Кредиты и их полная стоимость

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

2 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

В день своего восемнадцатилетия Иван открыл вклад в банке и положил на него некоторую сумму. Банк начислял на эту сумму 10 % в конце каждого года перед очередным Днем рождения Ивана и прибавлял эти проценты к основной сумме вклада (следовательно, каждый следующий год проценты начислялись на большую сумму, чем предыдущий). Никаких других операций с~деньгами на вкладе не производилось. Когда Ивану исполнилось 22 года, он сразу же закрыл вклад, дождавшись очередного начисления процентов. В этот момент на вкладе было 36 602,5 рубля. Какую сумму Иван положил в банк изначально? Запишите ответ в рублях, при необходимости округлив его до целых.

Р2

Задача Р2

Есть два составителя задач по экономике для муниципального этапа 2015: А и Б. А может составить 5 задач для 7‒8-го классов или 10 задач для

9-го класса. Б может составить 15 задач для 7‒8-го классов или 5 задач для

9-го класса. Альтернативные издержки составления задач постоянны.

Какое наибольшее суммарное количество задач могут составить А и Б?
Перед А и Б поставлена цель: составить 11 задач для 7‒8-го классов

и 11 задач для 9-го класса. Смогут ли они справиться с этой нелёгкой работой?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Оч. задача 3 НОЦ ВолНЦ РАН (7-8 класс, часть Б)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2016 · 7–8 кл.

Максим Петрович решил вложить деньги в бизнес своего друга. Так как сейчас у него самого денег нет, то он хочет взять кредит 500 000 рублей в банке на срок 2 года с возвратом всей суммы вместе с

процентами в конце срока (простой процент). К концу второго года Максим Петрович планирует от бизнеса друга получить обратно 650 000 рублей. По какой максимальной ставке годового простого процента Максиму Петровичу можно взять в банке кредит, чтобы не остаться в минусе?

Теория

Кредиты

Дифференцированная схема

Тело долга $S$ уменьшается каждый год на $\dfrac{S}{n}$ , а проценты платятся на текущий остаток. Проценты образуют арифметическую прогрессию, переплата

\text{Переплата}_{\text{дифф}} = \frac{r\,(n + 1)\,S}{2}.

Аннуитетная схема

Равные платежи $X$ . Условие погашения: $S(1 + r)^n - X(1 + r)^{n-1} - \ldots - X = 0$ , откуда

X = \frac{r(1 + r)^n S}{(1 + r)^n - 1}.

Общий приём

Кредитная линия

Договор, по которому заёмщик может брать деньги в пределах лимита по мере необходимости. Проценты платятся только на выбранную сумму, но за резервирование неиспользованного лимита банк часто берёт отдельную плату. Поэтому разные кредитные линии сравнивают по общей стоимости при ожидаемом использовании; качественная задача финала 2025 года на эту тему разобрана ниже.

Ипотека или аренда

Сравнивают полные ежемесячные издержки: аренду против процентов по ипотеке плюс альтернативные издержки первоначального взноса (доход, который он принёс бы на вкладе), плюс расходы на содержание, минус ожидаемый рост цены жилья. Это классическая задача на альтернативные издержки (сюжет «Ипотека Марфы», заключительный этап 2019).

Скрытая стоимость кредита

Разбор: «Кредитные линии и их эффекты» (заключительный этап 2025, 10 класс)

заранее, поэтому при внезапном разрыве (упали продажи, выросли издержки) деньги можно получить сразу, без новой проверки. Обычный кредит в такой момент нужно заново одобрять: это долго, а фирма в трудном положении выглядит плохим заёмщиком, и ей могут отказать. По критериям аргумент «кредит дороже линии» не засчитывался:

дорогой кредит всё равно решил бы проблему ликвидности.

Почему фирмы с нестабильными потоками реже пользуются линиями. Банк видит отчётность заёмщиков. Для него фирма с устойчивыми потоками менее рискованна, и он предлагает ей лучшие условия; фирме с волатильными потоками он предлагает более высокую ставку за риск. Поэтому такой фирме сравнительно выгоднее держать собственный резерв ликвидности (у которого тоже есть альтернативная стоимость), чем пользоваться дорогой линией. Дополнительный механизм из исследований: доступ к линии обычно обусловлен финансовыми показателями (ковенантами), и волатильная фирма рискует потерять линию как раз в плохой момент.
Зачем плата за неиспользованный лимит и меню вариантов. Банк должен держать резерв ликвидности и капитал под весь лимит, это альтернативные издержки, которые покрывает плата. Меню (высокая плата за лимит и низкая ставка или наоборот) это скрининг, как дискриминация второй степени: фирмы, рассчитывающие много брать, выбирают низкую ставку, рассчитывающие мало брать выбирают низкую плату за лимит. Банк зарабатывает больше и узнаёт, кто сколько собирается использовать.
Кризис. Кроме реальной потребности в деньгах, фирмы выбирают линии «про запас», опасаясь, что банк их сократит или сам разорится; так было в США в марте 2020 года. Большой объём одобренных линий в кризис превращается в одновременный отток ликвидности из банков, который может сократить кредитование остальных и усилить кризис, хотя самим фирмам линии помогают избежать банкротств.

Задачи

Базовый уровень

Задача 3 НОЦ ВолНЦ РАН (Заочный тур, 9 класс, часть Б)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2017 · 9 кл.

31 января 2015 года Иван взял в банке некую сумму в кредит на срок 4 года по ставке 25% годовых. Договор предусматривает погашение кредита по популярной аннуитетной схеме: в конце каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 25%), а затем Иван переводит в банк фиксированный платеж в размере Z рублей. Банк рассчитал, что для того, чтобы долг был полностью выплачен за 4 года, Z должен равняться 625 тыс. рублей. Какую сумму Иван взял в кредит?

Тугрики и еврики

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 8–9 кл.

С наступлением нового года мистер Франк решил подвести итоги года прошедшего. Ровно год назад он пришел в отделение банка с целью взять два кредита: один для покупки машины, а другой — на образование сыну. Изучив условия кредитов, предлагаемых банком, он решил взять сумму 120 000 тугриков под 32 % годовых, а также эквивалент этой суммы в евриках под 10 % годовых. Обменный курс на тот момент составлял 60 тугриков за 1 еврик. Срок погашения обоих кредитов — один год, то есть вернуть оба кредита с процентами нужно сейчас. Считайте, что в любой момент можно менять валюты в любую сторону по действующему на этот момент валютному курсу.

В середине года еврики неожиданно подорожали относительно тугриков на $X$ %. Какие значения может принимать $X$ , если известно, что кредит в тугриках оказался выгоднее кредита в евриках?

Средний уровень

Я взял кредит, чтобы погасить кредит, мы разные

Авторские задачи · 2026

Антону необходим кредит в размере 13 963 950 рублей, чтобы оплатить обучение.

Банк предлагает Антону три варианта кредита, каждый из которых должен быть погашен за 6 лет. Платежи производятся раз в год после начисления процентов, которые также начисляются раз в год. Условия кредитования следующие:

По ставке 5% годовых. Первые 4 года Антону необходимо выплачивать только проценты, не уменьшая основную сумму долга. Затем процентная ставка увеличивается до 25% годовых, и кредит необходимо погасить двумя равными платежами в течение двух лет.
По ставке 20% годовых. Кредит необходимо погасить шестью равными платежами за 6 лет.
По ставке 8% годовых. Кредит необходимо погасить шестью платежами таким образом, чтобы каждый год сумма основного долга уменьшалась на одну и ту же величину.

а) Для каждого из трёх вариантов найдите, сколько Антон заплатит банку за 6 лет.

б) Перечисленные варианты кредитования часто встречаются в реальной жизни. Для каждого из следующих случаев выберите наиболее подходящий тип кредита из трёх выше и объясните свой выбор:

Образовательный кредит, если студент планирует самостоятельно его выплачивать.
Потребительский кредит.
Кредит для предприятия, которое ожидает высокие доходы уже в первые годы и стремится минимизировать переплату.
Кредит для предприятия, которое ожидает высокие доходы только через несколько лет.
Кредит для предприятия, которое планирует выйти на IPO в ближайшие 2 года и старается продемонстрировать высокую прибыль уже сейчас.

в) В каких случаях в России можно получить налоговый вычет по уплаченным процентам за кредит? Опишите все возможные ситуации.

Аннуитет Ерофея (advanced)

Сибириада · 2015 · 11 кл.

Ерофей взял в «Бета-банке» кредит на сумму $B$ на срок 12 месяцев по ставке $(100r)$ % в месяц. Договор предусматривает погашение кредита по популярной аннуитетной схеме: в конце каждого месяца банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $(100r)$ %), а затем Ерофей переводит в банк некий фиксированный платеж. Банк рассчитал, что, для того чтобы долг был полностью выплачен за 12 месяцев, этот платеж должен равняться $X$ .

а) Выразите $B$ через $X$ и $r$ .

б) В конце третьего месяца Ерофей неожиданно получил на работе премию и решил погасить часть кредита досрочно. При досрочном погашении банк производит перерасчет платежа, который заемщик должен будет ежемесячно вносить в оставшиеся месяцы. Какую сумму Ерофей должен вернуть банку (помимо $X$ ) в конце третьего месяца, чтобы в месяцы с 4-го по 12-й платить не $X$ , а $Y$ , где $Y < X$ ? Ответ выразите через $X$ , $Y$ и $r$ .

Решение

а) **(12 баллов за пункт)**Обозначим сумму долга Ерофея в конце месяца i за $D_i. D_1=(1+r)B-X; D_2=(1+r)D_1-X=(1+r)^2 B-(1+r)X-X;D_3=(1+r)D_2-X=(1+r)^3 B-(1+r)^2 X-(1+r)X-X$ . Заметив закономерность, получаем, что $D_12=(1+r)^12 B-(1+r)^11 X-…-(1+r)X-X.$ (10 баллов)

C другой стороны, D_12=0. (1 балл) Выражая из этого уравнения B, получаем, что

$B=\frac{X}{(1+r)}+\frac{X}{(1+r)^2} +⋯+\frac{X}{(1+r)^{12}}$ . (1 балл)

Иными словами, первоначальная сумма долга равна приведенной стоимости всех будущих платежей по кредиту. Сумму, стоящую в правой части, можно свернуть по формуле суммы геометрической прогрессии. Окончательно получаем, что

$B=\frac{X}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^{12}})$ .

б) (13 баллов за пункт)

Обозначим сумму, которую заемщик возвращает досрочно, за Z. Заплатив Z в конце третьего месяца, заемщик в замен получает экономию (X-Y) в платежах, которые он будет делать в месяцы с 4-ый по 12-ый. Таким образом, ситуация эквивалентна тому, что банк в начале четвертого месяца берет у Ерофея «кредит» в размере Z, который он затем возвращает Ерофею по аннуитетной схеме с ежемесячным «платежом» X-Y. Ставка «кредита» по-прежнему равна (100r)% в месяц, а срок «кредита» составляет 9 месяцев. Формулу, выражающую сумму кредита через размер платежа и ставку процента, мы уже нашли в пункте (а); необходимо только заменить в ней X на (X-Y), B на Z и 12 на 9.

Таким образом,

$Z=\frac{X-Y}{r} \left(1-\frac{1}{(1+r)^9}\right).$

Олимпиадный уровень

Ипотека Марфы

ВсОШ · заключительный этап · 2019 · 9 кл.

Марфа хочет купить квартиру, но сбережений у нее нет –– придется брать ипотеку.

Банк предлагает такие условия: срок кредита 15 лет, годовая ставка 10 % (сложные проценты), выплата происходит раз в год (в конце года) равными платежами. Если Марфа не будет платить, банк заберет квартиру (но ничего другого банк забрать не может).

Политика банка предусматривает два ограничения на ипотечные кредиты:

Коэффициент «платеж/доход» должен составлять не более 50 %.
Первоначальный взнос должен быть не менее 10 % цены квартиры.

Минимальный первоначальный взнос готовы оплатить Марфины родители (бесплатно для нее). Доход Марфы составляет 100 тыс. руб. в месяц (считайте для простоты, что он не будет меняться до конца выплат по кредиту), часть его она готова ежемесячно откладывать на беспроцентный накопительный счет, чтобы платить по кредиту в конце года. Выбор квартир на рынке большой, и Марфа хочет взять самую дорогую, какую сможет себе позволить.

а) (3 балла) Сколько будет стоить квартира? Округлите ответ до целых тысяч руб.

б) (3 балла) Объясните, почему банки вводят ограничение на коэффициент «платеж/доход»? Приведите одну причину.

в) (3 балла) Объясните, почему банки вводят ограничение на минимальный первоначальный взнос. Иными словами, почему бы банку просто не выдавать кредит

на всю сумму? Приведите одну причину (не такую, как в пункте б)).

Потребление или сбережения?

ВсОШ · заключительный этап · 2013

Семен Кузнецов планирует свои расходы на ближайшие два года. К моменту начала 2013 года у него нет ни долгов, ни сбережений. Его доход в 2013 году составит 440 тыс. тугриков, а в 2014-м — 286 тыс. тугриков.

Семен может потратить в 2013 году весь свой доход на потребление, а может сберечь его часть, поместив деньги в банк под 20 % годовых, а также может потратить больше, чем 440 тыс. тугриков, взяв кредит под 30 % годовых. Максимальный объем кредита составляет 100 тыс. тугриков, и в 2014 году он должен быть полностью погашен. В 2014 году дополнительных кредитов Семен брать не может.

а) (8 баллов) Обозначим потребление Семена в 2013 и в 2014 году как $C_1$ и $C_2$ соответственно. Изобразите на графике в координатах $(C_1;C_2)$ все доступные Семену комбинации потребления в 2013 и в 2014 годах. Не забудьте указать на своем рисунке координаты всех ключевых точек.

б) (4 балла) Предположим, что предпочтения Семена устроены следующим образом: он хотел бы, во-первых, иметь одинаковый уровень потребления в 2013 и в 2014 годах, а во-вторых, он хотел бы полностью потратить за эти два года свои доходы (то есть по итогам 2014 года он не хочет иметь ни долгов, ни накоплений). Какой уровень потребления следует выбрать Семену в каждом из рассматриваемых периодов?

**в) (8 баллов)**Рассмотрим экономику страны Фишерландии, в которой живет много потребителей, точно таких же, как Семен Кузнецов. Политика, проводимая центральным банком этой страны, не влияет на доходы потребителей, однако может воздействовать на процентные ставки. Центральный банк Фишерландии хотел бы стимулировать уровень частных сбережений ее граждан в 2013 году, увеличив его на 5 % по сравнению с тем уровнем сбережений, который наблюдается при нынешних процентных ставках. Следует ли центральному банку для достижения этой цели увеличивать или уменьшать ставку процента по сбережениям? До какого уровня? Дайте содержательную интерпретацию полученного результата.

Решение

Помимо прочего задача иллюстрирует тот интересный факт, что иногда для стимулирования сбережений необходимо снижать ставку процента по ним.

(а) Все достижимые уровни потребления находятся на границе и внутри области, изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Множество достижимых комбинаций

Точка на оси ординат соответствует ситуации, когда в первом периоде индивид ничего не потребляет и все сберегает: $С_1=0, С_2=440*1, 2+286=814.$

Точка $С_1=440, С_2=286$ соответствует ситуации, когда потребитель не имеет в конце первого периода ни долгов ни накоплений.

Точка $С_1=540, С_2=156$ соответствует ситуации, когда индивид берет максимальный кредит 100 тугриков. В этом случае $С_2=286-1, 3*100=156$ .

(б) Оптимальный выбор нашего потребителя соответствует точке Е, изображенной на рисунке 2.

Как видно из рисунка, оптимальные уровни потребления могут быть найдены из решения следующей системы:

С_1=С_2

(1+r)С_1+С_2=(1+r)440+286

Где $r$ – это ставка процента по сбережениям, которая в нашем случае равна 0,2.

Решив эту систему, получаем:

С_1=С_2=\frac{(1+r)440+286}{2+r}=370

(в) Сбережения равны $S=440-С_1=440-\frac{(1+r)440+286}{2+r}=440-370=70$

Новые сбережения должны быть на 5% больше, чем старые:

440-\frac{(1+r)440+286}{2+r}=1{,}05 \cdot 70

Решив уравнение, получаем: $r=\frac{2}{21}<0{,}2$ . Таким образом, для повышения сбережений центральный банк должен снижать ставку процента по ним.

Такая ситуация возникает из-за того, что при снижении ставки процента наш индивид становится беднее, так как получает меньше процентных доходов. Возникает отрицательный эффект дохода (этого термина мы от школьников в решении не требуем, разумеется). Это побуждает его снижать потребление в обоих периодах. Таким образом, потребление первого периода снижается, в то время как доход индивида остается неизменным, следовательно, сбережения увеличиваются.

Ответ. (б) Потребление в каждом периоде равно $370$ , (в) снижать до уровня $\frac{2}{21}\cdot 100\%$ .

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.