Внешние эффекты и общественные блага

Разминка

Задачи из прошлых уроков.

3 задачиОткрыть

Р1

Задача Р1

10 бедных студентов хотят бесплатно проехать на метро. Для этого им нужно прыгнуть через турникет. У турникета стоит охранник, который может поймать ровно одного студента. Больше всего студенты хотят проехать бесплатно, на втором месте по предпочтительности — заплатить, меньше всего они любят, когда их ловят. Студент откажется прыгать, только если он будет уверен, что его поймают. Охранник умеет различать студентов. Студенты прыгают одновременно.

Охранник может объявить студентам правило, по которому он будет их ловить. Что он должен сказать, чтобы все студенты купили билет?

Р2

Задача Р2

На рынке сигарет конкурируют два производителя. Может ли прибыль каждого из них вырасти, если будет введён запрет на рекламу сигарет? (Постройте таблицу игры, где каждая фирма выбирает из двух стратегий — рекламировать или не рекламировать, задав подходящим образом прибыли фирм в каждом из четырёх исходов. Найдите равновесный исход. Является ли он эффективным?)

Решение

$\pi_i = TR_i - TC_{i\text{ на рекламу}}$

Общий спрос на сигареты, равный 4 единицам, делится между фирмами в зависимости от рекламы. $TC_i = \begin{cases} 1\text{, если рекламирую} \\ 0\text{, если не рекламирую} \end{cases}$

Фирма 1 Фирма 2	рекламировать	не рекламировать
рекламировать	$^\lor \frac{4}{2} - 1 ; \frac{4}{2} - 1^\lor$	$^\lor \frac{4}{1} - 1 ; 0 - 0$
не рекламировать	$0 - 0 ; \frac{4}{1} - 1^\lor$	$\frac{4}{2} - 0 ; \frac{4}{2} - 0$

Значит, равновесие Нэша: (рекламировать; рекламировать)

Этот исход неэффективен: Парето-улучшение к нему — (не рекламировать; не рекламировать).

Если запретить рекламу, то исход (не рекламировать, не рекламировать) станет равновесным.

Р3

Задача Р3

На организацию производства мелких мягких игрушек (аренду помещения и оборудования, оплату лицензии, и прочие постоянные издержки) фирма «Тедди» потратила 200000 рублей. Ожидается, что производство единицы продукции (одной мягкой игрушки) в переменных издержках обойдется фирме в 100 рублей.

Какую прибыль получит фирма, если рассчитывает выпускать в месяц 1000 игрушек, а рыночная цена 400 рублей за одну игрушку?

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Пробки

Пробная олимпиада школьников · 2022 · 7–8 кл.

Пусть из спального микрорайона в центр города проложены две дороги – Северная и Южная. Каждое утро по ним едет фиксированное число автомобилистов. При этом из-за возможных пробок время движения зависит от того, сколько людей выберет каждую из дорог. По Северной можно добраться за $25+30x_1$ мин., по Южной – за $15+70x_2$ мин., где $x_1$ и $x_2$ – доли едущих по ним автомобилистов. Предположим, что люди выбирают дорогу, исходя из единственного критерия – желания добраться побыстрее. На сколько минут сократится ожидаемое время в пути, если Северную дорогу расширить втрое? На сколько процентов при этом изменится число автомобилистов на Северной и Южной дорогах.

Решение

Если люди минимизируют затраты времени, то в равновесии время движения по обеим дорогам должно быть одинаково. В противном случае найдутся те, кто захочет изменить свое поведение, сделав выбор в пользу более быстрой из дорог. В исходной ситуации это приводит к равенству $25+30x_1 = 15+70x_2$ . Поскольку суммарная доля едущих по Северной и Южной дорогам составляет $100\%$ (то есть $x_1+x_2=1$ ), условие примет вид $25+30x_1 = 15+70(1 - x_1)$ . Отсюда можно найти доли $x_1 = 0,6 = 60\%$ и $x_2 = 1 - 0,6 = 0,4 = 40\%$ .

Если Северную дорогу расширить втрое, то втрое уменьшится дополнительное время передвижения, связанное с пробками. Например, если по расширенной втрое дороге поедет $60\%$ машин (по каждой полосе $20\%$ ), то это будет эквивалентно по времени ситуации с $20\%$ машин до расширения дороги. Таким образом, время передвижения по Северной дороге станет равным $25 + 10x_1$ . В равновесии снова будет наблюдаться равенство: $25+10x_1 = 15+70(1 - x_1)$ , откуда находим новые доли $x_1 = 0,75 = 75\%$ и $x_2 = 1 - 0,75 = 0,25 = 25\%$ .

Время передвижения можно найти, подставив равновесную долю в любую из частей уравнения. В исходной ситуации ожидаемое время составляет $25+30 \cdot 0,6 = 43$ мин., в новой ситуации оно станет равным $25+10 \cdot 0,75 = 32,5$ мин. Таким образом, расширение дороги привело к сокращению времени в пути на $10,5$ мин.

Доля автомобилистов, едущих по Северной дороге выросла с $60$ до $75$ процентов. Это означает увеличение в $\dfrac{75}{60} =1,25$ раза, то есть на $25\%$ . Доля автомобилистов, выбирающих Южную дорогу, напротив, упала с $40$ до $25$ процентов, изменение произошло в $\dfrac{25}{40} = 0,625$ раза, то есть число автомобилистов стало меньше на $37,5\%$ . Отметим, что в условии спрашивается про проценты, а не процентные пункты, поэтому ответ выросла на $15\%$ и упала на $15\%$ является неправильным.

Ответ. На Северной дороге число автомобилистов выросло на $25\%$ , на Южной дороге -- уменьшилось на $37,5\%$ .

Теория

Внешние эффекты

Простой пример

Спрос $P = 100 - Q$ , $\mathit{MC} = 20$ ; каждая единица продукции наносит жителям ущерб 10.

1. Рынок ущерб не учитывает: $P = \mathit{MC} = 20$ , $Q = 80$ .
1. Для общества предельные издержки $20 + 10 = 30$ ; оптимум $Q = 70$ .
1. Лишние 10 единиц создают потери $_{2}^{1} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ .
1. Налог Пигу 10 за единицу: фирмы видят издержки 30 и сами выпускают 70.

Отрицательный внешний эффект: рынок останавливается при Q = 80, а обществу нужно — **Рис. 71.1:** Отрицательный внешний эффект: рынок останавливается при $Q = 80$ , а обществу нужно

Виды внешних эффектов

	Отрицательный	Положительный
Производственный	завод сливает отходы в реку, гибнет рыба рыболовной компании	пчёлы пасечника опыляют сады фермера
Потребительский	курение рядом с другими, шум соседей	прививка защищает и окружающих

Налог и субсидия Пигу

Налог на каждую единицу «вредной» деятельности, равный предельному внешнему ущербу в оптимуме, заставляет источник учитывать вред. Для положительных эффектов аналогично работает субсидия, равная внешней выгоде.

Теорема Коуза

Коуз подчёркивал: защищая одну сторону, государство ограничивает другую, и заранее нельзя сказать, чья позиция приоритетнее. Если сторон много (тысячи жителей у завода), договориться дорого, и теорема не работает.

Квоты на выбросы и торговля ими

Государство может задать общий объём выбросов и раздать или продать разрешения, которые фирмы могут перепродавать. Тогда сокращают выбросы те фирмы, которым это дешевле всего, а цена разрешения устанавливается на уровне предельных издержек сокращения. Общий объём выбросов задан квотой, а не налогом, но при известных издержках оба способа дают один и тот же результат.

Сад и пасеки: переговоры о внешнем эффектедля заключительного этапа

Пример

Положительный внешний эффект

Вокруг яблоневого сада три пасеки. Яблоки стоят 6, мёд 2. Издержки сада $2x^{2} - x(y_{1} + y_{2} + y_{3})$ (пчёлы опыляют сад и снижают его издержки), издержки пасеки $0{,}5y_{i}^{2}$ .

Решение. Без договора: пасека максимизирует $2y_{i} - 0{,}5y_{i}^{2}$ , $y_{i} = 2$ ; сад $6x - 2x^{2} + 6x$ , $x = 3$ .

Оптимум (общая прибыль, $Y = y_1 + y_2 + y_3$ , по симметрии $y_i = \dfrac{Y}{3}$ ): $2Y + 6x + xY - 2x^2 - \dfrac{Y^2}{6} \to \max$ . Условия: $6 + Y - 4x = 0$ и $2 + x - \dfrac{Y}{3} = 0$ , откуда $x = 12$ , $Y = 42$ , $y_i = 14$ .

Рынок внешнего эффекта: пусть сад платит пасекам $q$ за каждую единицу мёда (то есть за опыление). Пасека выбирает $y_{i} = 2+q$ , вместе они предлагают $Y = 6+3q$ . Сад выбирает и $x$ , и сколько опыления $Y$ «купить»: его прибыль $6x - 2x^{2} + xY - qY$ , условия первого порядка по $Y$ : $x = q$ , по $x$ : $Y = 4x - 6 = 4q - 6$ . Рынок уравновешен при $6 + 3q = 4q - 6$ , то есть $q = 12$ : $x = 12$ , $Y = 42$ , $y_{i} = 14$ , ровно оптимум. Теорема Коуза в действии: при возможности торговать внешним эффектом стороны сами приходят к эффективному результату.

Торговля квотами на выбросы: задача с олимпиады

Разбор олимпиадной задачи

«Торговля квотами», ВсОШ 2019

15 заводов, завод $i$ продаёт металл по цене $i$ за тонну, издержки производства $q$ тонн равны $\dfrac{q^2}{4}$ , каждая тонна даёт 0,5 единицы выбросов. Каждому заводу разрешено выбросить не больше 3 единиц.

Решение. Без квот завод выбирает $q_i = 2i$ , выбросы $\sum \dfrac{2i}{2} = \sum i = 120$ .

Квоты без торговли: $q_i \le 6$ , выбросы $\sum \min\{i; 3\} = 1 + 2 + 3 \cdot 13 = 42$ . Сокращение на 78.

Торговля квотами по цене $t$ : прибыль $iq - \dfrac{q^2}{4} - t\left(\dfrac{q}{2} - 3\right)$ , выпуск $q_i = 2i - t$ (если положителен), выбросы $i - \dfrac{t}{2}$ . Сумма выбросов равна сумме квот 45. Если работают заводы с номерами от 7 до 15, то $\sum_{i=7}^{15} \left(i - \dfrac{t}{2}\right) = 99 - \dfrac{9t}{2} = 45$ , $t = 12$ ; заводы 1–6 при этом действительно не производят ( $2i - 12 \le 0$ ). Выбросы работающих: 1, 2, …, 9, всего 45. Ответ. Торговля увеличила выбросы с 42 до 45: квоты, которые маленькие заводы не использовали бы, теперь продаются. Зато выпуск переходит к заводам, для которых он ценнее всего, и при том же общем лимите общество производит больше; поэтому государство может установить более жёсткий лимит при тех же издержках.

Разбор: плата за проезд по загруженной дороге (заключительный этап 2025)

Разбор олимпиадной задачи

Оптимальная плата за дорогу

1000 машин в час едут из А в Б по старой дороге (время $40 + \dfrac{x}{20}$ минут при $x$ машинах) или по новой ( $30 + \dfrac{y}{30}$ минут при $y$ машинах). Минута стоит водителю 10 рублей. Какую плату $p$ ввести на новой дороге, чтобы суммарное время всех водителей было минимальным?

Решение. Выбор водителей. Издержки на старой дороге $400 + \dfrac{1000 - y}{2}$ рублей, на новой $300 + \dfrac{y}{3} + p$ . Водители перераспределяются, пока издержки не сравняются: $y = 720 - 1{,}2p$ .

Оптимум. Суммарное время $(1000 - y)\left(40 + \dfrac{1000 - y}{20}\right) + y\left(30 + \dfrac{y}{30}\right)$ это парабола по $y$ ветвями вверх с минимумом при $y = 660$ . Без платы на новую дорогу съезжаются 720 машин: каждый водитель не учитывает, что замедляет остальных (внешний эффект). Нужная плата: $720 - 1{,}2p = 660$ , $p = 50$ рублей.

Ответ. 50 рублей: плата равна вреду, который водитель создаёт остальным, как налог Пигу.

Общественные блага

Свойства общественного блага

Администрация поставила фонарь у подъезда. Вы за него не платили, но пользуетесь; запретить соседу пользоваться светом нельзя; ваше пользование не мешает соседу.

гими;

неисключаемость: нельзя исключить кого-то из потребления.

	Конкурентные	Неконкурентные
Исключаемые	частные блага (пицца, футболка)	клубные блага (кабельное телевидение, платная дорога без пробок)
Неисключаемые	блага общего пользования (рыба в океане, бесплатная дорога в час пик)	общественные блага (национальная оборона, маяк, фонарь)

Блага общего пользования страдают от переиспользования («трагедия общин»): каждый вылавливает больше рыбы, не учитывая, что её станет меньше для других. Элинор Остром (Нобелевская премия 2009) показала, что сообщества часто сами вырабатывают правила, решающие эту проблему.

Проблема безбилетника

В доме тысяча квартир собирают деньги на новый лифт. Каждый рассуждает: «сумму соберут и без меня, а лифтом я буду пользоваться в любом случае». Если так рассуждают все, денег не соберут. На олимпиаде вывод часто такой: добровольно платить никто не станет (задача о салюте, Московская олимпиада 2022).

Эффективный объём: вертикальное сложение

Одну и ту же единицу общественного блага потребляют все сразу, поэтому её ценность для общества это сумма готовностей платить всех потребителей. Спросы складывают по вер**тикали: при каждом количестве суммируют цены. Эффективный объём там, где эта сумма равна предельным издержкам:

\sum_i \mathit{MB}_i(Q) = \mathit{MC}(Q) \qquad \text{(условие Самуэльсона).}

Добровольные взносы

Если каждый сам решает, сколько вложить в общественное благо, равновесие ищут по Нэшу: каждый выбирает свой взнос при данном взносе другого. Из-за проблемы безбилетника общественного блага в равновесии обычно меньше эффективного объёма. Поэтому общественные блага чаще финансируются налогами.

Добровольные взносы и эффективный объём: расчётдля заключительного этапа

Пример

Равновесие с добровольным финансированием

Двое агентов, у каждого доход 100; частное благо $x$ стоит 2, единица общественного блага 4. Полезность $U_{i} =$ ln $x_{i} +$ ln $z$ , где $z = z_{a} + z_{b}$ сумма взносов в общественное благо (в единицах блага).

Решение. Равновесие по Нэшу. Агент $a$ при данном $z_b$ : $x_a = \dfrac{100 - 4z_a}{2}$ , максимизирует $\ln(100 - 4z_a) + \ln(z_a + z_b)$ . Условие первого порядка: $\dfrac{4}{100 - 4z_a} = \dfrac{1}{z_a + z_b}$ , откуда $z_a = 12{,}5 - 0{,}5z_b$ . По симметрии $z_a = z_b = \dfrac{25}{3}$ , всего $z = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}7$ .

Эффективный объём (условие Самуэльсона). Предельная норма замещения общественного блага частным у каждого $\mathit{MRS}_i = \dfrac{x_i}{z}$ ; эффективно, когда их сумма равна отношению цен: $\dfrac{x_a + x_b}{z} = \dfrac{4}{2} = 2$ . Вместе с общим бюджетом $2(x_a + x_b) + 4z = 200$ получаем $z = 25$ .

Ответ. Добровольно финансируется 16,7 единицы против эффективных 25: каждый не учитывает выгоду другого от своего взноса.

Пример

Платит тот, кому нужнее всех

В посёлке $n$ семей, полезность семьи $i$ : $\alpha _{i}$ ln $C + y_{i}$ , где $C$ сумма, потраченная на детскую площадку, $y_{i}$ оставшиеся деньги, $0 = \alpha _{1} < \alpha _{2} <... < \alpha _{n} = 1$ . Взносы добровольные.

Решение. Семья $i$ хотела бы, чтобы на площадку было потрачено $C = \alpha_i$ (из $\dfrac{\alpha_i}{C} = 1$ ). Семья с наибольшей потребностью $\alpha_n = 1$ доведёт сумму до 1, а остальным при $C = 1$ добавлять невыгодно: они безбилетники. Эффективная сумма из условия Самуэльсона $\sum \dfrac{\alpha_i}{C} = 1$ : $C = \sum \alpha_i$ , это больше 1.

Трагедия общин

Ресурс, к которому открыт доступ, но которым нельзя пользоваться всем одновременно без ущерба (пастбище, рыба в озере), переиспользуется: каждый не учитывает, что, взяв больше, уменьшает доход других.

Пример

Два рыбака

Улов рыбака $i$ равен $c_{i}$ , а выгода от каждой единицы улова $100 - c_{1} - c_{2}$ (чем больше ловят, тем меньше рыбы остаётся), то есть $U_{i} = c_{i}(100 - c_{1} - c_{2})$ .

Решение. Оптимум (сумма выгод): $(c_{1} + c_{2})(100 - c_{1} - c_{2}) \to$ max, общий улов 50. Нэш:

$c_i = \dfrac{100 - c_j}{2}$ , $c_1 = c_2 = \dfrac{100}{3}$ , общий улов $\approx 66{,}7$ . Независимые решения ведут к перелову. Исправить можно квотой на улов или налогом на каждую единицу улова.

Налог Кларка (механизм выявления предпочтений): каждый сообщает свою ценность блага, и тот, чей голос меняет решение, платит ущерб, который его голос наносит остальным. Говорить правду становится выгодно, но механизм уязвим к сговору и требует денег на уплату налога.

Разбор: «Дизайн механизмов» (Конкурс РЭШ 2025)для заключительного этапа

Разбор олимпиадной задачи

Почему жители врут о ценности моста

Мост стоит $C$ , житель $i$ ценит его в $a_{i}$ (знает только он). Власти спрашивают всех, строят мост, если сумма заявленных ценностей больше $C$ , и каждый платит заявленную им сумму.

Решение. Выгодно ли врать? Да. Пусть жителей двое, $C = 10$ , $a_{1} = a_{2} = 10$ . Если первый говорит правду, мост построят и без второго, и второму выгодно заявить 0: мост будет, а платить ничего не придётся. Это проблема безбилетника в чистом виде.

Если каждому дополнительно платить сумму заявленных ценностей остальных (независимо от того, построят ли мост), ничего не меняется: выплата не зависит ни от собственного заявления, ни от решения, поэтому не влияет на стимулы. Пример выше попрежнему работает. Кроме того, такая схема требует огромных бюджетных расходов. Как сделать правильно (дополнение к официальному решению, теория механизмов Викри–Кларка–Гроувса): платёж должен зависеть от решения. Если житель получает сумму заявленных ценностей остальных только при строительстве, а платит свою долю издержек, его выигрыш совпадает с общественным выигрышем, и говорить правду становится выгодно при любых заявлениях других. Цена этого механизма: бюджет в общем случае не сходится.

Задачи

Базовый уровень

Борьба с пробками

ВсОШ · региональный этап · 2018 · 9 кл.

Люди численностью 50 человек живут в пригороде и ездят работать в город М. На работу можно ездить на метро или на автомобиле. Поездка на метро всегда занимает 50 минут, а продолжительность поездки на автомобиле зависит от загруженности дороги и занимает $11+2N$ минут, где $N$ — общее количество людей, которые едут на работу на автомобиле. Решая, как ехать на работу, люди принимают во внимание только время в пути, в равновесии никто из них не может доехать на работу быстрее, выбрав другой вид транспорта.

Мэр города М. озабочен проблемой пробок и хочет их уменьшить. Советники предлагают ему несколько мер, перечисленных ниже. От вас требуется прокомментировать каждую меру с точки зрения ее последствий для пробок: нужно ответить, чему в результате ее введения будет равно общее время, которое жители пригорода проводят в автомобилях в пути на работу (от этого зависят вредные выбросы в атмосферу, необходимость содержать дорожную полицию и т. д.). Каждую меру нужно комментировать в отдельности: например, если вводится мера из пункта в), то все остальные не вводятся.

а)(6 баллов) В этом пункте найдите равновесие для ситуации, описанной в задаче, то есть если никакие меры сокращения пробок не применяются. Ответьте на вопросы, заданные в условии.

б)(6 баллов) Если построить новую развязку, время поездки на работу на машине составит $9+2N$ минут.

в)(6 баллов) Если закупить дополнительные поезда для метро, время поездки на нем сократится до 40 минут.

г)(6 баллов) Ограничение парковки в городе увеличит время в пути каждого автомобилиста на 10 минут — их нужно будет потратить на поиск парковочного места.

д)(6 баллов) Запрет на автомобили с двигателями внутреннего сгорания позволит ездить в город на машине только 10 владельцам электромобилей (остальные 40 человек будут вынуждены ехать на метро).

Решение

а) Чтобы человек, который едет на машине, не захотел сменить вид транспорта, время в пути на машине не должно быть больше, чем время на метро:

11+2N\le 50.

С другой стороны, для пассажира метро время в случае перехода на автомобиль (тогда автомобилистов станет $N+1$ ) также не должно уменьшиться:

50\le 11+2(N+1).

Первое неравенство верно при $N\le 19,5$ , второе — при $N \ge 18,5$ . Значит, на автомобилях поедут 19 человек. Время в пути на автомобиле составит $11+ 2\cdot 19 = 49$ минут. Всего же люди проведут в автомобилях $49 \cdot 19 = 931$ минуту.

б) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} & 9+2N\le 50, \\ & 50\le 9+2(N+1). \end{aligned} \right. & &\left\{\begin{aligned} & N\le 20,5, \\ & N\ge 19,5. \end{aligned} \right. \end{aligned}

Значит, на автомобилях поедет 20 человек, каждый из них потратит на дорогу $9+2\cdot 20 = 49$ минут (столько же, сколько до постройки развязки), а общее время в пути на автомобилях составит $49 \cdot 20 = 980$ минут — больше, чем до постройки развязки! Дело в том, что увеличение пропускной способности дороги стимулировало больше людей по ней поехать, из-за чего время в пути осталось примерно равно времени в пути на метро (которое не изменилось).

в) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} & 11+2N\le 40, \\ & 40\le 11+2(N+1). \end{aligned} \right. & &\left\{\begin{aligned} & N\le 14,5, \\ & N\ge 13,5. \end{aligned} \right. \end{aligned}

Получается, что количество людей в пробке уменьшилось до 14 человек, путешествие каждого из них занимает $11+2\cdot 14 = 39$ минут, а общее время в пути на автомобилях составит $39 \cdot 14 = 546$ минут. Ускорение метро действительно помогает снизить пробки.

г) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} & 11+2N+10\le 50, \\ & 50\le 11+2(N+1). \end{aligned} \right. & &\left\{\begin{aligned} & N\le 14,5, \\ & N\ge 13,5. \end{aligned} \right. \end{aligned}

Количество автомобилистов совпадает с предыдущим пунктом и равно 14 — по этому показателю усложнение парковки эквивалентно ускорению метро.

Путешествие каждого автомобилиста занимает $11+2\cdot 14 + 10 = 49$ минут, а общее время в пути на автомобилях составит $49 \cdot 14 = 686$ минут. Затруднение парковки помогает снизить пробки — несмотря на то, что автомобилисты вынуждены проводить дополнительное время в машинах, ища парковочные места.

д) Даже если все 10 владельцев электромобилей поедут на них на работу, их время в пути составит $11 + 2\cdot 10 = 31$ минуту — меньше, чем на метро. Значит, все они выберут этот вариант, а остальные 40 человек поедут на метро (у них нет возможности ехать на машине). Общее время в пути на автомобилях составит $31 \cdot 10 = 310$ минут. Запрет многим жителям пригорода передвигаться на автомобилях, конечно, сокращает пробки.

Альтернативное решение.

Ответы пунктов а)-г) можно было получить другим способом.

В при условии, что каждым видом транспорта хотя бы кто-то пользуется, время в пути обоими способами должно быть примерно одинаковым. Если оно будет существенно отличаться, люди перейдут на более быстрый вид. (В пункте д) эта логика не работает, так как выбор между видами транспорта есть не у всех.) Посмотрим, что будет, если приравнять время в пути в каждом из пунктов.

а) $11+2N=50$ , $N=19,5$ .

б) $9+2N=50$ , $N=20,5$ .

в) $11+2N=40$ , $N=14,5$ .

г) $11+2N+10=50$ , $N=14,5$ .

Ответы получились дробными. Что будет, если мы округлим их в бо'льшую сторону, то есть отправим «колеблющегося» человека на автомобиле? Тогда в каждом из случаев время в пути на автомобиле увеличится, а время в пути на метро останется прежним, то есть типичному автомобилисту станет выгодно пересесть на метро. С другой стороны, если мы округлим $N$ вниз (то есть отправим «колеблющегося» человека на метро), то время на автомобиле станет чуть больше времени на метро, но переключение невыгодно, поскольку развернет неравенство. Это в каждом случае и будет равновесием.

Работать или рыбачить

Высшая проба · 2014 · 9 кл.

Два друга во время восьмичасового рабочего дня могут зарабатывать либо работая на фирме в городе, либо рыбача на озере. Каждый решает сколько часов в день ему проводить на рыбалке. Есть 2 возможности: либо оба рыбачат по 8 часов, либо оба рыбачат по 4 часа. Так как рыбы в озере не очень много, то с ростом времени рыбалки улов будет падать. Если общее время рыбаки составляет 8 часов, то улов за час равен 3 кг, если 12 часов, то 2,5 кг, если 16 часов, то 2 кг. Рыба, которую рыбаки продают на рынке, стоит 500 руб. за кг. Рыбаки также могут работать на фирме в городе с зарплатой X руб. в час.

При каком X каждый рыбак решит рыбачить по 4 часа, а при каком по 8 часов?

Средний уровень

Добровольное финансирование общественного блага

Авторские задачи · 2026

В общежитии живёт $n$ студентов. Обсуждается возможность повесить в холле первого этажа плакат c надписью «MR=MC». Чтобы повесить плакат площадью $X$ квадратных метров, нужно собрать $X$ рублей. Студент с номером $i$ опускает в шляпу $x_i$ рублей (он сам выбирает, чему равно его $x_i$ ). Затем из шляпы достаются деньги и на все эти деньги покупается плакат соответствующей площади. Полезность $i$ -го студента задаётся формулой $u_i = X - x_i^2$ (т.е. каждый следующий рубль, затраченный им, приносит ему более ощутимые издержки, чем предыдущий).

a. Найдите для каждого студента, сколько рублей он положит в шляпу, если каждый студент принимает решение самостоятельно и максимизирует свою полезность.

b. Является ли получившийся исход эффективным? (Чтобы доказать неэффективность, можно построить Парето-улучшение)

c. Если нет, попробуйте найти хотя бы один эффективный исход.

Решение

$u_1 = X - x_1^2 = x_1 + \dots + x_n - x_1^2 \to \max\limits_{x_1 \ge 0}$

⌒ (парабола с ветвями вниз)

${u_{1}}'_{x_1} = 1 - 2x_1 = 0 \;; \; x_1^* = \frac{1}{2}$

Аналогично $x_i^* = \frac{1}{2}, \; i=2,3,\dots,n.$

В данном исходе $u_i = X - x_i^2 = n \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{n}{2} - \frac{1}{4}$

Попробуем максимизировать сумму полезностей всех агентов:

$\sum\limits_{i=1}^n u_i = nX - x_1^2 - \dots - x_n^2 = n(x_1 + \dots + x_n) - x_1^2 - \dots - x_n^2 =$

$= nx_1 - x_1^2 + nx_2 - x_2^2 + \dots + nx_n - x_n^2 \to \max\limits_{x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0}$

Максимизировать сумму функций, каждая из которых зависит от своей переменной, — всё равно что максимизировать каждую из них по отдельности.

$nx_1 - x_1^2 \to \max\limits_{x_1 \ge 0}$

⌒ (парабола с ветвями вниз)

$n = 2x_1$ ; $x_1^* = \frac{n}{2}$

Аналогично $\forall i \; x_i^* = \frac{n}{2}$

Тогда $u_i = X - x_i^2 = n \cdot \frac{n}{2} - \left(\frac{n}{2}\right)^2 = \frac{n^2}{2} - \frac{n^2}{4} = \frac{n^2}{4}$

Сравним с полезностью в пункте a):

$\frac{n^2}{4} \lor \frac{n}{2} - \frac{1}{4} \;; \quad n^2 - 2n + 1 \lor 0 \;; \quad (n-1)^2 \ge 0$ , причём $(n-1)^2 > 0$ , если $n > 1$ .

Значит, если агентов $> 1$ , то полезность каждого агента вырастет. Значит, исход в п. a) был неэффективным.

Исход, максимизирующий сумму полезностей всех агентов, всегда эффективен (это очевидно из определения эффективности). (Хотя могут быть и другие эффективные исходы).

Охота на слонов

ВсОШ · заключительный этап · 2012

Истребление живой природы является серьезной проблемой в Африке. Например, популяция слонов на этом континенте сократилась с более чем 1 млн особей в 1970-х гг. до 600 тыс. сейчас. Правительства разных стран пытаются бороться с браконьерством по-разному, и эта политика зачастую приводит к парадоксальным, на первый взгляд, результатам. Оказывается, что наименьшие проблемы с сокращением популяции слонов испытывают те страны, где... разрешена охота на них!

Например, власти Танзании запретили любую охоту на слонов в 1973 г., и за 5 лет после этого популяция этих животных сократилась более чем вдвое. После того, как в 1978 г. охота была вновь разрешена, количество особей стало расти и вернулось к своему прежнему уровню. Поселения, расположенные вблизи мест обитания слонов, активно пользуются своим правом продавать лицензии (в рамках установленной квоты) желающим поохотиться. Та же картина наблюдается в Зимбабве и других странах, где право на охоту можно законно купить.

*а) Почему дикие животные, представляющие интерес для человека, часто подвергаются угрозе исчезновения, а домашние животные — нет?

б) Объясните, как легализация охоты на животных может приводить к росту их популяции.*

Решение

а) На домашних животных установлены права собственности — есть люди, которые разводят их и заботятся о том, чтобы они не были истреблены, поэтому не в их интересах убивать больше особей, чем нужно для неуменьшения их популяции.

Дикие животные, напротив, никому не принадлежат, поэтому нет тех, кто заботился бы о поддержании численности их популяции и занимался их разведением: каждый хочет пострелять их максимальное количество.

Почему это происходит? Ведь, казалось бы, браконьеры также не заинтересованы в исчезновении слонов. Тем не менее, каждый охотник, убивая слона, накладывает издержки на остальных: им останется меньше слонов, которые дадут меньшее потомство и т. п. В результате из-за этой отрицательной экстерналии дикие животные истребляются более интенсивно, чем нужно для поддержания численности популяции, и популяция уменьшается.

б) Когда мы организуем процесс продажи лицензий, мы создаем права собственности: теперь слоны, обитающие в окрестностях определенной деревни, фактически «принадлежат» ее жителям: они могут продавать их (точнее, право их истребления).

С этого момента у них, во-первых, появляются стимулы бороться с браконьерством, потому что кто-то готов платить за лицензии только в том случае, когда он не может убивать слонов бесплатно. Кроме того, у владельцев прав собственности есть стимул продавать не больше лицензий, чем нужно для поддержания их численности популяции (экстерналия интернализована), потому что они заинтересованы в том, чтобы слоны не вымерли.

Олимпиадный уровень

Экономика "Платона"

ВсОШ · заключительный этап · 2016

В Древней Греции ежегодный спрос купцов на грузоперевозки дальнобойными колесницами описывается уравнением $Q=100−P$ , а предложение грузоперевозок со стороны колесничих–– уравнением $Q=P$ , где $Q$ –– объем грузоперевозок (в тоннах, умноженных на километр пути), а $P$ –– цена за единицу перевозок (в драхмах на тонну-километр). Тяжелые колесницы наносят ущерб дорогам, который зависит от объема перевозок и равен $Q^2/4$ драхм –– ровно эту сумму нужно ежегодно тратить на ремонт дорог, чтобы они не портились со временем.

Государство оплачивает ремонт дорог в полном объеме из бюджета. Мудрый Платон предложил ввести дополнительный налог на колесничих в размере $t$ драхм с каждой единицы грузоперевозок. «Даже если ни драхмы из поступлений от нового налога не будет потрачено на ремонт дорог, введение этого налога может увеличить общественное благосостояние» –– изрек великий философ.

Объясните экономическую логику, которой руководствовался Платон.
Проконсультировавшись с Платоном, государство определило общественное благосостояние как сумму прибыли потребителей услуг грузоперевозок (купцов), прибыли колесничих после уплаты налога, и доходов государственного бюджета от «налога Платона» за вычетом его расходов на ремонт дорог. Прибыль купцов равна $Q^2/2$ ; прибыль колесничих после уплаты налога также равна $Q^2/2$ . Найдите ставку налога $t$ , при которой общественное благосостояние максимально.*
Государство решило ввести налог по ставке $t$ ,найденной вами в пункте 2, однако вскоре выяснилось, что взимание этого налога само по себе будет сопряжено с дополнительными издержками (потребуется установка специальных бортовых устройств на колесницах, найм персонала и т. д.). Расходы по взиманию налога оплачиваются из бюджета; независимо от объема перевозок, они равны $C$ драхм. При каком максимальном значении параметра $C$ государству, которое максимизирует благосостояние, следует вводить «налог Платона»? Обозначьте это значение за $C_{max}$ .
Другой философ, Аристотель, выступил с критикой налога: «Платон мне друг, но истина дороже. Введение налога повлечет за собой издержки для общества, не учтенные Платоном в его формуле общественного благосостояния, и поэтому даже при $C < C_{max}$ введение налога может не быть оправданным». Какие издержки мог иметь в виду Аристотель?

*Участники олимпиады, знакомые с концепцией излишков, без труда увидят, что указанные в этом пункте выражения просто равны излишкам потребителей и производителей для данных функций спроса и предложения.

Решение

Введение этого налога приведет к снижению объема грузоперевозок, поэтому ущерб, наносимый дорогам, уменьшится. В результате на ремонт можно будет направлять меньше ресурсов.

Общественное благосостояние в результате налогообложения может повыситься, если изначальное рыночное равновесие было неэффективным. В нашем случае эта неэффективность связана с отрицательными внешними эффектами. Участники движения не учитывают в своих решениях ущерб, который они наносят дорожному покрытию, следовательно, число грузоперевозок оказывается выше общественно оптимального. Тогда налог правильно выбранного размера будет корректировать изначально чрезмерное число поездок. 2. Найдем как объем грузоперевозок зависит отvставки налога. Новая кривая предложения описывается уравнением $Q = P_d − t$ ; новая равновесная цена потребителя определяется уравнением $100−P_d = P_d −t$ , откуда $P^* = (100+t)/2$ , а значит, $Q^* = (100−t)/2$ .

Тогда мы можем выразить функцию общественного благосостояния через одну переменную

W = \frac{Q^2}{2} + \frac{Q^2}{2} +tQ − \frac{Q^2}{4} = \frac{3Q^2}{4} + 100Q − 2Q^2

Графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. Точка максимума $Q^* = 40$ . Значит, оптимальная ставка налога равна $t^* = 20$ . (5 баллов)

Этот пункт можно решить, максимизируя благосостояние не числу перевозок, а сразу по ставке налога. 3. Для определения $C_max$ необходимо найти разницу между общественным благосостоянием при введении налога и при его отсутствии. Объем перевозок в отсутствие налога равен 50, а общественное благосостояние равно

\frac{2500}{2} + \frac{2500}{2} − \frac{2500}{4} = 1875

При введении оптимального налога общественное благосостояние равно

\frac{1600}{2} + \frac{1600}{2} + 20\cdot40 − \frac{1600}{4} = 2000

2000 − C\geq 1875

значит, налог стоит вводить при $C\leq 125$ . $C_{max} = 125$ . 4. Формула Платона учитывает только благосостояние непосредственных участников рынка грузоперевозок, однако введение налога повлияет (отрицательно) и на других экономических агентов — например, на потребителей перевозимых товаров, так как вслед за ростом цены перевозок вырастут и цены на перевозимые товары. Это может иметь макроэкономические последствия — рост цен. Кроме того, может снизиться благосостояние производителей перевозимых товаров, ведь теперь купцы будут готовы платить им меньшую оптовую цену. Сокращение транспортных перевозок между регионами со сравнительными преимуществами также может приводить к потерям. С учетом этих дополнительных издержек для общества введение налога может не быть оправданным.

Торговля квотами

ВсОШ · заключительный этап · 2019 · 10–11 кл.

Горный хребет У., как и многие горные системы, богат месторождениями различных металлических руд: под землей находятся залежи руды 15 видов металлов. Соответственно, есть 15 заводов, каждый из которых специализируется на добыче одного вида руды (не такой, как у остальных) и извлечении из нее металла. Свою продукцию (металл) заводы продают по ценам 1, 2, $\ldots$ , 15 д.е. за тонну, а технология производства у всех них одинакова: для изготовления из любой руды $q$ тонн соответствующего металла необходимо потратить $q^2/4$ д.е. Однако металлургическое производство сопровождается выбросами вредных веществ, которые наносят сильный ущерб экологии: производство тонны любого металла связано с выбросом 0,5 ед. загрязняющих веществ. В связи с этим правительство региона вводит квоты на загрязнение окружающей среды: каждый завод отныне может выбросить не более 3 единиц вредных веществ.

а). (2 балла) На какую величину удастся сократить выбросы вредных веществ после введения квот?

б). (5 баллов) Предположим теперь, что заводы имеют право продавать квоты другим заводам и покупать их у других заводов. Рынок квот на выбросы совершенно конкурентный: заводы взаимодействуют так, как будто ни один из них не имеет влияния на цену квоты, воспринимая ее как заданную. Квоты бесконечно делимы (то есть можно, например, продать или купить квоту на право выбросить 0,08 ед. веществ или любого другого количества). Чему в равновесии будет равна цена квоты на единицу загрязнения? (Обозначьте ее за $t$ .) Чему будут равны выбросы каждого из заводов?

в). (2 балла) Если вы правильно решили предыдущие пункты, то вы получили, что появление рынка эмиссионных квот увеличивает выбросы. При этом организация такого рынка потребовала бы существенных затрат от государства и его участников. Вместе с тем, подобные механизмы иногда создаются (самый известный пример - Киотский протокол). Приведите одно объяснение, почему это происходит.

Решение

а). Прибыли заводов без квотирования:

\pi_i(q_i)=iq_i-q_i^2/4.

Это квадратичная функции, ветви парабол направлены вниз, вершина $q_i=2i$ .

В отсутствие квот суммарные выбросы равны

(2+4+\ldots+30)/2=1+2+\ldots+15=120.

Ограничение на выброс вредных веществ означает, что $q_i\le 3\cdot 2 = 6$ . Получается, что заводы с номерами 1, 2 и 3 смогут произвести свой оптимальный выпуск, а остальным придется сократить его до 6 единиц. В этом случае суммарные выбросы составят

(2+4+ 6 + 6\cdot 12)/2=42.

Получается, что введение квот позволяет сократить выбросы на 78 единиц.

б). Прибыль завода $i$ равна

\pi_i(q_i)=iq_i-(q_i^2)/4+t(3-q_i/2).

Последнее слагаемое — выручка или затраты, связанные с торговлей квотами. Если завод производит менее 6 единиц продукции, то $q_i/2\lt 3$ , в равновесии завод продаст излишнюю квоту и последнее слагаемое будет положительно. Если, напротив, завод производит более 6 единиц продукции, то $q_i/2>3$ , заводу нужно докупать квоты и последнее слагаемое отрицательно.

Прибыль - квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина $q_i=2i-t$ . Это будет оптимальный выпуск только для тех заводов, номер которых в равновесии будет больше, чем половина цены квоты; у остальных $q_i=0$ , так как их функции прибыли являются убывающими. Таким образом, для каждого завода спрос на дополнительные квоты будет равен

z_i=q_i/2-3= \begin{cases} i-t/2-3,& i>t/2;\\ -3,& i\le t/2. \end{cases}

Если эта величина отрицательна, то завод предъявляет предложение квот, а если величина положительна, то завод предъявляет спрос на квоты. В равновесии сумма всех $z_i$ должна равняться нулю, чтобы рынок квот был сбалансирован. Пусть есть $m$ заводов, не производящих ничего и продающих всю квоту в размере 3 ед. (это заводы с номерами $1, \ldots, m$ ), тогда есть $15-m$ заводов, которые производят ненулевой выпуск (это заводы с номерами $m+1, \ldots, 15$ ). Значит, на рынке квот

-3m+(15-m)(16+m)/2-(15-m)t/2-3(15-m)=0.

Преобразовав, получим

t/2=\frac{16+m}{2}-\frac{45}{15-m}.

При этом, чтобы заводы с первого по $m$ -тый производили 0, а остальные — положительный выпуск, в силу выражения для $z_i$ должно выполняться $m\le t/2\lt m+1$ . Подставляя выражение для $t/2$ и решая левое неравенство, получаем $m\le 6$ (из неравества $m^2-31m+150\ge 0$ ). Решая правое неравенство, получаем $m>5$ (из неравенства $m^2-29m+120\lt 0$ ). Итак, получаем, что $m\in(5;6]$ . Поскольку $m$ - натуральное число, $m=6$ .

Значит, в равновесии $t=2m=12$ . Таким образом, первые 6 заводов (номера 1-6) ничего не производят (а продают свои квоты), и их выбросы равны нулю. Выбросы заводов с 7-го по 15-ый равны $1, 2, \ldots, 9$ единиц соответственно. Сумма выбросов равна 45.

в) Плюсы торгуемых квот:

Стимулы действуют постоянно. Стимулы сокращать выбросы при использовании торгуемых разрешений остаются независимо от уже достигнутого уровня выбросов, в отличие от применения инструмента жестких квот, когда достаточно сократить выбросы до заданного потолка, а дальше сокращать нет смысла.
Сокращения распределяются эффективно. С точки зрения общества важен не только суммарный объем выбросов но и то, как он распределяется между заводами. Нужно, чтобы более ценные для общества блага производились в большем объеме, чем менее ценные. Рынок квот позволяет учитывать информацию об относительной ценности и редкости благ через спрос фирм на квоты.

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.