Эластичность спроса и выручка

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

1 задачаОткрыть

Р1

Задача Р1

Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа 2015: А и Б. А может составить 5 задач для 7‒8-го классов или 10 задач для

9-го класса. Б может составить 15 задач для 7‒8-го классов или 5 задач для

9-го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны.

Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 7‒8-го классов

и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Задача 2 НОЦ ВолНЦ РАН (Очный тур, 10-11 класс, часть В)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2017 · 10–11 кл.

В городе N в разгар летнего сезона при цене абонемента в 1000 рублей центральный аквапарк посещали 220 туристов и 135 жителей города в день. Желая максимизировать выручку, руководство аквапарка решило повысить цену абонемента до 1400 рублей. В результате количество посещений местными жителями сократилось до 90, а туристов до 180 человек в день. Чем можно объяснить разницу в эластичности спроса на абонемент в аквапарк местных жителей и туристов? Достигло ли руководство аквапарка своей цели?

Теория

Эластичность спроса по цене

Зачем нужна эластичность

Наклон спроса зависит от единиц: если считать хлеб не в килограммах, а в граммах, наклон вырастет в тысячу раз. Эластичность от этого избавлена: она сравнивает процентные изменения. Поэтому эластичности разных товаров можно сравнивать между собой, и с их помощью удобно отвечать на вопросы вроде «вырастет ли выручка, если поднять цену» или «кто заплатит налог».

Определение

Эластичность по двум точкам

Если известны только две точки, считают отношение процентных изменений.

Ответ зависит от того, из какой точки считать проценты:

E = \frac{Q_1 - Q_2}{P_1 - P_2} \cdot \frac{P_1}{Q_1}.

Дуговая эластичность

Чтобы не зависеть от выбора точки, берут средние значения:

E_{\text{дуг}} = \frac{Q_1 - Q_2}{P_1 - P_2} \cdot \frac{P_1 + P_2}{Q_1 + Q_2}.

Для линейной функции дуговая эластичность на отрезке равна точечной эластичности в середине отрезка. В примере выше: $-2 \cdot \dfrac{105}{110} \approx -1{,}91.$

Эластичность через производную

Если функция спроса известна, эластичность в точке считают через производную:

E_P^Q = Q'(P) \cdot \frac{P}{Q}, \qquad E_Q^P = \frac{1}{E_P^Q}.

Нелинейный спрос и касательная

Эластичность нелинейной функции в точке равна эластичности касательной в этой точке: у касательной в точке касания те же $P$ , $Q$ и тот же наклон. Это позволяет находить эластичные и неэластичные участки по рисунку: провести касательную и применить геометрию линейного спроса (ниже).

Геометрия линейного спроса

Для линейного спроса $P = a - bQ$ (здесь $a = P_{\max}$ ):

E_D = -\frac{P}{P_{\max} - P} = -\frac{Q_{\max} - Q}{Q}.

То есть эластичность равна отношению нижнего отрезка оси цен к верхнему (со знаком минус).

**Рис. 21.2:** На линейном спросе выше середины спрос эластичен, ниже неэластичен; выручка максимальна в середине

Точка на линейном спросе	Эластичность
верхний конец ( $Q = 0$ )	$-\infty$
выше середины	$\lvert E\rvert > 1$ , эластичный участок
середина отрезка	ровно $-1$
ниже середины	$\lvert E\rvert < 1$ , неэластичный участок
нижний конец ( $P = 0$ )	$0$

Постоянная эластичность

Функции $Q = aP^{n}$ имеют одинаковую эластичность во всех точках, равную показателю степени:

Q = aP^n \quad \Longrightarrow \quad E_P^Q = anP^{n-1} \cdot \frac{P}{aP^n} = n.

Верно и обратное: если эластичность всюду постоянна и равна $n$ , функция имеет вид $Q = cP^{n}$ .

Постоянная дуговая эластичностьдля заключительного этапа

Дуговая эластичность постоянна не у всех функций с постоянной точечной. Например, у $Q = \dfrac{a}{P}$ дуговая эластичность между любыми двумя ценами равна $-1$ : подставьте $Q_i = a/P_i$ в формулу и сократите. А если точечная эластичность постоянна и по модулю равна $k \neq 1$ , то дуговая эластичность между любыми двумя точками по модулю лежит строго между 1 и $k.$

Где спрос единично эластичен

Разбор: дневное и ночное такси (региональный этап 2024/25)

Разбор олимпиадной задачи

Сравнение эластичностей двух линейных спросов

Дневной и ночной спросы на такси линейны и убывают. Максимальная величина ночного спроса (при нулевой цене) меньше дневной, а при любой цене, где обе величины положительны, ночной спрос менее эластичен. Что из этого следует?

Решение. Для линейного спроса $\lvert E\rvert = \dfrac{P}{P_{\max} - P}$ , где $P_{\max}$ максимальная цена спроса.

Ночной спрос менее эластичен при каждой цене, значит, его максимальная цена выше:

$P_{\max}^{\text{ночь}} > P_{\max}^{\text{день}}$ . Отсюда:

наклоны разные (у ночного спроса меньше количество при нулевой цене, но выше максимальная цена);
при ценах между $P_{\max}^{\text{день}}$ и $P_{\max}^{\text{ночь}}$ ночной спрос положителен, а дневной нулевой; значит,

неверно, что ночная величина спроса никогда не больше дневной;

при нулевой цене дневная величина больше, а вблизи $P_{\max}^{\text{день}}$ больше ночная, поэтому

есть цена, при которой обе положительны и равны.

Ответ. Верны утверждения о разных наклонах, о цене с положительным ночным и нулевым дневным спросом и о цене, где спросы равны.

Эластичность и выручка

Простой пример

Спрос $Q = 100 - 2P$ .

При $P = 30$ : $Q = 40$ , $E = -2 \cdot \dfrac{30}{40} = -1{,}5$ , спрос эластичен. Поднимем цену до $31$ : $Q = 38$ , выручка $31 \cdot 38 = 1178$ вместо $1200$ , упала.
При $P = 20$ : $Q = 60$ , $E = -2 \cdot \dfrac{20}{60} \approx -0{,}67$ , спрос неэластичен. Поднимем цену до $21$ : $Q = 58$ , выручка $1218$ вместо $1200$ , выросла.

1. Максимум выручки при $E = -1$ : $P = 25$ , $Q = 50$ , $\mathit{TR} = 1250$ .

Эластичность выручки

Выручка $\mathit{TR} = P \cdot Q(P)$ . По правилу производной произведения:

\mathit{TR}'(P) = Q + PQ'(P) = Q\left(1 + E_P^Q\right), \qquad E_P^{\mathit{TR}} = 1 + E_P^Q.

Общее правило, из которого это следует: эластичность произведения функций равна сум**ме их эластичностей. Выручка это произведение цены (эластичность цены по цене равна 1) и количества.

Эластичность суммы и произведениядля заключительного этапа

E\left(\sum_i Q_i\right) = \sum_i \frac{Q_i}{Q}\, E(Q_i), \qquad E\left(\prod_i Q_i\right) = \sum_i E(Q_i).

Первая формула говорит, что эластичность суммы это средняя эластичность слагаемых, взвешенная по их долям. Отсюда, например, эластичность рыночного спроса лежит между эластичностями спросов отдельных групп покупателей.

Следствие для монополиста

Монополист всегда работает на эластичном участке спроса. Если бы он оказался на неэластичном, он мог бы поднять цену и продать меньше: выручка вырастет, а издержки (раз производится меньше) упадут, значит, прибыль вырастет. Поэтому в оптимуме $|E| > 1$ . Точное условие оптимума монополиста (индекс Лернера $\dfrac{P - \mathit{MC}}{P} = -\dfrac{1}{E}$ ) разобрано в главе о монополии.

Быстрая оценка изменения выручки

Где выгодно снижать цену

Эластичность по доходу, перекрёстная эластичность и классификация благ

Эластичность спроса по доходу

EQ I = ∆Q% ∆I% = Q′(I) · I Q. Эластичность по Тип блага Примеры

доходу

**Рис. 23.1:** Кривые Энгеля: потребление товара как функция дохода для разных типов благ

Одно и то же благо может быть разным для разных людей и при разных доходах: при низком доходе общественный транспорт нормальный товар, при высоком становится инфериорным, потому что человек пересаживается на такси.

Пример

Эластичность по доходу из полезности

Полезность $U = xy + 10x$ , $P_{x} = 10$ , $P_{y} = 5$ , доход $I = 100$ . Найдите эластичность спроса на $x$ по доходу и тип блага.

Решение. Бюджет: $10x + 5y = I$ , $y = \dfrac{I}{5} - 2x$ . Подставим: $U = \left(\dfrac{I}{5} + 10\right)x - 2x^2$ , парабола ветвями вниз, $x^* = \dfrac{I + 50}{20}$ . При $I = 100$ : $x = 7{,}5$ ,

E_I^x = \frac{1}{20} \cdot \frac{100}{7{,}5} = \frac{2}{3} < 1.

Ответ. $^{2}_{3}$ : товар первой необходимости.

Закон Энгеля

С ростом дохода расходы на питание растут медленнее, чем доход: доля еды в бюджете падает. Расходы на товары длительного пользования, путешествия и сбережения растут быстрее. Внутри питания структура смещается к более качественным продуктам.

Особые блага: Гиффен и Веблен

Товар Гиффена: при росте цены его покупают больше. Пример: бедная семья тратит почти весь бюджет на картофель и немного на макароны. Картофель подорожал, на прежний набор денег не хватает, и семья отказывается от макарон, докупая картофель, чтобы не остаться голодной. Это всегда инфериорный товар, занимающий большую долю бюджета и не имеющий равноценной замены. Причина: эффект дохода перевешивает эффект замещения (часть о потребителе).
Товар Веблена: спрос растёт с ценой из-за престижа: дорогая вещь ценится именно потому, что она дорогая. Обычно это предметы роскоши.

У этих благ эластичность спроса по цене положительна, то есть закон спроса не выполняется.

Перекрёстная эластичность

E_{P_y}^{Q_x} = \frac{\Delta Q_x\%}{\Delta P_y\%}.

Знак	Связь	Пример
$> 0$	заменители (субституты)	чай и кофе: дорожает чай, растёт спрос на кофе
$< 0$	дополнители (комплементы)	зубная щётка и паста
$= 0$	независимые товары	хлеб и автомобили

Задачи

Базовый уровень

Эластичность спроса на мороженное

Московская олимпиада (МОШ) · 2012 · 11 кл.

Cпрос Ивана на мороженое описывается уравнением Qи = 12 – 0,2P, где Qи – число потребляемых порций в месяц, а P – цена порции в рублях. Спрос Петра описывается уравнением Qп = 15 – 0,3P, где Qп – число потребляемых порций в месяц. Определите, при каких ценах рыночный спрос на мороженое, состоящий из спроса Ивана и спроса Петра, будет эластичным, а при каких – нет.

Реакция пассажиров на рост стоимости билетов

Высшая проба · 2014 · 10 кл.

В исследовании, проведённым Институтом экономики транспорта и транспортной политики НИУ ВШЭ в 2013 г., было выявлено, что при росте стоимости билетов на 5% спрос на пригородные железнодорожные перевозки падает на 2,2%. Однако, в долгосрочном периоде чувствительность пассажиров к росту тарифов значительно выше. При росте тарифов на 5% спрос падает на 11,3%.

*А) Как можно объяснить разницу в реакции пассажиров на рост стоимости билетов на пригородные железнодорожные перевозки в краткосрочном и долгосрочном периоде?

Б) О каком экономическом понятии идёт речь в задаче?*

Средний уровень

Билеты в театр

Олимпиада СПбГУ · 2014 · 9 кл.

На рынке театральных билетов присутствуют две группы покупателей: покупатели дешевых билетов и покупатели дорогих билетов, спрос которых задан следующими функциями: $Q_{1}=60-P, Q_{2}=40-P$ и две группы продавцов: сеть театральных касс «билетер.ру» и сеть театральных касс «безтеатра.нет» с функциями предложения: $Q_{1}=-10+P, Q_{2}=P,$ где Q – количество товара в штуках, Р – цена товара в сотнях рублей. Определите:

На какое количество товара будет предъявлен спрос, если установится цена $Р=30$ сотен рублей.
Какое количество товара будет предложено продавцами рынка при установившейся цене $Р=20$ .
При какой цене и объеме продаж на данном рынке возможно равновесие.
Каковы величины коэффициентов эластичности спроса и предложения при равновесии

рынка.

Решение

Суммарный спрос различен на разных интервалах цены:

Q_{d} =\begin{cases} 100-2p,&\text{при P от 0 до 40} \\ 60-p,&\text{при P от 40 до 60 } \end{cases}

Поэтому, если $Р=30$ , то $Q=100-2×30=40$ шт. 2. Суммарное предложение различно на разных интервалах цены:

Q_{s} =\begin{cases} p,&\text{при P от 0 до 10} \\ -10+2p,&\text{при P выше 10 } \end{cases}

Если $Р=20$ , то $Q=-10 + 2×20=30$ шт. 3. Равновесие

Спрос при $Q=20$ задан функцией $Q_{d}=100-2Р$ , предложение на этом участке задано функцией $Q_{s}=-10+2Р$ . Следовательно, равновесие определяется пересечением этих двух функций: $Q=100-2Р =-10+2Р$ , откуда

$Р=27,5$ сотен руб. $Q=45$ шт. 4. Коэффициент эластичности спроса определяется по формуле $E^{p}_{d}=-2× P/Q=-2× 27.5/45=-1,22$

Коэффициент эластичности предложения определяется по формуле $E^{p}_{s}=2×P/Q=2× 27.5/45=1,22$

Ответ. 1. $40$ шт. 2. $30$ шт. 3. $P=27.5, Q=45$ шт. 4. $E^{p}_{d}=-1,22, E^{p}_{s}=1,22$

Задача 1 (СПбГУ 2016)

Олимпиада СПбГУ · 2016 · 8–9 кл.

Спрос и предложение в государстве Сказочная страна на рынке Волшебных палочек заданы функциями $Q_D = 200/P$ и $Q_S = – 10 + P$ , где $Q$ – объем товара (Волшебных палочек) в тысячах штук, $P$ – цена одной Волшебной палочки в золотых.

Определите:

Каковы равновесные параметры рынка, т.е. цена и объем продаж Волшебных палочек?
Каковы величины коэффициентов эластичности спроса и предложения в точке равновесия?
Если для поддержания производства Волшебных палочек государство Сказочная страна выплачивает производителям рынка дотацию в размере $2$ золотых на каждую Волшебную палочку, какими станут равновесные параметры?
Какими станут равновесные параметры, если вместо дотаций государство Сказочная страна введет потоварный налог на единицу продукции в размере $2$ монеты?

Олимпиадный уровень

Диалог об эластичности

ВсОШ · заключительный этап · 2016

— Отличная погодка сегодня! – воскликнул Оптимист, заходя в отдел продаж.

— Днем обещают дожди... – ответил Пессимист.

— В этом месяце объем продаж нашего товара вырос, и это при том, что функция спроса на него осталась прежней! – радовался Оптимист.

— Еще бы, мы ведь снизили цены. Те же единицы продукции, что еще месяц назад мы продавали по более высокой цене, в этом месяце пошли в продажу по сниженной цене, и на этом мы потеряли часть выручки, – возразил Пессимист.

— Но зато в этом месяце мы продали много новых единиц продукции, и выручка, которую мы получили с их продажи, в полтора раза превосходит потери, которые ты только что упомянул! – начал спорить Оптимист. – Да и снижение цены очень незначительно, всего несколько процентов.

Что можно сказать об эластичности спроса на товар, судя по этому диалогу?

Задача 1 заключительного этапа ВОШ — 2007

ВсОШ · заключительный этап · 2007

Спрос на товар X в регионе A задаётся функцией $Q_{A}(P)$ , а в регионе B – функцией $Q_{B}(P)$ , где $Q_{A}$ и $Q_{B}$ – количества товара (в штуках), а P – его цена. В регионе C спрос на этот товар изначально равен нулю. «Институт экономических исследований» страны решил изучить особенности предложения товара X в регионе C и с этой целью стал предъявлять спрос на товар X в количестве $Q_{C}(P)$ штук, определяя $Q_{C}$ таким образом, что $Q_{C}(P)=Q_{A}(P)*Q_{B}(P)$ . В ходе эксперимента выяснилось, что товар X в регионе C производит единственная фирма, которая ранее экспортировала свою продукцию в регионы А и В. При возникновении спроса, внутри региона фирма стала продавать продукцию на региональном рынке по цене Po. Известно, что при цене Po эластичности спроса на товар X в регионах A и B равны, соответственно, (-0,3) и (-0,2). Определите, получает ли фирма, производящая товар в регионе С, максимальную прибыль. Если нет, то как ей следует изменить цену, чтобы максимизировать прибыль?

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.