Проценты, вклады и сложный процент

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

2 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

У жителей Страны чудес изменились доходы. Реакция населения Страны чудес на изменения дохода такова, что при увеличении дохода на $1$ % расходы на потребление снижаются на $0,6$ %. На данное время расходы на потребление в Стране чудес составляют в среднем $70$ % всего дохода.

Если доходы в ближайшее время увеличатся на $10$ %, каким станет удельный вес расходов на потребление от всего дохода?

Р2

Задача Р2

Заядлый театрал обратил внимание на то, что, если много билетов на спектакль распространяется бесплатно (выдаются контрамарки), то после антракта освобождается намного больше мест, чем в случае, когда контрамарок не предоставляется. Он привел следующее объяснение своему наблюдению: «Очевидно, меньшее число освободившихся после антракта мест в зале в случае отсутствия контрамарок указывает на то, что зрители не готовы отказаться от просмотра следующего акта, если заплатили за это значительную сумму, и готовы, если право посмотреть спектакль досталось им бесплатно».

Согласны ли вы с мнением театрала? Можете ли вы предоставить ему возражения?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Заоч. задача 3 НОЦ ВолНЦ РАН (7-8 класс, часть Б)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2016 · 7–8 кл.

Банк выплачивает 12% годовых. По итогам двух лет клиент получил 72 000 рублей (включая первоначальную сумму и начисленные проценты). Какую сумму он для этого должен был положить на счет?

Теория

Проценты и прогрессии

Проценты

Процент — это сотая часть: $1\% = 0{,}01$ . Найти $p\%$ от числа $A$ — значит умножить $A$ на $\dfrac{p}{100}$ .

Увеличение и уменьшение на проценты

Если цена $P$ выросла на $p\%$ , новая цена равна $P\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ . Если упала на $p\%$ , новая цена $P\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ . Множитель $1 + \dfrac{p}{100}$ удобно называть коэффициентом роста.

Процентное изменение и процентные пункты

Процентное изменение величины: $\dfrac{\text{новое} - \text{старое}}{\text{старое}} \cdot 100\%$ . Если же сама величина измеряется в процентах (ставка, безработица, инфляция), разность двух процентов называется процентными пунктами. Безработица выросла с 4% до 5%: это рост на 1 процентный пункт, но на 25% в относительном выражении.

Приближённые формулы для малых процентов

Если две величины растут на небольшие проценты $a$ % и $b$ %, то их произведение растёт примерно на $(a + b)$ %, а частное примерно на $(a - b)$ %. Например, если цены выросли на 3%, а количество на 2%, выручка $P \cdot Q$ выросла примерно на 5% (точно: $1{,}03 \cdot 1{,}02 = 1{,}0506$ , то есть на 5,06%). Это правило понадобится для связи номинальных и реальных величин в макроэкономике.

Сложные проценты

Вклад 1000 рублей под 10% годовых. Через год на счёте $1000 \cdot 1{,}1 = 1100$ . Если проценты начисляются и на уже начисленные проценты, через два года будет $1100 \cdot 1{,}1 = 1210$ , через $n$ лет

S_n = S_0(1 + r)^n.

Это и есть сложные проценты. При простых процентах начисление идёт только на исходную сумму: $S_{n} = S_{0}(1 + rn)$ . Подробно о вкладах и кредитах см. часть о финансах; здесь важна сама математика.

Вклады, сложные проценты и инфляция

Простой пример

Вклад 100 000 под 12% годовых.

1. Простые проценты за 2 года: $100 000 \cdot (1 + 2 \cdot 0{,}12) = 124 000$ .
1. С ежегодной капитализацией: $100 000 \cdot 1{,}12^{2} = 125 440$ .
1. С ежемесячной капитализацией эффективная ставка $1{,}01^{12} - 1 \approx 12{,}68$ %; за год 112 683.

**Рис. 81.1:** Простые и сложные проценты: за 10 лет 220 против 311 тысяч, за 20 лет 340 против 965

Эффективная ставка

При капитализации $n$ раз в год по номинальной годовой ставке $r$ :

1 + r_e = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n.

Пример: 10% годовых с ежемесячной капитализацией дают эффективные 10,47%.

Нестандартные схемы накоплениядля заключительного этапа

Если взносы растут в геометрической прогрессии (каждый месяц в $y$ раз больше), итоговую сумму сворачивают по формуле суммы геометрической прогрессии. Если в арифметической, сумма вида $\sum kq^k$ считается методом «пирамидки» или через производную суммы геометрической прогрессии.

Разбор: утверждения о вкладах и кредитах (региональный этап 2024/25)

Сравнение двух вкладов

Задачи

Базовый уровень

Выбор вклада

ВсОШ · муниципальный этап · 2017 · 7–8 кл.

Господин Б. хочет воспользоваться услугами банка и положить свои сбережения на срочный депозит. Помогите Б. выбрать вид вклада, если в городе располагаются два банка, каждый из которых предлагает свои $\%$ по вкладу:

Банк	Вклад	Год 1	Год 2
C	"Вверх"	$+5\%$	$+15\%$
P	"Стоик"	$+10\%$	$+11\%$
"Егоза"	$+20\%$	$+1\%$

Начисление процентов по вкладу происходит раз в год (предполагается сложный процент). Помогите выбрать вклад и запишите, сколько рублей прибыли получит Б., вложив 100 рублей.

Открытие депозита в банке (8 класс)

Высшая проба · 2015 · 8 кл.

Гражданин N в начале января текущего года планирует разместить свои накопления в размере 200 тыс. руб. в банке. У него есть возможность положить средства на вклад «Выгодный» с годовой процентной ставкой 20%, которая зафиксирована на весь срок договора по вкладу, или на вклад «Доходный». Годовая процентная ставка по этому вкладу на первый год обслуживания клиента составляет 30% и снижается в три раза на второй год обслуживания. Проценты по каждому вкладу, полученные за первый год, прибавляются к первоначальной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются на эту новую сумму. Срок действия вклада для обоих вариантов размещения составляет 2 года. При досрочном закрытии вклада проценты по вкладу не начисляются. Вклад «Доходный» не предусматривает снятие средств в течение срока вклада. Вклад «Выгодный» разрешает снятие средств в течение срока действия вклада, но выплата процентов на сумму, снятую с депозита до момента начисления процентов, не производится. Начисления процентов по каждому вкладу осуществляются в конце каждого календарного года. Гражданин N планирует положить средства в банк, зная, что 50 тыс. руб. он должен будет снять с депозита в начале второго года. Распределить свои средства между вкладами он может в любой пропорции.

Считая, что гражданин N стремится получить наибольший доход с депозита, определите, как следует ему распределить свои средства по предлагаемым вкладам?

Решение

Каждый рубль, размещённый в банке на вклад «Выгодный» к моменту закрытия вклада принесёт $1\times 1.2\times 1.2=144$ рубля. Каждый рубль, размещённый в банке на вклад «Доходный» принесёт к моменту закрытия вклада $1\times 1.3\times 1.1=1.43$ рубля. Поэтому даже при наличии ограничения на необходимость снятия $50$ тыс. рублей в начале второго года все денежные средства следует разместить на вкладе «Выгодный».

Альтернативное решение:

По условию начисление происходит по сложному проценту. Поскольку деньги можно снимать только с «Выгодного» вклада, то гражданину $N$ логично положить $41666, (6)$ руб. именно на этот вклад. Предположим, что дополнительно гражданин $N$ кладет некоторую сумму денег $X$ на этот же вклад, а остальную сумму ( $158 333, (3)$ руб. - $X$ ) – на вклад «Доходный». Тогда суммарный доход гражданина $N$ будет равен:

[ 41666, 6 +X \cdot 1.2−50000 \cdot 1.2 + 158333. 3 -X \cdot1.3⋅1.1 − 150 000]

1.44X+76416. 6 −1.43X \to \underset{X\le 158333,(3)}{max}

Выражение достигает максимума при $X=158333, (3).$ Следовательно, гражданин $N$ получит максимальный доход, если положит все деньги на «Выгодный» вклад, при этом его доход составит $78$ тыс. руб.

Критерии проверки:

За полное решение – максимальный балл,25 баллов
Выписан только ответ – 2 балла
Посчитан один из возможных вариантов распределения денег по вкладам с расчетами дохода гражданина $N$ – 5 баллов
Посчитаны два варианта из возможных вариантов распределения денег –5+3 = 8 баллов
Посчитано множество вариантов распределения денег, но отсутствует решение и аргументация в общем виде – 20 баллов
Рассчитана минимальная сумма, которую гражданин $N$ должен положить на вклад «Выгодный», чтобы в начале второго года он мог снять $50$ тыс. руб. (т.е. 41 666.6) – плюс 5 баллов

Примечания

аргумент, что $288$ тыс. (если все деньги положить на «Выгодный») > $286$ тыс. (если все деньги положить на «Доходный») не является обоснованием в общем случае и не принимает во внимание тот факт, что гражданин $N$ должен снять в начале второго года 50 тыс. руб., поэтому такие аргументы оценивались в 5 баллов
если участник перепутал условия задачи, то максимальный балл за такие решения составил 15 баллов

Средний уровень

Рациональная аренда

Высшая проба · 2012 · 11 кл.

Молодой преподаватель экономики снимает квартиру в городе М. и в начале каждого месяца платит за аренду 26 000 руб. Деньги он снимает со своего счета в банке. Ежемесячно на сумму остатка на счете банк начисляет процент по ставке $r \%$ . Придя в начале очередного месяца за деньгами, хозяин квартиры предложил молодому экономисту следующую сделку: если он оплатит аренду сразу за два месяца вперед, то арендная плата за каждый из этих двух месяцев будет снижена до 25 500 руб. Если предложение будет принято, то в следующий раз хозяин придет за деньгами через два месяца и вновь потребует 26 000 руб. При каких значениях $r$ арендатору стоит принимать это предложение?

Преподаватель максимизирует сумму, которая останется у него на счете через два месяца. Сумма, которая имеется на счете у арендатора на момент принятия решения, достаточно велика: считайте, что ее хватит для оплаты аренды при любом выбранном варианте.

Инвестирование

Московская олимпиада (МОШ) · 2019 · 8 кл.

Г-н Картошин должен решить, как инвестировать 100 тыс. руб. сроком на два года. В распоряжении г-на Картошина имеются два альтернативных фонда.

Фонд 1 обещает доходность в размере 10 % годовых по формуле простого процента. Помимо этого, при изъятии средств в конце второго года фонд удерживает $x\cdot 100\%$ от начисленных фондом процентов (с первоначально внесённых 100 тыс. руб. этот процент не взымается).

Фонд 2 предлагает доходность в размере 10 % годовых в первый год и $r\cdot 100\%$ во второй год. Фонд ежегодно капитализирует проценты, т. е. использует формулу сложного процента. При изъятии средств в конце второго года фонд удерживает фиксированную комиссию в размере 5 тыс. руб.

Цель г-на Картошина — выбрать фонд для инвестирования, чтобы достичь максимальной доходности по итогам двух лет с учетом расходов на изъятие средств.

В какой фонд будет инвестировать г-н Картошин и какую сумму денег он получит по истечении двух лет, если $x = 0,2$ и $r = 0,05$ ?
Определите, при каком значении $r$ г-ну Картошину будет безразлично, в какой фонд инвестировать, если $x = 0,31$ .
При каких значениях $x$ г-н Картошин не будет вкладывать средства в фонд 2, какой бы ни была ставка $r$ ?

Олимпиадный уровень

Интернет на весь год

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 10 кл.

Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой $s\cdot 100 \%$ . Месячная процентная ставка по депозитам составляет $r \cdot 100 \%$ и не меняется. Вы максимизируете сумму, которая будет лежать на Вашем счету в конце года (изначально у Вас на счету лежит сумма, достаточная для оплаты услуг по любой схеме). Для каждого значения r укажите все значения s, при которых согласиться на предложение провайдера будет выгодно.

Вклад Андрея

Олимпиада СПбГУ · 2014

Сосед Андрей решил открыть вклад на определённую сумму на несколько лет. Ему нужно сделать выбор между двумя банками: «Сиреной» и «Первым городским банком». «Первый городской банк» предлагает следующие условия: часть суммы положить под p% годовых, другую часть, но не большую половины всей суммы — под q% годовых (p < q). Банк «Сирена» предлагает один вариант: положить всю сумму под $(p+q)/2\%$ годовых.

Какой банк предлагает более выгодные условия?
Пусть $p=4$ и $q=14$ , а a и b — суммы, которые Андрей положит по p% и q% годовых, соответственно, если решит воспользоваться «Первым городским банком». При каком наименьшем значении отношения a/b проценты, которые ему начислили бы в банке «Сирена» за два года были бы не меньше, чем в «Первом городском банке»? Ответ округлите до сотых.

Решение

За n лет в первом банке ( в «Первом городском банке») исходная сумма a + b возрастёт до величины

a\left(1+\frac{p}{100}\right)^n+b\left(1+\frac{q}{100}\right)^n=\frac{a(p+100)^n+b(q+100)^n}{100^n}

а во втором банке (банке «Сирена») — до величины:

(a+b)\left(1+\frac{p+q}{200}\right)^n=\frac{(a+b)(p+q+200)^n}{200^n}

Для краткости введём обозначения $p + u = 100$ и $q + v = 100.$ Тогда в первом случае получим величину

\frac{au^n+bv^n}{100^n} \ (1)

а во втором — величину:

\frac{(a+b)(u+v)^n}{200^n} \ (2)

Очевидно, что если в числителе дроби (1) число a уменьшить на некоторую величину, а b увеличить на ту же величину, то вся дробь возрастёт. Поэтому наибольшее значение суммы, до которой может возрасти вклад в первом банке равно:

\dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} \ (3)

Докажем, что для любого n >1 справедливо неравенство

\frac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} >\dfrac{(a+b)(u+v)^n}{200^n}

Разделив обе части на $\dfrac{a+b}{100^n}$ , получим равносильное неравенство:

\dfrac{u^n+v^n}{2} >\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^n

Это неравенство можно легко доказать множеством разных способов, например, используя метод математической индукции, заметив, что оно выполняется, начиная с n=2, или используя свойство монотонности данных последовательностей, сделав определенные алгебраические преобразования, вычислить пределы при n стремящимся к бесконечности правой и левой части.

Приведём следующий вариант доказательства.

Разделим обе его части на $v^n$

\dfrac{(u/v)^n+1}{2} >\left(\dfrac{u/v+1}{2}\right)^n

Заметим, что по условию $0 \lt \dfrac{u}{v}\lt1$ . Рассмотрим на промежутке (0;1] функцию: $f(x)=\dfrac{x^n+1}{2}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^n$

Так как $f'(x)=\dfrac{1}{2}nx^{n-1}-\dfrac{1}{2}n\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{n}{2}\Biggl(x^{n-1}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}\Biggr)$

и $x\lt \dfrac{x+1}{2}$ при $0 \lt x \lt 1$ , то на этом промежутке $f'(x) < 0$ , и, следовательно, функция f строго убывает. Так как $f (1) = 0$ , то при $0 \lt x \lt1$ справедливо неравенство $f(x)>0$

Проценты, начисленные в банке «Сирена» за два года будут не меньше, чем в первом в том и только в том случае, если выполняется неравенство:

au^2b+bv^2 \leq (a+b)\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2

т.е. если

\begin{array}{c}a\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-au^2 \geqslant bv^2-b\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2 \\ a\Biggl(\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-u^2\Biggr) \geqslant b\Biggl(v^2-\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2\Biggr) \\ a(v-u)(3u+v) \geqslant b(v-u)(u+3v)\end{array}

Учитывая того, что $v > u$ , получаем, что последнее неравенство равносильно неравенству:

\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{u+3v}{v+3u}

Подставляя u=104, v=114 в последнее неравенство, получаем: $\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{446}{426} \approx 1,05$

Ответ. 1,05

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.