$ возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.

Еще один способ – взять производную функции прибыли по обеим переменным: $\pi _{L_1}′ = 42 − L_1 = 0$ , откуда $L_1^* = 42$ ; $\pi _{L_1}′ = 42 − 3L_2 = 0$ , откуда $L_2^* = 14$ . Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная (−1) в период подъема и (−3) в период спада, отрицательна).

Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по $Q$ , $P$ или $w$ . В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.

б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции $\pi (L_1,L_2)$ , которую мы нашли выше, но при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$ .

Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка (42, 14) этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума (42, 14), максимум этой функции при ограничении $L_2 \geq 0,5L_1$ достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство. При этом условии

\pi(L_1, L_2) = \pi(L_1, 0,5L_1) = 42L_1 − L_1^2/2 + 42L_1/2 − 3(L_1/2)^2/2 = 63L_1 − 7L_1^2/8.

Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является $L_1^* = \frac{63}{7/4} = 36$ . Тогда $L_2^* = 0,5L_1 = 18$ .

Максимум снова можно найти с помощью производной. $\pi ′ = 63 − 7L_1/4 = 0$ , откуда $L_1 = 36$ . Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (−7/4) отрицательна).

Также можно было выписать прибыль как функцию от $L_2$ .

в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна 42 + 14 = 56, а в пункте б) 36 + 18 = 54 < 56. Таким образом, благосостояние работников упало.

Вполне прозрачная экономика

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 9 кл.

Рассмотрим экономику, которая состоит из двух секторов – промышленное производство и сельское хозяйство. Также для простоты предположим, что промышленность находится в городе, а сельское хозяйство – в сельской местности. В сельской местности живет $45$ млн. человек, а в городе – $15$ млн. человек. На рынке промышленной продукции действует $10$ фирм, произодственная функция каждой из которых $Y = 25L_y - 2.5L_y^2$ , где $Y$ – количество производимого товара в промышленном секторе в день в млн. штук, а $L_y$ – количество работающих людей в млн. человек. Продукцию сельского хозяйства также производят $10$ фирм, производственная функция каждой из которых $X = 70L_x - 5L_x^2$ , где $X$ – количество собранного зерна в день в млн. кг, а $L_x$ – количество работающих людей в млн. человек. Цена одного товара промышленного сектора равна $4$ рублям, а цена одного килограмма зерна равна $1$ рублю.

Каждый человек в стране понимает, что лучше работать, чем не работать, поэтому каждый житель города и сельской местности готов работать за любую положительную зарплату. Рынки труда и конечной продукции обоих секторов совершенно-конкурентны.

а) Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в отсутствии мобильности труда между городом и сельской местностью?

б) С $1$ января государство решило упростить процедуру миграции, поэтому теперь люди могут свободно перемещаться между городом и сельской местностью. Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в этом случае?

в) Как изменится ответ на вопрос пункта $2$ , если для каждого человека миграция связана с издержками в $15$ рублей в день на аренду кровати в общежитии. Какие установятся зарплаты в городе и в сельской местности в равновесии теперь?

г) (Этот пункт только для 11 класса) Вернемся к условию пункта $2$ . Работники, которые изначально были в городе, остались недовольны такой политикой и решили объединиться в профсоюз, который максимизирует совокупный трудовой доход всех городских работников (включая мигрантов) и назначает зарплату. Весь промышленный сектор должен будет выплачивать именно зарплату, назначенную профсоюзом. Какую зарплату установит профсоюз? Какая зарплата будет при этом в сельском хозяйстве?

У 9 и 10 классов пункт а) весил 7 баллов, пункт б) – 10 баллов, пункт в) – 13 баллов. У 11 класса пункт а) весил 4 балла, пункт б) – 6 баллов, пункт в) – 10 баллов, пункт г) – 10 баллов.

Решение

а) Поехали. Для начала запишем обратный спрос на труд в промышленности:

MRP_{L_y} = P_y \cdot MP_{L_x} = 100 - 20L_y = w_y

L_y = \dfrac{100 - w_y}{20} \Rightarrow L^d_y = 50 - \dfrac{w_y}{2} \Rightarrow w_y = 100 - 2L^d_y

Мы знаем, что там точно будет работать $15$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $100 - 2 \cdot 15 = 70$ .

Спрос на труд в сельском хозяйстве:

MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x

L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x

Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$ .

Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.

б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.

w_x = w_y

100 - 2L_y = 70 - L_x

L_x = 2L_y - 30

L_x + L_y = 60

3L_y - 30 = 60

L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40.

Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.

в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.

w_y - 15 = w_x

85 - 2L_y = 70 - L_x

L_x = 2L_y - 15

L_x + L_y = 60

3L_y - 15 = 60

L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50

w_x = 35.

Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.

г) Максимизируем выручку:

W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50

L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.

Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$ , которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.

Олимпиадный уровень

МРОТ и занятость

Высшая проба · 2013 · 11 кл.

В городе функционирует единственный градообразующий завод, из-за чего у населения города нет выбора места работы (можно либо работать на заводе по предлагаемой заводом заработной плате, либо не работать). Обратная функция предложения труда в городе имеет вид: $w^s=100+2L$ , где $L$ — количество работников, а $w^s$ — зарплата. Продукция завода реализуется на совершенно конкурентном рынке по цене $p=3$ . Производственная функция в краткосрочном периоде зависит только от количества используемого труда следующим образом: $q(L)=-L^2+180L$ при $L\le 90$ и $q=8 100$ при больших $L$ .

**а) (5 баллов)**Рассчитайте количество занятых, уровень заработной платы и объем производства завода, если он стремится к максимизации прибыли.

б) (6 баллов) На каком уровне государство должно установить минимальный размер оплаты труда (МРОТ), чтобы достичь максимального количества занятых работников? Сколько работников при этом будет нанято заводом?

в) (4 балла) Из пункта б) следует, что с помощью установления МРОТ можно добиться увеличения количества занятых рабочих. Это является необычным результатом, потому что противоречит стандартному аргументу против зарплатных ограничений. Ведь обычно установление МРОТ приводит к избытку рабочей силы (безработице) и уменьшению занятости: если зарплата на рынке повышается, фирмы будут нанимать меньше работников, чем раньше. Приведите содержательное экономическое объяснение этого «противоречия».

Решение

а) (5 баллов)

Не выгодно нанимать $L>90$ , так как $MP_L=0$ , а зарплату необходимо платить. Поэтому будем рассматривать только вариант при $L<90$ .

Функция прибыли завода имеет вид $\pi (L)=3(-L^2+180L)-(100+2L)L=-5L^2+440L$ . Это парабола с ветвями вниз, она имеет вершину в точке $L^*=44$ . Прибыль в этой точке положительна, так что это оптимальный объем занятости.

Альтернативный способ: условие $MRP_L=MC_L$ имеет вид $3(-2L+180)=100+4L$ . Решение этого уравнения дает $L^*=44$ , при этом $MRP_L$ — убывающая функция, а

$MC_L$ — возрастающая, так что это максимум.

Легко посчитать, что объем выпуска равен $Q=-44^2+180*44=5984$ , заработная плата равна $w=100+2*44=188$ .

б) (6 баллов) Когда государство регулирует зарплату, бывшая монопсония начинает вести себя как совершенно конкурентная фирма, то есть будет нанимать работников до тех пор, пока предельный продукт труда в денежном выражении больше зарплаты (конечно, при условии, что МРОТ является существенным ограничением, то есть превышает 188). Иными словами, фирма готова нанимать $L^d=90-w/6$ работников. С другой стороны, $L^s=(w-100)/2$ работников готовы выйти на рынок труда при зарплате w. Чтобы количество работников в равновесии было максимальным, нужно установить такую зарплату, чтобы объемы спроса и предложения труда совпадали (иначе реальное количество занятых будет определяться минимумом из этих объемов), то есть $w^*=210$ . При такой зарплате будет нанято 55 работников.

Альтернативный способ решения: $MP_L*P=W,$ то есть $3(180-2L)=100+2L$ , значит, $L=55$ . При этом $MP_L*P$ — убывающая функция, а $W$ — возрастающая, так что это максимум.

в) (4 балла) Стандартный аргумент относится к рынку совершенной конкуренции: объем занятости на нем без вмешательства максимально возможный, любое ценовое регулирование может его только уменьшить. При монопсонии это не так. Градообразующий завод обладает рыночной властью, в силу чего у него была возможность нанимать работников меньше и платить им меньшую заработную плату по сравнению с рынком совершенной конкуренции. Из-за рыночной власти предельные издержки завода на найм работников оказываются больше, чем заработная плата (средние издержки на найм работников). Чтобы нанять дополнительных работников, завод был вынужден предлагать более высокую заработную плату не только дополнительному работнику, но и всем. А заработную плату завод устанавливает на основании предложения труда (средних издержек найма). Таким образом, монопсония приводит к неэффективному использованию ресурсов. Государство, установив минимальную заработную плату, устранило рыночную власть градообразующего завода, что привело к росту и заработной платы, и занятости.

Три продавца и монопсония

Московская олимпиада (МОШ) · 2013 · 10 кл.

На рынке услуг репетиторства по экономике города Старосуздаля работают три продавца, зависимости предельных издержек которых от количества проведенных занятий представлены функциями: $MC_1(q_1)=q_1+20$ , $MC_2(q_2)=\sqrt{q_2}+10$ , $MC_3(q_3)=q_3/2+5$ (в тыс. руб.). На рынке есть один покупатель, определяющий цену занятия экономикой (единую для всех продавцов). По этой цене продавцы оказывают ему услуги в том объеме, в каком считают нужным для максимизации своей прибыли. Какую цену он назначит, если стремится купить максимальное количество занятий, уложившись в бюджет 100 тыс. руб.? Считайте, что занятия у разных репетиторов для покупателя абсолютно взаимозаменяемы.

Решение

Нетрудно узнать, сколько фирмы будут готовы продавать товара при разных ценах. Функции предложения фирм и общая функция предложения выглядят следующим образом:

q_1(P)= \begin{cases}P-20, \text{если \(P\ge 20\);}\\0, \text{если \(P<20\).}\end{cases}

q_2(P)= \begin{cases}(P-10)^2, \text{если \(P\ge 10\);}\\0, \text{если \(P<10\).}\end{cases}

q_3(P)= \begin{cases}2P-10, \text{если \(P\ge 5\);}\\0, \text{если \(P<5\).}\end{cases}

Q_s(P)= \begin{cases}P^2-17P+70, \text{если \(P\ge 20\);}\\P^2-18P+90, \text{если \(10\le P< 20\);}\\2P-10, \text{если \(5\le P< 10\);}\\0, \text{если \(P<5\).}\end{cases}

Если покупатель назначает цену $P$ , то он может купить не больше $100/P$ единиц товара. Поскольку функция предложения везде возрастает, то для максимизации количества купленной продукции покупателю нужно назначить такую цену, при которой его затраты (равные цене, умноженной на количество, которое готовы продать производители) в точности равны 100.

Составим три уравнения для трех ненулевых участков функции предложения.

P^2-17P+70 = 100/P \quad (P\ge 20)

Решить это уравнение в явном виде непросто и корни получаются «плохие», но это и не нужно. Заметим, что при $P=20$ левая часть (130) больше правой (5). Чтобы оставаться на этом участке функции предложения ( $P\ge 20$ ), мы можем только увеличивать цену, но при этом левая часть будет расти (это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $P=8{,}5$ ), а правая — уменьшаться, то есть значения двух выражений будут еще отдаляться друг от друга и никогда не станут равны.

P^2-18P+90 = 100/P \quad (10\le P< 20)

Корень $P=10$ , являющийся одним из пограничных, подходит. В левой части уравнения парабола с ветвями вверх (вершина при $P=9$ ), в правой — ветвь гиперболы. Весь допустимый интервал $10\le P < 20$ лежит на возрастающей ветви параболы, а значит, там может быть не больше одного пересечения, и мы нашли единственное. Итак, ( $P=10; Q=10$ ) — точка на кривой предложения, при которой расходы покупателя равны 100.

P^2-18P+90 = 100/P \quad (5\le P< 10)

В принципе, третье уравнение можно и не решать: если там и будут корни, то объем продаж уж точно не превысит 10. Если решить, то можно убедиться, что единственный положительный корень и есть при $P=10$ .

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.