Асимметрия информации

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

Часто при поступлении детей в образовательные учреждения требуется медицинская справка о проведённой вакцинации (форма 063), которая содержит информацию обо всех прививках, сделанных ребёнку. Такая справка о прививках входит в перечень документов, необходимых при поступлении в вуз.

Почему отсутствие профилактических прививок может привести к отказу при приёме в образовательные учреждения на обучение и в оздоровительные учреждения на отдых и лечение? Приведите экономическое объяснение.

Решение

Критерии оценивания:

8 баллов за один полный и корректный вариант ответа

16 баллов за два полных и корректных варианта ответа

25 баллов за три полных и корректных варианта ответа

Примерный ответ:

А) Для образовательных и оздоровительных учреждений ребенок без прививок в будущем может принести дополнительные издержки, связанные с более высокой вероятностью его заболевания и распространения болезни (издержки на дезинфекцию помещений, замену преподавателей/сотрудников и др.).

Б) Ребенок без прививок с большей вероятностью может заразить сотрудников учреждений. У больных сотрудников меньше производительность труда. Кроме того, из-за роста числа дней нетрудоспособности также сокращается объем оказываемых услуг.

В) Снижение инфекционных заболеваний приводит к предотвращению расходов общества на лечение и вреда, связанного с последствиями заболеваний. Например, вся Программа ликвидации оспы с 1967 по 1980 гг. обошлась ВОЗ в 98 млн. долларов США. Примерно столько же тратили все страны мира на лечение оспы за 30 дней в довакцинальном периоде, т.е. в течение этого срока были возмещены все расходы ВОЗ на ликвидацию оспы (Д. Henderson, 1999).

Возможны и другие варианты ответов.

Р2

Задача Р2

Рассмотрите отрасль, в которой действуют 100 максимизирующих прыбыль фирм, производящих товар Х. Все фирмы обладают одинаковыми технологиями производства с функциями совокупных издержек $TC(q_x)=cq_x$ , где $q_x$ - объем выпуска, $c > 0$ . Спрос на продукцию отрасли задан функцией: $Q^d(p)=\begin{cases} A-p, p \leq A \\ 0, p > A \end{cases}$ , где $A > 2c$ .

(а) Сравните изменение рыночной цены, вызванное введением потоварного налога со ставкой $t$ , где $t < c$ , для следующих случаев:

(1) в отрасли имеет место совершенная конкуренция (при заданном количестве фирм),

(2) в отрасли имеет место сговор, т.е. все фирмы объединились в картель.

(б) Как изменится ваш ответ на вопрос пункта (а), если функция спроса не является линейной, а имеет вид $Q^d(p)=p^{-b}$ , где $b > 1$ ?

Решение

(а) Равновесие при совершенной конкуренции – 1 балл.

В условиях совершенной конкуренции цена соответствует предельным издержкам производства.

Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

Введение потоварного налога влечет увеличение предельных издержек на величину, равную налоговой ставке, а потому цена возрастет в точности на ставку налога: $\Delta p^{\text{конк}}=t.$

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

В случае сговора фирмы продают продукцию по монопольной цене.

Найдем цену монополиста, решив задачу

\underset{(p)}{max}(p-c)(A-p)=\underset{(p)}{max}(-p^{2}+(A+c)p-Ac).

Итак,

p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.

**Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.**Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

\Delta p^{M}=\dfrac{t}{2}.

Сравнение – 1 балл.

Таким образом, цена выросла меньше, чем при совершенной конкуренции.

(б) Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.

В случае совершенной конкуренции не зависимо от вида функции спроса цена возрастет на величину налоговой ставки, так как мы имеем дело с горизонтальной кривой предложения.

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

Найдем цену при монополии, решив задачу $\underset{(p)}{max}(p-c)p^{-b}.$

Условие первого порядка $-b(p-c)p^{-b-1}+p^{-b}=0$ , откуда находим $p^{M}=\dfrac{c}{1-1/b}.$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Таким образом, в этом случае $\Delta p^{M}=\dfrac{t}{1-1/b}>t=\Delta p^{\text{конк}},$ поскольку $b>1$ , т.е. монопольная цена возрастет сильнее, чем конкурентная.

Сравнение – 2 балла.

В случае совершенной конкуренции при горизонтальной кривой предложения (обусловленной постоянством предельных издержек) вид функции спроса влияет лишь на изменение объема продаж, но не оказывает влияние на изменение цены.

В случае монополии, напротив, вид функции спроса оказывает решающее значение, поскольку определяет вид кривой предельной выручки.

Р3

Задача Р3

Фирма «Гудок» является единственным производителем на рынке паровозов в некоторой стране. У фирмы есть шесть потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного паровоза. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за паровоз, составляет 1000 монет. Второй покупатель согласен заплатить за паровоз не более 800 монет. Третий – не более 600. Четвёртый – не более 400. Наконец, пятый и шестой покупатели согласны заплатить за паровоз максимум по 200 монет. По местным законам фирма обязана продавать все паровозы по одинаковой цене. Какую цену ей следует установить для получения наибольшей выручки?

Решение

Составим наглядную таблицу:

Цена	Количество покупателей по данной цене	$\begin{array}{c} \text{Выручка}= \\ \text{Цена} \cdot \text{Количество} \\ \textbf{За формулу - 2 балла}\end{array}$
1000	1	1000
800	2	1600
600	3	1800 максимальное значение
400	4	1600
200	6	1200

Ответ. 600 монет

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Увольнение и зарплата

ВсОШ · заключительный этап · 2014

Результаты исследований реальных данных показывают, что человек, потерявший работу, скорее всего, будет получать меньшую зарплату на новом месте. При этом разница в заработной плате на старом и на новом месте отличается для разных групп работников. Объясните следующие закономерности.

а) Те, кто потерял работу в результате ликвидации предприятий, теряют меньше, чем уволенные с действующих предприятий.

б) Работники, уволенные после продолжительного срока работы, теряют больше, чем работники, проработавшие на старом месте недолго.

в) Работники интеллектуального труда («белые воротнички») теряют в заработной плате относительно больше, чем работники физического труда («синие воротнички»).

Решение

Различия можно объяснить сигналами, который подает история работника новому потенциальному работодателю, определяющему уровень заработной платы. Асимметрия информации между работником и работодателем заставляет последнего ориентироваться на факты, которые помогут ему выяснить уровень квалификации, надежность, честность работника.

а) Факт увольнения с действующего предприятия подает работодателю строго отрицательный сигнал – увольнение, скорее всего, связано именно с качествами работника, в отличие от закрытия предприятия, когда работу теряют все, вне зависимости от рабочих качеств.

б) В ходе работы, помимо общего человеческого капитала, накапливается также и специфический человеческий капитал – навыки и умения, релевантные именно на данном предприятии. Поэтому можно предложить два объяснения: 1) Уволить работника с высоким запасом специфических навыков дороже для предприятия, чем уволить работника без таковых – по причине того, что в первом случае предприятие будет вынуждено затрачивать средства на специфическую подготовку нового работника. Поэтому для потенциального работодателя большой стаж до увольнения может означать более серьезные причины для увольнения. 2) Даже если не пользоваться концепцией сигналов, у работников, чей заработок больше зависит от специфических навыков (как правило, это работники с большим стажем), человеческий капитал при переходе на новое место обесценивается сильнее.

в) Труд «синих воротничков», как правило, более стандартизирован, меньше зависит от специфических навыков и опыта. Таким образом, объяснение очень похоже на пункт б).

Теория

Асимметрия информации

Рынок «лимонов»

Подержанные машины бывают хорошие (продавец отдаст не дешевле 10, покупатель заплатит до 12) и плохие («лимоны»: продавец отдаст за 2, покупатель заплатит до 4). Половина машин хорошие.

**Рис. 72.1:** Порочный круг неблагоприятного отбора: хорошие машины уходят, средняя ценность падает, цена падает

Как рынок борется с асимметрией

Сигналы: информированная сторона совершает действие, которое дорого для «плохого» типа и дёшево для «хорошего»: гарантия на машину, диплом хорошего университета.
Скрининг: неинформированная сторона предлагает меню вариантов, чтобы типы сами себя выдали (страховки с разной франшизой, глава о дискриминации второй степени).
Репутация и проверки: отзывы, независимая диагностика.

Моральный риск

Моральный риск это скрытое действие после заключения договора: застраховав машину, человек меньше бережёт её. Подробно неблагоприятный отбор и моральный риск в страховании разобраны в части о неопределённости.

Сигнал: образование

Пример

Модель Спенса

Работники двух типов: производительность 10 и 20. Год учёбы стоит способному 5, менее способному 15. Работодатель платит 20 тем, у кого не меньше $e^{*}$ лет образования, и 10 остальным.

Решение. Менее способному невыгодно притворяться, если $15e^{*} \ge 10$ , то есть $e^{*} \ge ^{2}_{3}$ . Способному выгодно учиться, если $5e^{*} \le 10$ , то есть $e^{*} \le 2$ . Любое $e^{*}$ от $^{2}_{3}$ до 2 разделяет типы; самое дешёвое $e^{*} =^{2}_{3}$ . Образование здесь ценно как сигнал, даже если ничему не учит.

Разбор: «Продажа информации» (заключительный этап 2023)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Как продать рекомендацию, которой можно доверять

Акции трёх стартапов стоят по 30, через год ровно один из них будет стоить 54, остальные

1. Аналитик за издержки 2 узнаёт правду об одной случайной компании и рекомендует компанию; он может и не исследовать рынок, а назвать компанию наугад. Инвестор сам проверить ничего не может.

Решение. Плата только за рекомендацию. Аналитику выгодно не работать: рекомендация ничего не стоит, инвестор заплатит 0.

Плата плюс премия $b$ за успех. Честное исследование угадывает успешную компанию с вероятностью $^{1}_{3} +^{2}_{3} \cdot ^{1}_{2} =^{2}_{3}$ , наугад $^{1}_{3}$ . Работать выгодно, если $^{2}_{3}b - 2 \ge ^{1}_{3}b$ , то есть $b \ge 6$ . Инвестор согласен, пока $_{3}^{2}(54 - b) - 30 - p \ge 0$ ; аналитик выбирает $p = 6 -^{2}_{3}b$ с $b$ от 6 до 9 и получает 4.

Сертификат исследования (стоит ещё 1). Инвестор покупает акцию, только если сертификат подтверждает успех (с вероятностью $^{1}_{3}$ ): ожидаемая прибыль $^{1}_{3} \cdot 24 - p$ , он платит до 8. Прибыль аналитика $8 - 3 = 5$ .

Ответ. Сертификат выгоднее премии (5 против 4), а их сочетание прибыль не увеличивает: стимул к честной работе уже обеспечен проверяемостью.

Разбор: «Парадокс вакцинации» (заключительный этап 2021)

Разбор олимпиадной задачи

Почему частично эффективная вакцина может увеличить заболеваемость

Решение. Вакцинированные чувствуют себя защищёнными и ведут себя менее осторожно (не носят маски, собираются большими компаниями). При эффективности вакцины 60% рост рискованного поведения может перевесить защиту, и заболеваемость вырастет. Это частный случай морального риска; классический пример (эффект Пельцмана) с ремнями безопасности: защищённые водители ездят рискованнее.

Разбор: «Мотивация для менеджера» (региональный этап 2024/25)

Разбор олимпиадной задачи

Доля выручки как стимул

Спрос на продукцию монополии $q = \sqrt{e} - p$ , где $e$ усилия менеджера по маркетингу (стоят ему $e^{2}$ ). Менеджер получает долю $b$ выручки и выбирает $e$ и $q$ ; владелец выбирает $b$ и максимизирует выручку за вычетом зарплаты (других издержек нет).

Решение. Выбор объёма. При данных $b$ и $e$ менеджер максимизирует выручку $q(\sqrt{e} - q)$ : $q = \dfrac{\sqrt{e}}{2}$ , выручка $\dfrac{e}{4}$ .

Выбор усилий. Менеджер максимизирует $\dfrac{be}{4} - e^2$ : $e = \dfrac{b}{8}$ , $q = \dfrac{\sqrt{b/8}}{2}$ .

Выбор доли владельцем. Его доход $\dfrac{e}{4}(1 - b) = \dfrac{b(1 - b)}{32}$ , максимум при $b = \dfrac{1}{2}$ ; тогда $e = \dfrac{1}{16}$ , $q = \dfrac{1}{8}$ .

Ответ. $b^{*} =^{1}_{2}$ . Владелец сталкивается с компромиссом: большая доля сильнее мотивирует, но уменьшает то, что остаётся ему. За теорию таких контрактов Оливер Харт и Бенгт Хольмстрём получили Нобелевскую премию 2016 года.

Задачи

Базовый уровень

Задача 3 ОЧ-2016 (10 класс)

Открытый чемпионат школ по экономике · 2016 · 10 кл.

В стране Омега ( $\Omega$ ) продаются подержанные автомобили. Они бывают двух типов: в хорошем состоянии и в плохом состоянии.

Машины в хорошем состоянии, прослужат долго. Каждый продавец готов продать машину в хорошем состоянии не менее чем за 10 тыс. койнов. Покупатели готовы заплатить за хорошую машину не более 12 тыс. койнов.

Также на рынке продаются автомобили в плохом состоянии, которые в скором времени потребуют дорогостоящего ремонта. Каждый продавец готов продать автомобиль в плохом состоянии за 2 тыс. койнов, а покупатель готов купить такой автомобиль за 4 тыс. койнов.

Известно также, что в настоящее время половина продаваемых на рынке автомобилей имеют хорошее качество, а другая половина – плохое.

Каким цитрусовым в США называют подержанные автомобили плохого качества?
Пусть для начала и продавцы, и покупатели, знают о том, какой продаваемый автомобиль какого качества. По какой цене будут продаваться автомобили каждого вида? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.
Теперь пусть ни продавцы, ни покупатели не знают ничего о качестве автомобиля. По какой цене будут продаваться автомобили? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.
Наконец, рассмотрим ситуацию, в которой продавец знает, в каком состоянии его автомобиль. К примеру, он знает, что 10 лет назад машина побывала на дне реки. Покупатель же не может

определить, какого качества автомобиль. Какие автомобили будут продаваться и по какой цене? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.

Примечание: покупатели и продавцы знают всегда о том, за сколько кто готов продать или купить автомобиль каждого состояния (и доли автомобилей в хорошем и плохом состоянии на рынке). Если же есть неопределенность, какого качества автомобиль, то его оценивают с помощью математического ожидания. Математическим ожиданием мы называем следующую величину: $M(H) = p_1 \cdot S_1 + p_2 \cdot S_2$ , где $S_1, S_2$ – значения субъективных оценок автомобилей, а $p_1, p_2$ – вероятность попадания того или иного автомобиля. (Подсказка: в данном случае $p_1 = p_2 = 0,5$ )

Решение

0. Лимон, по статье Рынок «лимонов»: неопределенность качества и рыночный механизм (George A. Akerlof. The Market for «Lemons»: Quality Uncertainty and the Market Mechanism // The Quarterly Journal of Economics, v.84, August 1970, p. 488—500

1. Хорошие: $p \in [10; 12]$ , плохие: $p \in [2; 4]$

2. Если никто не знает о качестве автомобиля, то покупатели готовы купить автомобиль по цене $\frac{4+12}{2} = 8$ , а продавцы готовы продать по цене $\frac{2+10}{2} = 6$ . Таким образом цена будет в промежутке $[6; 8]$

3. Если на рынке продаются только плохие автомобили, то установится цена $p \in [2; 4]$

Если на рынке установится цена $p \ge 10$ , то все автомобили будут продаваться по этой цене, потому что покупатели не отличают плохой автомобиль от хорошего.

Однако покупатели, не зная о качестве, будут готовы заплатить максимум 8 (см предыдущий пункт).

Однако при цене $p \le 8$ , хорошие автомобили продаваться не будут, потому что производители готовы продавать их минимум по 10 тыс. койнов.

Хорошие автомобили продаваться не будут, таким образом, на рынке будут продаваться только плохие автомобили, поэтому цена будет лежать в промежутке $p \in [2; 4]$

Новые банковские продукты

Высшая проба · 2017 · 9 кл.

В последнее время участились случаи звонков сотрудников крупных российских банков на личные телефоны своих клиентов. Целью таких звонков является официальное предложение клиентам различных банковских продуктов (например, кредитные и дебетовые карты, депозиты, накопительные счета, кредиты и т. п.), а также предложение воспользоваться услугами индивидуальных финансовых помощников — служащих банка, которые могли бы вести дела своих клиентов. Как правило, подобные продукты подразумевают более выгодные условия их использования для клиентов, чем те, что объявлены в отделении банка или на сайте (при соблюдении клиентом некоторых дополнительных условий, иногда не требующих от него изменения финансового поведения). Зачастую банк несет дополнительные финансовые расходы на осуществление указанного информирования своих клиентов. Например, банк привлекает новых сотрудников колл-центров или нанимает аутсорсинговую компанию (как правило, это узкоспециализированная фирма, сотрудники которой выполняют работу по информированию клиентов банка и которая несет полную ответственность за качество этой работы).

Объясните, почему банки заинтересованы в подобном поведении и готовы нести дополнительные расходы.

Решение

В данной задаче можно выделить три основных аргумента, к которым можно было

отнести предлагаемые ответы:

Сигнализирование на рынке. Предлагая новые продукты индивидуально своим клиентам, банки, тем самым, сигнализируют своим клиентам о персональной заботе о них, что приводит к росту доверия. Это положительно сказывается на имидже банка, повышает репутацию банка в глазах собственных клиентов и они уже, в свою очередь, могут начать активнее сотрудничать с банком или же могут передать данную информацию своим знакомым, которые могут решить воспользоваться его услугами. По сути, банк, тратя часть своих средств, решает проблему асимметрии информации относительно качества своего обслуживания, что позволяет привлечь большее количество средств.

Основные ошибки, связанные с аргументом 1. Часто писали о том, что затраты на рекламу и обзвон могут стать сигналом относительно того, что у банка устойчивое финансовое положение и ему можно доверять. Однако, по одному звонку от банка невозможно сказать, тратит банк на эту деятельность много денег или мало (в отличие от строительства здания с колоннами). 2. Ценовая дискриминация. Когда банк обзванивает уже существующих клиентов и предлагает более выгодные условия, чем указаны на сайте и в отделении, банк проводит политику ценовой дискриминации. Он не просто привлекает дополнительных клиентов или информирует уже существующих о тех продуктах, о которых они не знали, а узнает предпочтения клиента в принципе (что позволит предлагать новые продукты в дальнейшем по более подходящим ценам) и осуществляет дискриминацию для предлагаемого продукта (т.е. снижает цену только для конкретного покупателя, чтобы привлечь именно его к использованию услуг своего банка). При этом предлагать всем данную цену не выгодно, поскольку с клиентов с высокой платежеспособностью, банк недополучит определенную сумму денег, что скажется на прибыли.

Основные ошибки, связанные с аргументом 2. Вопрос задачи был связан со стимулами банка. Аргументы, связанные со стимулами потребителей, никак не оценивались в случае, если не было перехода от них к выгоде банка.

Неверно говорить, что банк привлекает больше клиентов за счет снижения цен, потому что звонят уже существующим клиентам, соответственно, больше клиентов именно за счет этого более выгодного предложения не станет (т.к. новым такие условия, обычно, не предлагают). С другой стороны, если банку хочется привлечь клиентов и выручка значительно при этом увеличивается, то можно сделать новые условия доступными для всех, при этом у банка не будет никаких дополнительных затрат на звонки.<\li> 3. Привлечение средств. Данный аспект связан с тем, что банки стремятся привлечь как можно больше средств, сконцентрировать деньги клиентов на своих счетах. Чаще всего эта причина актуальна, когда банки испытывают определенные трудности с доступом к финансовым ресурсам. Поэтому, для поддержания стабильности своих счетов и уменьшения вероятности огромных потерь, банк может привлекать финансирование через предложение более выгодных условий своим вкладчикам. Возможно, что разрыв между спросом и предложением средств в банке связан не с его плохим финансовым состоянием, а с большим спросом на выдаваемые им займы. Обычно такие проблемы краткосрочные и решаются через заимствования overnight на межбанковском рынке, но когда его работа нарушена и ставки там очень высокие, подобная политика привлечения вкладов может быть очень выгодной.

Основные ошибки, связанные с аргументом 3. Повышенная ставка процента здесь вряд ли связана с платой за риск (если клиенты считают, что у данного банка есть риск обанктротиться, то остановить отток средств с активов увеличенная ставка процента не поможет). Также бесполезно просто привлекать средства, тем более по более высокой ставке процента, если их некуда эффективно вложить, поэтому просто аргумент о том, что банк привлекает деньги, не засчитывался, т.к. просто так привлекать деньги ни один финансовый институт не будет (никто не берет кредит для того, чтобы положить деньги под подушку, здесь ситуация аналогичная).

Основные ошибочные аргументы. Часто встречались аргументы, касающиеся закрытия офисов и уменьшения издержек на их обслуживание. Данный аргумент не подходит просто потому, что в условии вообще ничего не говорилось о закрытии офисов и переводе банка на онлайн-обслуживание. Скорее даже больший наплыв клиентов, вызванный рекламой банка клиентами среди своих знакомых, потребует увеличения количества сотрудников.

Также встречалось много аргументов в различных формулировках, связанные с нерациональностью клиентов банков (звонят клиентам и рекламируют им новые/уже имеющиеся продукты, о которых им было некогда узнавать, кого-то это обязательно заинтересует/придут новые клиенты, которые не знали о банке и т.п.), с умением убеждать звонящих и прочее. Все эти аргументы основаны либо на оценочных суждениях, либо на психологии, либо на нерациональном поведении людей, что не может считаться экономически обоснованным решением задачи.<\li>

Критерии проверки:

Полностью решенной считалась задача, в которой были приведены и полностью обоснованы хотя бы два аргумента из трех. Первый приведённый аргумент оценивался в 14 баллов (4 балла за формальное название аргумента и верное использование терминологии, 10 баллов за полностью верное описание механизма работы). Второй пункт аналогично оценивался из 7 баллов (2 балла за название и 5 баллов за механизм). В зависимости от полноты описания аргумента могли ставиться частичные баллы. Если было два аргумента, то первым считался тот, который описан более полно и дает большее количество баллов.

Ещё 4 балластавились за правильно сформулированную идею о том, что дополнительная выручка банка, которую он получает благодаря своим действиям, перекрывает дополнительные затраты, связанные с наймом дополнительных сотрудников или аутсорсинговой фирмы, и поэтому прибыль увеличивается. Если данный аргумент был неаккуратно сформулирован (например, дополнительная прибыль превышает издержки), то за эту идею ставился 0.

Средний уровень

Подержанные автомобили

Конкурс РЭШ · 2013

На рынке подержанных автомобилей действует 101 продавец, каждый из которых хочет продать одну машину. Качество этих машин отличается с точки зрения покупателей: у первого продавца машина с 1 единицей качества, у второго — с 2 единицами и т. д. Если покупатель думает, что он покупает автомобиль с $X$ единицами качества, то он готов заплатить за него максимум $X+10$ рублей (если же ему удается купить такой автомобиль дешевле, чем за $X+10$ , то будем говорить, что разница между ( $X+10$ ) и ценой — его выигрыш). Покупателей много, так что по цене $X+10$ всегда можно продать сколько угодно автомобилей качества не ниже $X$ . Кроме того, каждый продавец может отправить свой автомобиль на запчасти и получить за них столько рублей, сколько единиц качества имеет автомобиль (продавцы делают так, только если продажа целого автомобиля принесет им меньше, чем продажа запчастей).

а) Предположим, что покупатели могут безошибочно определять качество автомобилей при покупке. Сколько автомобилей будет продано и по каким ценам?

б) Предположим теперь, что качество ненаблюдаемо покупателями (они не могут отличить хороший автомобиль от плохого при покупке), поэтому продавать автомобили можно только по единой цене $P$ . Найдите $S(P)$ — зависимость количества автомобилей, которые владельцы хотят продать, от их цены. Чему будет равно $AX(P)$ — среднее арифметическое качества предлагаемых по цене $P$ автомобилей?

в) Поскольку потребители не могут определить качество, все они готовы платить за любую машину, продающуюся по цене $P$ , как за машину со средним качеством, то есть не более $AX(P)+10$ . Сколько автомобилей будет продано и какова будет их цена? Кто выиграет и кто проиграет по сравнению с ситуацией, когда качество автомобиля известно всем?

Решение

а) Поскольку качество наблюдаемо всеми, то у каждой машины будет свой рынок, т.к. все они являются разными товарами. Цену машины качества $X$ в равновесии нетрудно найти, ведь предложение машины качества $X$ совершенно неэластично при цене большей, чем $X$ , и равно 1, а спрос — совершенно эластичен при цене $P_d=X+10$ . Выходит, что будут проданы все машины, причем

P(i)=i+10

Если бы цена была больше этого значения, то никто бы не покупал машины и продавцы бы снизили цены (ведь продавец готов продать машину качества $X$ за $X$ даже если он чувствует свою рыночную власть), а меньше она быть не может, т.к. при такой цене потребители начнут конкурировать и поднимут цену (если продавец сам ее не поднимет).

б) Каждый отдельный владелец машины имеет такую функцию предложения:

q_s^i(P)=\begin{cases}1\text{, если \(P\ge i\)}\\0\text{, если \(P < i\)}\end{cases}

Тогда общее рыночное предложение при цене $P\le 101$ будет равняться $P$ . Действительно, при цене 1 будет предлагаться одна машина, при цене 2 — две, по цене 101 — сто одна машина. При ценах больших, чем 101, всегда будет предложен 101 автомобиль.

Теперь нетрудно найти среднее качество машин $AX(P)$ , которые будут предложены на рынке при цене $P$ . Как мы уже установили, при цене $P$ будет предложено $P$ автомобилей, качество которых будет пробегать все целые значения от 1 до $P$ . Тогда общее качество машин можно подсчитать как сумму арифметической прогрессии, а для нахождения среднего качества нужно будет просто поделить общее на число автомобилей.

AX(P)=\frac{1+2+...+P}{P}=\frac{\frac{P(P+1)}{2}}{P}= \frac{P+1}{2}

Если, к примеру, цена равна 3, то будет продано три автомобиля (качества 1, 2 и 3), их среднее качество будет как раз равно 2.

в) Если на рынке продаются автомобили среднего качества $AX(P)$ , то потребители будут предъявлять абсолютно неэластичный спрос на уровне $P_d=AX(P)+10$ . В равновесии цена $P_d$ , которую готовы заплатить потребители, должна совпадать с ценой, которую получат продавцы, т.е. должно быть верно, что $P_d=P$ .

P = \frac{P+1}{2}+10 \Rightarrow P^*=21

При цене $21$ потребители готовы купить любое количество автомобилей, производители же при такой цене готовы будут предложить $Q_s(P^*)=21$ автомобиль. К примеру, при $P=3$ , как было отмечено, будут предлагаться три автомобиля со средним качеством 2, в то время как люди готовы заплатить за машину с таким ожидаемым качеством 12 рублей. Аналогично, если бы цена предложения равнялась 101 рубль, то предлагалась бы 101 машина со средним качеством 51 — но люди готовы заплатить за машину с таким ожидаемым качеством всего 61 рубль. Если же цена равна 21, то предлагается 21 автомобиль со средним качеством 11— и как раз 21 рубль готовы покупатели платить за машину с таким качеством.

Продавцы с качеством от 1 до 10 раньше получали за свои машины от 11 до 20, а теперь все они получат 21 — они выиграли. Покупатели этих машин проиграют ровно столько же (раньше бы они купили эти машины дешевле, чем по 21).

Продавцы с качеством 21 получают 21 в любом случае — им без разницы, их покупателям тоже.

Продавцы с качеством от 22 до 101 теперь вообще не продадут свои машины — они проиграли по 10 рублей каждый, отдав машины на запчасти. Их покупатели остаются без автомобилей, но раньше им было без разницы, покупать их или нет, так что они не проиграли.

Фирма, самолет, менеджер

Московская олимпиада (МОШ) · 2015 · 10–11 кл.

Компания «Elppa» собирается нанять топ-менеджера. В собственности фирмы есть небольшой частный самолет, который предназначен для передвижения менеджера по служебным надобностям. Менеджер, однако, может злоупотреблять служебным положением и использовать самолет в личных целях, что создает для компании дополнительные затраты.

Если менеджер не согласится работать в фирме «Elppa», ее прибыль будет равна нулю. Если менеджер согласится на работу и не будет пользоваться самолетом компании в личных целях, то ее прибыль (до выплаты зарплаты менеджера) составит 800, если будет — всего лишь 162. Владельцы фирмы не могут наблюдать действия менеджера и не знают, как прибыль зависит от использования самолета, поэтому не могут запретить менеджеру использовать самолет в личных целях. Менеджер, в отличие от владельцев фирмы, знает, как прибыль фирмы зависит от использования самолета.

Пусть $w\ge 0$ — зарплата менеджера, а $j$ — переменная, равная 1, если менеджер использует самолет в личных целях, и 0 в противном случае. Менеджер выбирает свои действия так, чтобы значение величины $U=0,1\sqrt{w}+j$ было наибольшим. Обладая редким талантом, менеджер всегда может уйти работать в конкурирующую компанию «Gnusmas». Условия работы у конкурентов соответствуют $U=2$ . Считайте, что менеджер благожелателен к фирме «Elppa»: если ему безразлично, на какой фирме работать, то он соглашается на работу в «Elppa»; если ему безразлично, использовать самолет или нет, то он не использует самолет.

а) Допустим, зарплата менеджера не зависит от прибыли фирмы (и при этом такова, что менеджеру выгодно согласиться работать в фирме). Будет ли он использовать самолет в личных целях?

б) Допустим, зарплата менеджера равна некой доле $\alpha$ от прибыли фирмы ( $0<\alpha<1$ ). При каком минимальном значении $\alpha$ менеджер согласится работать в фирме и не будет использовать самолет в личных целях? Что выгоднее для фирмы — предлагать менеджеру фиксированную зарплату (как в пункте а)) или найденную вами в этом пункте долю $\alpha$ от прибыли?

в) Допустим, согласно контракту, зарплата менеджера равна $w_1$ , если прибыль фирмы равна 800, и $w_2$ , если прибыль фирмы равна 162. Существуют ли произвольные значения $w_1$ и $w_2$ такие, что контракт $(w_1, w_2)$ более выгоден для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается доля от прибыли фирмы, найденная вами в б)?

Решение

а) Какова бы ни была зарплата $w$ , $0,1\sqrt{w}+1>0,1\sqrt{w}$ , и поэтому менеджер будет использовать самолет.

б) Чтобы менеджер, не используя самолет, согласился работать в фирме, должно выполняться условие $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 2$ , откуда $\alpha\geq 1/2$ . При этом ему должно быть выгоднее не использовать самолет, чем использовать, то есть также должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{800\alpha}\geqslant 0,1\sqrt{162\alpha}+1$ . Заметим, что $\alpha=1/2$ удовлетворяет этому неравенству, а значит, именно это число и будет ответом.

Если фирма предложит менеджеру половину прибыли, менеджер не будет пользоваться самолетом, и прибыль компании после выплаты зарплаты менеджеру составит 400. Если же фирма будет предлагать фиксированную зарплату, менеджер будет пользоваться самолетом, и потому прибыль фирмы после выплаты зарплаты будет меньше, чем 162. Значит, предлагать долю прибыли выгоднее.

в) Если $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер будет пользоваться самолетом, то прибыль фирмы после выплаты зарплаты составит не больше, чем 162, и потому не может быть больше, чем при выплате половины прибыли. Если же $w_1$ и $w_2$ таковы, что менеджер не будет пользоваться самолетом, должно выполняться неравенство $0,1\sqrt{w_1}\geqslant 2$ , откуда $w_1\geq 400$ , а значит, прибыль фирмы после выплаты зарплаты менеджеру будет не больше 400. Таким образом, не существует контракта, который был бы выгоднее для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается половина прибыли. (При этом существует много других контрактов, приносящих фирме ту же выгоду: например, $(w_1, w_2)=(400, 0)$ .)

Олимпиадный уровень

Олимпиада – это тоже праздник!

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 10 кл.

Одна компания, которая производит олимпиады ( $x$ ) и праздники ( $y$ ), наняла на работу Петра. Директор компании не знает, что у Петра получается делать лучше: олимпиады или праздники. Он знает, что с вероятностью $p = 0,5$ Петр может за час произвести $0,5$ единиц $y$ , a с вероятностью $1 - p = 0,5$ – $1$ единицу $y$ . Также он знает, что с вероятностью $d = 0,5$ Петр может за час произвести $1$ единицу $x$ , a с вероятностью $1 - d = 0,5$ – $0,5$ единиц $x$ . Всего у Петра $8$ часов. Директор компании выбирает, какое количество часов Петру потратить на производство $x$ , а какое – на производство $y$ , максимизируя количество комплектов из $1$ $x$ и $m$ $y$ , и прописывает эти часы в контракте. Петр тратит ровно это количество часов и отдаёт все $x$ и $y$ директору. При этом его реальные производственные функции: $y = \dfrac{L_y}{2}$ , $x = L_x$ . Определите, чему равно $m$ , если известно, что директор получил на $0,4$ комплекта из $1$ единицы $x$ и $m$ единиц $y$ меньше из-за того, что не знал производственные функции Петра до принятия решения о распределении часов между $L_x$ и $L_y$ .

Решение

Для начала немного формализуем условие:

при $p = 0,5$ : $y = 0,5L_y$ и $x = L_x$ ;

при $1 - p = 0,5$ : $y = L_y$ и $x = 0,5L_x$ .

Тогда можем найти ожидаемые директором производственные функции Петра:

x_e = 0,5L_x + 0,5 \cdot 0,5L_x = 0,75L_x

y_e = 0,5L_y + 0,5 \cdot 0,5L_y = 0,75L_y

Далее выразим $L_x$ и $L_y$ и подставим в ограничение по количеству часов:

L_x = \dfrac{4}{3}x, ~~~ L_y = \dfrac{4}{3}y \Rightarrow \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{3}y = 8 \Rightarrow x + y = 6

Вспомним, что олимпиады и праздники потребляются в пропорции $1$ к $m$ , значит $y = mx$ . Получаем систему:

\begin{cases} x + y = 6;\\ y = mx. \end{cases}

Решив систему, получаем, что $x = \dfrac{6}{1 + m}, ~~~ y = \dfrac{6m}{1 + m}$ , а значит директор пропишет в контракте следующие часы работы: $L_x = \dfrac{8}{1 + m}, ~~~ L_y = \dfrac{8m}{1 + m}$ .

Работая столько часов, Петр фактически произведет $x = L_x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = 0,5L_y = \dfrac{4m}{1 + m}$ .

Теперь найдем, какое количество комплектов получает директор: чтобы было $\dfrac{8}{1 + m}$ комплектов, нужно $x = \dfrac{8}{1 + m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + m}$ , но Петр произвел лишь $y = \dfrac{4m}{1 + m}$ , поэтому всего у директора оказалось лишь $\dfrac{4}{1 + m}$ комплектов.

Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то $L_x = x, ~~~ L_y = 2y$ . Снова запишем ограничение на количество часов работы $x + 2y = 8$ и решим следующую систему:

\begin{cases} x + 2y = 8;\\ y = mx. \end{cases}

Получим, что $x = \dfrac{8}{1 + 2m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + 2m}$ , значит директор получает $\dfrac{8}{1 + 2m}$ комплектов.

Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к $0,4$ .

\dfrac{8}{1 + 2m} - \dfrac{4}{1 + m} = 0,4

2m^2 + 3m - 9 = 0

m = 1,5

Дизайн механизмов

Конкурс РЭШ · 2025

Одним из важных разделов экономики является теория дизайна экономических механизмов. Эта область исследует подходы к созданию механизмов и стимулов для достижения желаемых целей в условиях асимметрии информации — ситуации, при которой некоторые люди обладают большей информацией, в том числе важной для других людей, чем другие.

Подробнее об асимметрии информации можно узнать в статье на просветительском сайте РЭШ GURU.

В этой задаче мы предлагаем вам попробовать себя в роли «дизайнеров» механизмов, ощутив на собственном опыте сложности создания эффективно работающих решений.

Рассмотрим следующий пример.

Власти города $N$ с населением $n$ человек принимают решение о том, строить ли мост.

Издержки на строительство моста составляют $C > 0$ , при этом полезность от строительства моста для жителя $i$ составляет $a_i$ , где $a_i$ может быть разным у разных жителей и известно только самому жителю $i$ .

Перед строительством моста городские власти спрашивают каждого жителя города о его значении $a_i$ , после чего принимается решение о строительстве моста. Мост будет построен только если сумма озвученных $a_i$ среди горожан превышает $C$ . Каждый житель уплачивает заявленную им величину $a_i$ , если мост построен.

Если житель города дополнительно получает какие-либо выплаты или платит налоги, то его полезность равна $a_i + F_i$ , если мост построен, и $F_i$ — если нет, где $F_i$ — полученная им сумма выплат после уплаты налогов.

а) Может ли жителю $i$ быть выгодно соврать о своём значении $a_i$ , если остальные горожане говорят правду? Если да, то приведите пример; если нет, то докажите.

б) Пусть теперь каждый житель получает дополнительный платёж от государства, равный сумме заявленных полезностей от строительства моста для всех остальных горожан (не включая самого жителя). Будут ли в этом случае у жителей стимулы сообщать не свою настоящую полезность, а какую-либо другую? Если да, то приведите пример; если нет, то докажите.

в) Отличаются ли ответы в пунктах (а) и (б)? Объясните, почему так происходит.

г) У представленного в пункте (б) алгоритма есть один важный и очевидный недостаток, препятствующий его практической реализации. Назовите его.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.