Сравнительное преимущество и сложение КПВ

КПВ в регионах при отсутствии обменов:

а) Каждый житель может произвести 0,5 кг помидоров и 0,5 кг огурцов соответственно, он и получит 0,5 порции салата. Всего в регионе будет произведено 3000 кг каждого вида овощей, то есть 6000 кг салата. Уравнение КПВ региона имеет вид: $X_A+Y_A=6000$.

**б)**Пусть $L_X$ – количество работников, занятых производством помидоров, а, $L_Y$ – производством огурцов. Тогда:

$\begin{array}{ccc} X_B=0{,}8L_X; & Y_B=k\cdot L_Y; & X_B+Y_B=1000\end{array}$

Уравнение КПВ региона B: $\dfrac{X_B}{0{,}8}+\dfrac{Y}{k}=1000$

Приравнивая $X=Y$, получаем: $Y_B=X_B=\dfrac{1000k}{1{,}25k+1}$

Значит, каждому жителю региона достанется по $k/(1{,}25k+1)$кг помидоров и огурцов, то есть по $k/(1{,}25k+1)$ порции салата (комплектов).

в) Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость 1 кг помидоров в регионе А равна 1 кг огурцов. Альтернативная стоимость 1 кг помидоров в регионе B равна 1,25k кг огурцов. Вид общей КПВ будет зависеть от соотношения альтернативных стоимостей, то есть от того, $k\leq0{,}8$ или $k>0{,}8$.

Случай 1. $k\leq0{,}8$ (случай k=0,8 можно включить как в случай 1, так в случай 2). Cуммарная КПВ будет иметь вид:

Поскольку 6000/800 > 1, луч $Y=X$ пересечёт её на нижнем участке, имеющем уравнение $Y = 6800 −X$. Значит, $6800-X=X$, откуда $X=3400$. Это и будет суммарноe количество произведённых порций салата.

Cлучай 2. $k>0{,}8$. Cуммарная КПВ будет иметь вид:

Поскольку по условию $k\leq6$, луч $Y=X$ пересечёт её на верхнем участке, имеющем уравнение $Y=6000+1000k −X$. Значит, $Y= 6000+1000k −X=X$, откуда $X=3000+500k$.

Подытоживая, получаем, что суммарноe количество произведённых порций салата равно:

$X=Y=\begin{cases}3400, & k\leq0{,}8 \\ 3000+500k, & k \in (0{,}8;6] \end{cases}$

г) Потребление каждым жителем страны салата при центральном планировании:

$\dfrac{X}{7000}=\dfrac{Y}{7000}=\begin{cases}\dfrac{17}{35}, & k\leq0{,}8 \\ \dfrac{6+k}{14}, & k \in (0{,}8;6] \end{cases}$

Поскольку $\dfrac{17}{35}=\dfrac{34}{70}\lt\dfrac{35}{70}=\dfrac{1}{2}$, при $k\leq0{,}8$ жители региона А точно проиграют от планирования. При $k> 0{,}8$ они проиграют, если $\dfrac{6+k}{14}\lt\dfrac{1}{2}$, то есть при $k<1$. Объединяя эти два случая, получаем, что жители страны А проиграют при $k\in(0; 1)$.

д) Аналогичным образом получаем, что при $k\leq0{,}8$ жители страны B проиграют, если $\dfrac{34}{70}\lt\dfrac{k}{1{,}25k+1}$, то есть если $68\lt55k$, что невозможно при $k\leq0{,}8$. Значит, в этом случае они точно не проиграют. Если же $k \in(0{,}8; 6],$ жители страны B проиграют, если: $\dfrac{6+k}{14}\lt\dfrac{k}{1{,}25k+1}.$

После преобразований получаем квадратное неравенство $5k^2 − 22k+ 24 \lt0$. Решением этого неравенства является область между корнями уравнения $5k^2−22k +24 = 0$. Решая уравнение, получаем:

$k_{1,2}=\dfrac{11\pm\sqrt{121-120}}{5}=\left[\begin{array}{l}2; \\ 2{,}4.\end{array}\right.$

Поскольку 2,4 < 6, весь интервал (2; 2,4) входит в множество значений параметра, рассматриваемое в данном случае. Значит, весь интервал (2; 2,4) и будет ответом. Жители страны Б проиграют при $k\in(2; 2{,}4)$.

(а) При отсутствии войны король Ешьдапей может добиться $B=E=\dfrac{10}{3}$.

При войне общее количество часов не меняется.

Заметим, что жители королевства еды и вина умеют лучше производить еду, а жители королевства вина и еды умеют лучше производить вино. Следовательно, так как Ешьдапей имеет возможность «обменять» $H$ своих человеко-часов на $H$ человеко-часов соседнего королевства, то ему имеет смысл «обменять» их так, чтобы всю еду производили на его изначальной территории, а чтобы всё вино производили на завоёванной территории. Другими словами, точка перелома новой КПВ должна находиться на прямой $y=x$, где $y$ обозначает количество еды, а $x$ — количество вина. В то же время в точке перелома $x=H$, а $y=10-H.$ Следовательно, оптимальным $H$ будет тогда, когда будет выполняться следующее равенство.

$$H=10-H.$$ $$H=5.$$

Если $H=5$, то можно обеспечить $B=E=5>10/3$, если $H\ne5$, то из условия $B=E$ следует, что кто-то работает не по специальности. Поэтому $B=E<5$.

Приведем теперь графическую иллюстрацию.

(б) Теперь король может «обменять» $2H$ из своих человеко-часов на $H$ человеко-часов соседнего государства. Можно заметить, что Король не сможет обеспечить лучший выбор в результате ни от одного из обменов.

Н приобретенных иностранцев смогут произвести $E=H$ или $B=0,5H$.

2Н потерянных соотечественников могли произвести $E=2H$ или $B=H$.

Но при каких-то войнах ему может быть не хуже, чем раньше. А именно, при таких войнах, что он сможет получить $B=E=\dfrac{10}{3}$ .

А это, в свою очередь, выполняется при $H\le \dfrac{10}{3}$ (то есть пока новых иностранцев не придется задействовать не по их специализации).

Ответ:$H\in[0;10/3]$

Приведем теперь графическую иллюстрацию.

(в) Если $H>2$, то решение аналогично решению п. (б), король точно не будет воевать. Пусть далее $H\le2$. Первоначально $10/3$ работали на производстве $E$, $20/3$ работали на производстве $B$. Зафиксируем $E$. Если захватим $H$ земель, то потеряем в вине $\dfrac{H^{2}}{2}$, а приобретем $H$.

Максимизируем $-\dfrac{H^{2}}{2}+H$, получаем $H=1$. Таким образом, среди $H\in[0,2]$ оптимальным вариантом является $H=1$.