Спрос, предложение и равновесие

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

1 задачаОткрыть

Р1

Задача Р1

Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа 2015: А и Б. А может составить 5 задач для 7‒8-го классов или 10 задач для

9-го класса. Б может составить 15 задач для 7‒8-го классов или 5 задач для

9-го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны.

Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 7‒8-го классов

и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Старикам закон не писан

Московская олимпиада (МОШ) · 2017 · 8–9 кл.

Иван Иванович любит читать ежедневную газету «Свисток» и есть зефир. В 2015 году газета стоила 100 руб., а коробка зефира – 50 руб. В 2015 году Иван Иванович покупал в неделю 3 газеты и 3 коробки зефира. В 2016 году газета подорожала до 130 руб. В 2016 году Иван Иванович начал покупать 4 газеты, а количество зефира в его потреблении не изменилось. Значит ли это, что спрос Ивана Ивановича на газету «Свисток» не подчиняется закону спроса, который гласит, что существует обратная зависимость между ценой товара и величиной спроса на него? Объясните.

Решение

Закон спроса гласит, что при изменении цены товара величина спроса на него падает при прочих равных условиях. Это значит, что в нём не учитываются никакие другие изменения, кроме как изменения цены. Значит, если изменение поведения Ивана Ивановича обусловлено какими-то другими факторами, а не ценой газеты, то противоречий с законом спроса возникать не должно. (4 балла за идею о том, что закон спроса работает при прочих равных)

Допустим, Иван Иванович тратит весь свой доход на зефир и газеты. Про цену зефира в задаче ничего не сказано. Допустим, она осталась неизменной. Тогда Иван Иванович не мог бы позволить себе купить больше газет, чем раньше, если бы у него не изменился доход. Возможно, ему повысили зарплату, и теперь он может позволить себе больше газет, а есть больше зефира ему не хочется. Значит, закону спроса сложившаяся ситуация не противоречит. То же самое при росте цены зефира – без роста дохода Иван Иванович не смог бы позволить себе новый уровень потребления, а значит он должен быть обусловлен ростом дохода, и снова нет никакого противоречия с законом спроса. (3 балла за аргумент о возможном росте дохода) Если же цена зефира упала, то у Ивана Ивановича могли высвободиться дополнительные деньги, которые он смог потратить на дополнительные газеты. Тогда никакого противоречия закону спроса быть не должно, если по каким-то причинам Иван Иванович не хочет есть больше 4 пачек зефира в неделю (может, ему врач не рекомендует) или ему вдруг понадобилось покупать больше газет. (1 балл, если есть пояснение почему он мог захотеть покупать больше газет, подобное приведённому ниже).

Зачем ему больше газет? Помимо доходов могли измениться его предпочтения. Например, Иван Иванович мог бы решить жениться, а в газетах искать объявления о знакомстве. Или он собрался делать ремонт, и выискивал там информацию о магазинах и мастерах. Если он тратил не весь свой доход только на эти два товара, то он мог нарастить потребление газет просто из-за изменения своих интересов. Если он тратит весь свой доход только на зефир и газеты, то изменения предпочтений могут объяснить, почему при росте дохода (ведь, как мы выяснили, без него почти никак не получится покупать больше газет) или даже при падении цены на зефир Иван Иванович стал покупать больше газет и не стал покупать больше зефира – просто теперь газеты стали для него важнее, чем раньше. (2 балла за идею об изменении предпочтений с примером или несколькими, 1 балл за идею саму по себе).

Теория

Спрос

Определение спроса

Оба слова важны. «Хотят» означает, что товар нужен; «могут» означает, что на него хватает денег. Мечта о яхте без денег на неё не создаёт спроса на яхты.

Спрос и величина спроса

Спрос это вся функция (вся кривая на графике). Величина спроса это одно число: сколько купят при конкретной цене. Фраза «спрос вырос» означает, что вся кривая сдвинулась вправо: при каждой цене покупают больше. Фраза «выросла величина спроса» означает движение вдоль той же кривой: цена упала, и купили больше.

**Рис. 15.1:** Движение вдоль кривой спроса (слева) и сдвиг кривой спроса (справа)

Как рисуют спрос

По традиции цену откладывают по вертикальной оси, а количество по горизонтальной. Поэтому для рисования функцию спроса переписывают в обратном виде: $Q_{d} = 100 - P$ превращается в $P = 100-Q$ . Точка пересечения с осью цен (здесь 100) называется максимальной ценой спроса: дороже никто не купит. Точка пересечения с осью количеств (здесь 100) это количество, которое разберут бесплатно.

Закон спроса

Причины две. Во-первых, когда товар дорожает, его выгоднее заменить другим (эффект замещения). Во-вторых, на те же деньги можно купить меньше всего (эффект дохода). Подробно эти эффекты разобраны в части о потребителе. Исключения из закона спроса (товары Гиффена и Веблена) встретятся в главе 23.

Факторы спроса

На спрос влияет не только цена. Все остальные влияния называют неценовыми фактора**ми, и они сдвигают всю кривую.

Фактор	Что происходит на графике	Пример
Цена самого товара	движение вдоль кривой	билеты подешевели, их купили больше
Доходы покупателей	сдвиг: для обычных товаров вправо при росте доходов	выросли зарплаты, спрос на поездки вырос
Цены заменителей	рост цены заменителя сдвигает спрос вправо	подорожал чай, вырос спрос на кофе
Цены дополнителей	рост цены дополнителя сдвигает спрос влево	подорожал бензин, упал спрос на машины
Ожидания	ожидание подорожания сдвигает спрос вправо уже сейчас	слух о росте цен на сахар
Число покупателей	больше покупателей, спрос правее	в город приехали туристы
Вкусы, мода, реклама	сдвиг в сторону того, что стало модным	мода на самокаты
Сезон	сдвиг в «свой» сезон	мороженое летом

Полная запись функции спроса

Количество не может быть отрицательным. Поэтому запись $Q_{d} = 100 - P$ на самом деле означает

Q_d(P) = \begin{cases} 100 - P, & P < 100, \\ 0, & P \ge 100. \end{cases}

На олимпиаде функцию часто дают в «короткой» записи, но думать надо о полной. Это важно при сложении спросов, при подсчёте выручки и при поиске равновесия на высоких ценах.

Откуда берётся спрос

Каждый покупатель выбирает, сколько купить, сравнивая удовольствие от товара (полезность) с тем, что придётся отдать. Если записать, как человек максимизирует полезность при бюджете, то количество, которое он купит, окажется функцией цены: это и есть его спрос. Например, если полезность $U = 10x - x^{2} + y$ , где $y$ это все остальные товары по цене 5, а доход 100, то спрос на $x$ получается

x = \frac{50 - P_x}{10} \ \ (P_x \le 50), \qquad x = 0 \ \ (P_x > 50).

Как это выводится, подробно объяснено в главе о выводе спроса. Пока важно другое: спрос не обязан быть линейным. В задачах встречаются и такие спросы, как $Q_d = \dfrac{100}{P}$ (на этот товар тратят всегда одну и ту же сумму 100).

Спрос по таблице

Пример

Восстановить функцию

$P$	10	8	6	4
$Q$	20	30	40	50

Решение. При снижении цены на 2 количество растёт на 10: наклон $-5$ . $Q = a - 5P$ , $20 = a - 50$ , $a = 70$ . Спрос $Q = 70 - 5P$ , максимальная цена 14.

Разбор: психологическое ценообразование (заключительный этап 2021)

Предложение

Определение и закон предложения

Как и для спроса, различают предложение (всю функцию) и величину предложения (значение при данной цене).

Причина: при неизменных издержках рост цены увеличивает прибыль от каждой единицы, и становится выгодно производить даже те единицы, которые обходятся дороже. Позже (в части о фирме) мы увидим, что предложение конкурентной фирмы это участок её кривой предельных издержек: фирма продаёт единицу, если цена покрывает затраты на её производство.

Минимальная цена предложения

Для $Q_{s} = 2P - 20$ продавцы начинают продавать только при $P > 10$ : при меньших ценах производство не окупается. Цена 10 называется минимальной ценой предложения. Полная запись:

Q_s(P) = \begin{cases} 0, & P \le 10, \\ 2P - 20, & P > 10. \end{cases}

Факторы предложения

Фактор	Что происходит на графике	Пример
Цена самого товара	движение вдоль кривой	пшеница подорожала, её продают больше
Цены ресурсов	рост цен ресурсов сдвигает предложение влево	подорожали удобрения
Технология	улучшение сдвигает вправо	новый сорт пшеницы
Налоги и субсидии	налог сдвигает влево (вверх), субсидия вправо (вниз)	государство доплачивает за каждую единицу
Число продавцов	больше продавцов, предложение правее	на рынок пришли новые фермы
Ожидания продавцов	ожидание роста цен сокращает предложение сейчас	придерживают товар на складе
Цены других товаров, которые можно производить	рост их цен сдвигает предложение влево	подорожал рапс, часть полей переводят под него

из тех же ресурсов

Погода, сезон сдвиг в зависимости от условий неурожай

Сложение предложений

Предложения складывают по горизонтали, как спросы: при каждой цене складываются количества. Но здесь каждый продавец подключается, когда цена вырастает до его минимальной цены, поэтому удобно идти снизу вверх.

Пример

Три продавца

$Q_{1} = P$ , $Q_{2} = 0{,}5P - 10$ (продаёт при $P \ge 20$ ), $Q_{3} = 2P - 20$ (продаёт при $P \ge 10$ ). Найдите рыночное предложение.

Решение. Минимальные цены: 0, 20 и 10. При $P \le 10$ продаёт только первый. При $10 < P \le 20$ первый и третий: $P + 2P - 20 = 3P - 20$ . При $P > 20$ все трое: $3P - 20 +$ $0{,}5P - 10 = 3{,}5P - 30.$

Q_s(P) = \begin{cases} P, & 0 \le P \le 10, \\ 3P - 20, & 10 < P \le 20, \\ 3{,}5P - 30, & P > 20. \end{cases}

Рис. 17.1: Рыночное предложение (сплошная ломаная) становится положе каждый раз, когда подключается новый продавец

Рыночное предложение тоже ломаная: в точке, где подключается новый продавец, кривая становится положе.

Предложение многих одинаковых фирм

Справка

Предложение

Предложение $Q_{s}(P)$ : «хотят и могут» продать; закон предложения $Q'_{s}(P) \ge 0$ .
Цена товара: движение вдоль кривой; неценовые факторы (цены ресурсов, технология, налоги и субсидии, число продавцов, ожидания, альтернативные товары, погода): сдвиг.
Налог на продавца сдвигает предложение вверх на величину налога, субсидия вниз.
Минимальная цена предложения: ниже неё продаж нет.
Сложение: по горизонтали, снизу вверх; каждый продавец подключается со своей минимальной цены.

Рыночное равновесие

Определение равновесия

Точка пересечения кривых это только графическое изображение равновесия. Строгое понятие равновесия (через оптимальные стратегии всех участников) появится в теории игр.

Дефицит и избыток

Если цена ниже равновесной, покупатели хотят больше, чем продавцы готовы продать: возникает дефицит. Если выше, возникает избыток (профицит):

\text{Дефицит} = Q_d - Q_s \ \ (P < P_e), \qquad \text{Избыток} = Q_s - Q_d \ \ (P > P_e).

Почему рынок приходит в равновесие

Есть два классических описания.

По Вальрасу (подстройка цены). При избытке продавцы, чтобы избавиться от товара, снижают цену; при дефиците покупатели перебивают друг друга, и цена растёт. Формально

скорость изменения цены пропорциональна дефициту: $\dfrac{dP}{dt} = h\,(Q_d - Q_s)$ , $h > 0$ .

По Маршаллу (подстройка количества). Для данного объёма сравнивают цену, которую готовы заплатить покупатели ( $P_{d}$ ), и цену, по которой согласны продавать продавцы

$(P_s)$ . Если $P_d > P_s$ , расширять выпуск выгодно, и объём растёт: $\dfrac{dQ}{dt} = k\,(P_d - P_s)$ , $k > 0$ .

Для обычных кривых (спрос убывает, предложение растёт) оба процесса ведут к одной и той же точке равновесия.

Равновесие с кусочными функциями

Если спрос или предложение кусочные, равновесие ищут перебором участков: на каждом участке приравнивают нужные формулы и проверяют, что найденная цена лежит на этом участке. Полезное наблюдение: при высоких ценах обнуляется величина спроса, при низких величина предложения, поэтому сначала стоит прикинуть, в какой области цен пересекаются кривые.

Нелинейное равновесие

Задачи

Базовый уровень

Задача 1 НОЦ ВолНЦ РАН (Заочный тур, 10-11 класс, часть Б)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2017 · 10–11 кл.

Спрос и предложение описываются линейными функциями. При Р = 7, избыточное предложение равно 6, при Р = 2 избыточный спрос равен 9. Определите равновесную цену.

Яблочная

ВсОШ · муниципальный этап · 2015 · 7–8 кл.

Функция предложения яблок имеет вид $Q_s=100p-300$ , где $Q_s$ – величина рыночного предложения яблок в килограммах, а $p$ – цена одного килограмма яблок в денежных единицах (д.е.). Яблоки приобретают множество потребителей, каждый из которых имеет индивидуальную функцию спроса $q_d=12-p$ , где $q_d$ – величина индивидуального спроса каждого потребителя на яблоки в килограммах. Известно, что в равновесии суммарная выручка производителей яблок составила $1800$ д.е. Определите число потребителей на рынке.

Средний уровень

Рынок футбольных мячей

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 7–8 кл.

Предложение товара на рынке футбольных мячей описывается функцией $Q^S =3+2P$ . При этом при цене 5 долларов за мяч на рынке устанавливается равновесие, а при цене 7 долларов за мяч предложение превышает спрос

на 10 единиц. Установите зависимость спроса от цены, считая её линейной.

Нахождение функции спроса

Московская олимпиада (МОШ) · 2012 · 9 кл.

Предложение товара представлено функцией Qs = 1,5P – 30. Функция спроса также линейна. Равновесная цена равна 40 денежным единицам. Функция совокупной выручки всех продавцов представлена параболой на графике. Определить вид функции спроса.

Олимпиадный уровень

Спрос и предложение

ВсОШ · муниципальный этап · 2014 · 7–9 кл.

Спрос и предложение на рынке некоторого товара являются линейными. При цене 67 рублей за единицу товара на рынке продается положительное количество товара и наблюдается дефицит в размере 33 единиц товара. При цене 107 рублей за единицу товара на рынке продается положительное количество товара и наблюдается избыточное предложение в размере 11 единиц товара. Определите равновесную цену товара.

Решение

Задачу можно решить двумя способами – аналитически и геометрически. Геометрический способ короче, однако мы приведём здесь оба.

Способ 1 - аналитический

Спрос задаётся линейной функцией: $Q^d(p)=a-b\cdot p$ , где $Q^d$ – величина спроса, $р$ – цена, $a>0$ и $b>0$ – некоторые параметры функции спроса.

Предложение задаётся линейной функцией: $Q^s(p)=c+d\cdot p$ , где $Q^s$ – величина предложения, $р$ – цена, $c \text{ и } d>0$ – некоторые параметры функции предложения.

Ситуация дефицита возникает, если при заданной цене $Q^d > Q^s$ . Так как при цене $р=67$ $Q>0$ , то величина дефицита вычисляется по формуле:

Deficit(p)= Q^d(p) - Q^s(p)=a-b\cdot p-c-d\cdot p=(a-c)-(b+d)\cdot p

И при $р=67$ :

Deficit(67)= Q^d(67) - Q^s(67)=a-b*\cdot 67-c-d \cdot 67=(a-c)-(b+d)\cdot 67=33 \textbf{ (1 балл)}

Ситуация излишка возникает, если при заданной цене $Q^s> Q^d$ . Так как при цене $р=107$ $Q>0$ , то величина излишка вычисляется по формуле:

Surplus(p)= Q^s(p) – Q^d(p)=c+d\cdot p-a+b\cdot p=-(a-c)+(b+d)\cdot p

И при $р=107$ :

Surplus(107)= Q^s(107) – Q^d(107)=c+d\cdot 67-a+b\cdot 67=-(a-c)+(b+d) \cdot 107=11 \textbf{ (1 балл)}

Произведём замену переменных: $(a-c)=x, (b+d)=y$

Тогда получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

\begin{cases} x-67y=33 \\ -x+107y=11\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=1,1 \\ x=106,7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b+d=1,1 \\ a-c=106,7\end{cases} \textbf{ (4 балла)}

При равновесной цене $(p^e)$ $Q^d=Q^s$ , поэтому нет ни излишка, ни дефицита. Таким образом, в точке $p^e$ значения этих функций равны нулю:

$106,7 – 1,1\cdot p^e=0$ (1 балл)

$p^e=\dfrac{106,7}{1,1}=97$ (3 балла)

Способ 2 - геометрический

При решении данным способом обязательно наличие графика.

В данном случае отрезок AB отображает величину дефицита при цене 67 и его длина равна 33. Отрезок DE отображает величину излишка при цене 107, и его длина равна 11 (график, на котором указаны все нужные параметры, оценивался в 4 балла).

Треугольники ABC и DEC являются подобными. (1 балл)

Это означает, что коэффициент подобия треугольников равен соотношению подобных сторон, а именно: $k=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{33}{11}=3$ (1 балл)

Это означает, что высоты CM и CN данных треугольников соотносятся также как 3:1.

Длина отрезка MN равна $107–67=40$ . Обозначим длину отрезка CN за $z$ . Тогда получаем следующее уравнение:

\begin{array}{l}3z+z=40 \\ z=10 & \textbf{(1 балл)} \end{array}

Получаем, что равновесная цена равна $107-10=97$ рублей. (3 балла)

Ответ. 97 рублей

Город Му-му

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 9 кл.

В городе Му-му очень любят пить молоко. Известно, что спрос и предложение на молоко линейны. Опытный экономист Вася сумел выяснить, что при увеличении цены литра молока величина спроса уменьшится ровно на столько же, на сколько увеличится величина предложения. Также Вася установил, что цена, равная по величине удвоенной равновесной, является наименьшей ценой, при которой никто из жителей не захочет покупать молоко, а на рынке будет наблюдаться избыток продукции в 10 тыс. литров молока. Если же сложится цена, равная половине равновесной цены, то дефицит молока составит 5 тыс. литров. Определите, сколько молока покупают жители Му-му в равновесии.

Решение

Обозначим функцию спроса: $Q_d=a-b\cdot P$ .

Функция предложения: $Q_s=c+d\cdot P$ .

Обозначим равновесную цену, как $P^*$ .

Из условия задачи, что «при увеличении цены на литр молока величина спроса уменьшится ровно на столько же, на сколько увеличится величина предложения», следует, что $b=d$ (1 балл).

Когда цена в два раза больше, то никто не покупает молоко. Из этого следует, что:

a-b\cdot2P^* =0 \\ a=2bP^*

(2 балла)

К тому же на рынке наблюдается избыток продукции:

Q_S-Q_D=10 \\c+d\cdot P-0=10 \\c+b\cdot2P^*=10 \\c=10-2bP^*=10-a

(2 балла)

Если цена в два раза меньше равновесной, то:

Q_S-Q_D=5 \\ a-b\cdot \frac{P^*}{2}-c-d\cdot \frac{P^*}{2}=5 \\ a-b\cdot \frac{P^*}{2}-10+a-b\cdot \frac{P^*}{2}=5 \\bP^*=5 \\a=10 \\c=0

(2 балла за верные вычисления).

То есть функция предложения проходит через центр координат. Вычислим размер дефицита, когда цена на молоко равна нулю: $10-b\cdot 0 - 0=10$ .

Поскольку угол наклона функции спроса противоположен углу наклона функции предложения, то равновесная величина спроса и предложения будет равна 10/2 = 5 тыс. литров молока (можно показать на графике равнобедренный треугольник) (3 балла).

Ответ. 5 тыс. литров.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.