Рыночный спрос и сдвиги равновесия

Математическая основа задачи заимствована из пособия: Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике: Учеб. пособие. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2005.

Обозначим через $X$, $Y$ и $Z$ численность волшебников с высшим, средним и начальным образованием, соответственно. Пусть до кризиса в городе $N$ проживали $X_0$, $Y_0$ и $Z_0$ волшебников, уехали соответственно $X_1$, $Y_1$ и $Z_1$, а осталось $X_2$, $Y_2$ и $Z_2$ волшебников.

Удобно информацию из условия записать в таблицу:

Так как число волшебников в любом случае может быть только целым числом, то $M$ можно представить как $20\cdot n$, или $4\cdot5\cdot n$, где $n$ – это натуральное число. В этом случае $X_0$, $Y_0$ и $Z_0$ будут целыми числами.

Число оставшихся в городе волшебников с начальным образованием $Z_2$ тоже должно быть целым числом, а это значит, что $n$ следует представить как $4\cdot k$, где $k$ – это натуральное число. Получаем, что $M=4\cdot5\cdot4\cdot k$, а $Z_2=5\cdot k$. А так как $Z_1$ в 3 раза больше $Z_2$, то получаем, что $Z_1=3\cdot5\cdot k$.

Теперь мы можем выразить $X_1$. Итак, $X_1=5\cdot5\cdot k$, т.е. оно тоже целое.

Конечно, $Y_1$ тоже должно быть целым, следовательно, мы должны представить $k$, как $2\cdot a$, где $a$ – это тоже натуральное число.

Теперь рассчитаем $X_2$. В наших обозначениях $X_0=9\cdot4\cdot2\cdot a$. $X_1=5\cdot5\cdot2\cdot a$. Получаем $X_2=a\cdot(9\cdot4\cdot2–5\cdot5\cdot2)=a\cdot(72–50)=a\cdot22$. Но по условию $X_2 \leq 40$, т.е. $a\cdot22\leq40$. А так как $a$ – это натуральное число, то оно может принимать здесь только одно значение $a=1$.

В итоге мы получаем, что $M=4\cdot5\cdot4\cdot2\cdot1=160$. То есть до кризиса в городе проживало 160 волшебников.

б) Суммарный рыночный спрос – это сумма индивидуальных спросов. Сначала разберемся с групповыми функциями спроса волшебников:

1. Волшебники с высшим образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,45\cdot160=72$ человека. Значит их суммарный спрос будет равен $Q_x=72\cdot(10–2P)=720–144P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 5 рубликов.
2. Волшебники со средним образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,3\cdot160=48$ человек. Значит, их суммарный спрос будет равен $Q_y=48\cdot(30–3P)=1440–144P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 10 рубликов.
3. Волшебники с начальным образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,25\cdot160=40$ человек. Значит, их суммарный спрос будет равен $Q_z=40\cdot(60–4P)=2400–160P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 15 рубликов.

Получаем, что при цене ниже 5 рубликов за литр, спрос на волшебное зелье предъявляли все волшебники, при цене от 5 до 10 рубликов – только волшебники со средним и начальным образованием, а при цене от 10 до 15 рубликов уже только волшебники с начальным образованием.

Функция суммарного рыночного спроса будет иметь вид:

$$Q=\begin{cases} 0, & \text{при } 15 \leq P; \\ 2400-160P, & \text{при } 10 \leq P \leq 15; \\ 3840-304P, & \text{при } 5 \leq P \leq 10; \\ 4560-448P, & \text{при } 0\leq P \leq 5\end{cases}$$

Ответ. а) До кризиса в городе N проживало 160 волшебников.

б) До кризиса функция суммарного рыночного спроса волшебников на волшебное зелье имела вид:

$$Q=\begin{cases} 0, & \text{при } 15 \leq P; \\ 2400-160P, & \text{при } 10 \leq P \leq 15; \\ 3840-304P, & \text{при } 5 \leq P \leq 10; \\ 4560-448P, & \text{при } 0\leq P \leq 5\end{cases}$$

Канал об олимпиадной экономике: https://t.me/economybyanton

1. Заметим, что покупатель будет участвовать в рынке только при условии:

$$q_i^d \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i - p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i \geq p$$

Таким образом, при цене $p$ покупатели с $i < p$ не участвуют в рынке ($q^d_i=0$).

2. Совокупный спрос:

При целой цене $p$ покупатели с $i = p, p+1, \dots, 144$ формируют спрос:

$$Q^d = \sum_{i=p}^{144} (i - p)$$

Это сумма арифметической прогрессии c количеством членов $m = 144 - p + 1$:

$$Q^d = \sum_{k=0}^{144-p} k = \frac{(144-p)(145-p)}{2}$$

3. Условие рыночного равновесия:

$$Q^d = Q^s$$ $$\frac{(144-p)(145-p)}{2} = 26p$$

Умножим обе части на 2:

$$(144-p)(145-p) = 52p$$

Решение квадратного уравнения:

$$p^2 - 341p + 20880 = 0$$ $$p_1 = \frac{341 + 181}{2} = \frac{522}{2} = 261$$ $$p_2 = \frac{341 - 181}{2} = \frac{160}{2} = 80$$

4. Выбор экономически осмысленного корня:

При $p = 261$: покупатели участвуют только при $i \geq 261$, но максимальный номер покупателя -- 144. Следовательно, спрос равен 0.

При $p = 80$: покупатели с $i \geq 80$ участвуют в рынке. Это допустимая цена.

5. Равновесное количество:

Подставим $p^* = 80$ в функцию предложения:

$$Q^* = 26 \cdot 80 = 2080$$

Проверим по функции спроса:

$$Q^d = \frac{(144-80)(145-80)}{2} = \frac{64 \cdot 65}{2} = \frac{4160}{2} = 2080$$

Ответ. $p=80, Q=2080$