Альтернативные издержки и КПВ

Задача до теории

Попробуй 10 минут, ещё не читая теорию.

Главное – не перетрудиться

Московская олимпиада (МОШ) · 2017 · 5–7 кл.

Незнайка решает, кем он хочет быть в будущем. Сегодня ему исполнилось 10 лет, и он решил, что пора выбрать одну из следующих альтернатив:

Он может не идти учиться и вместо этого собирать ягоды и продавать их на рынке. Такая работа будет приносить ему 100 сантиков в месяц.
Он может пойти получать среднее образование. Тогда через 5 лет он сможет стать электриком и помогать Винтику и Шпунтику. Такая работа будет приносить ему 2 фертинга и 50 сантиков в месяц.
Ну и наконец, Незнайка может пойти учиться в университет. Тогда через 10 лет он сможет стать программистом и зарабатывать 4 фертинга в месяц.

Во время обучения Незнайка не может работать. Какую работу стоит выбрать Незнайке, если он хочет заработать как можно больше денег и перестать работать в 25 лет (10 баллов)? А если в 30 лет (10 баллов)?

Справка: 100 сантиков составляют фертинг.

Решение

Нужно посчитать сколько Незнайка заработает в каждом из случаев.

В общем виде выгода от определённого вида занятости выглядит так:

\textbf{Зарплата в месяц} \times 12 \times \textbf{Количество лет работы}

Тогда, для каждого вида деятельности (в фертингах) для пункта 1) :

(3 балла) Собирать ягоды: $1\times12\times(25 - 10) = 180$

(3 балла) Работать электриком: $2.5\times12\times(25-15) = 300$

(3 балла) Работать программистом: $4\times12\times(25-20) = 240$

(1 балл) Вывод о том, что работать электриком выгоднее всего.

При отсутствии вычислений для любого из типов работ – максимум за пункт 5 баллов

Тогда, для каждого вида деятельности (в фертингах) для пункта 2) :

(3 балла) Собирать ягоды: $1\times12\times(30 - 10) = 240$

(3 балла) Работать электриком: $2.5\times12\times(30-15) = 450$

(3 балла) Работать программистом: $4\times12\times(30-20) = 480$

(1 балл) Вывод о том, что работать программистом выгоднее всего.

При отсутствии вычислений для любого из типов работ – максимум за пункт 5 баллов

*Упоминание о том, что собирать ягоды не может стать самым выгодным занятием при удлинении срока работы эквивалентно вычислению дохода.

Теория

Ограниченность, выбор и альтернативные издержки

Ограниченность ресурсов

У человека 24 часа в сутки, у страны конечное число работников, станков и гектаров земли, у семьи ограниченный бюджет. При этом желания людей практически безграничны: всегда хочется больше товаров, больше отдыха, больше знаний. Это противоречие называется проблемой ограниченности, и экономика изучает, как люди, фирмы и государства делают выбор в условиях ограниченности.

Ресурсы (факторы производства) обычно делят на четыре группы: труд, капитал (станки, здания, оборудование), земля (включая все природные ресурсы) и предпринимательские способности. Из ресурсов производят блага: товары и услуги.

Альтернативные издержки

Обратите внимание: ОИ ручки в карандашах и ОИ карандаша в ручках обратны друг другу ( $2$ и $^{1}_{2}$ ). Это верно всегда, когда речь идёт о двух товарах.

шурупа. Один шуруп стоит $_{4}^{3}$ гайки.

Альтернативные издержки времени

Время тоже ограниченный ресурс. Час, потраченный на готовку, нельзя потратить на работу. Поэтому для человека, который может работать за плату $w$ в час, каждый час, потраченный на что-то другое, стоит $w$ рублей упущенного дохода.

Пример

Как поесть юристу

Юрист зарабатывает $w$ рублей в час и может работать сколько угодно. Для каждого приёма пищи у него три варианта:

1. сходить в магазин (30 минут), купить продукты за 600 и приготовить (45 минут);
1. заказать доставку продуктов за 500, продукты стоят 600, приготовить самому (45 минут);
1. заказать готовую еду за 1200 с доставкой за 500.

При какой зарплате какой вариант выгоднее?

Решение. Экономические издержки это денежные траты плюс ОИ времени:

C_1 = 600 + 1{,}25w, \qquad C_2 = 1100 + 0{,}75w, \qquad C_3 = 1700.

Сравним попарно. Второй лучше первого при $1100 + 0{,}75w < 600 + 1{,}25w$ , то есть при $w >$

$1000$ . Третий лучше второго при $w > 800$ . Третий лучше первого при $1700 < 600 + 1{,}25w$ , то есть при $w > 880$ .

Ответ. При $w < 880$ выгоднее готовить самому с походом в магазин, при $w > 880$ заказывать готовую еду, при $w = 880$ эти варианты равноценны. Второй вариант ни при какой зарплате не лучше обоих других: когда он выгоднее первого ( $w > 1000$ ), третий ещё выгоднее.

Множество производственных возможностей

Если на 100 рублей можно купить ручки по 10 и карандаши по 5, то доступны все наборы $(r; k)$ , для которых $10r + 5k \le 100.$

Это множество называется множеством производственных возможностей (МПВ). Слово «производственных» условно: возможности бывают покупательными, временными и любыми другими, а смысл всегда один: что мы можем получить при имеющихся ресурсах. Набор $(5; 10)$ входит в МПВ ( $50 + 50 = 100$ ), а набор $(10; 1)$ уже нет ( $100 + 5 > 100$ ).

Ещё пример: дорога домой и две работы

Пример

Пешком, на автобусе или на такси

Студент может идти домой пешком (2 часа, бесплатно), ехать на автобусе (1 час, 60 рублей) или на такси (30 минут, 300 рублей). Он может подрабатывать на одной из работ: за 50 рублей в час или за $W$ рублей в час. Пешком и в автобусе работать нельзя, а в такси можно работать всю поездку. Что он выберет?

Решение. Час его времени стоит $m =$ max ${50; W }$ . Экономические издержки: пешком $2m$ , автобус $60 + m$ , такси $300$ (время в такси не теряется, он работает). Автобус лучше пешего пути при $m > 60$ , такси лучше автобуса при $m > 240$ .

Ответ. При $W \le 60$ идти пешком (при $W = 60$ безразлично с автобусом), при $60 < W < 240$ автобус, при $W > 240$ такси (при $W = 240$ безразлично).

Кривая производственных возможностей

Определение КПВ

В примере с ручками МПВ задаётся неравенством $10r + 5k \le 100$ , а КПВ равенством $10r + 5k = 100$ : тратится вся сумма.

**Рис. 11.1:** Три вида точек: на КПВ (эффективно), внутри (ресурсы используются не полностью), снаружи (недостижимо)

Относительно КПВ бывают три вида точек:

на КПВ: эффективное производство;
внутри: ресурсы используются не полностью или неэффективно (безработица, простаивающие станки); можно произвести больше обоих товаров;
снаружи: при данных ресурсах и технологиях недостижимо.

Альтернативные издержки и наклон КПВ

Двигаясь вдоль КПВ, мы увеличиваем производство $x$ и уменьшаем производство $y$ . На сколько уменьшается $y$ на каждую дополнительную единицу $x$ , это и есть ОИ товара $x$ :

\mathit{OC}_x = -\frac{\Delta y}{\Delta x} = -y'(x), \qquad \mathit{OC}_y = -x'(y) = \frac{1}{\mathit{OC}_x}.

Итак, ОИ $x$ равны наклону КПВ (по модулю), если $x$ отложен по горизонтальной оси.

Форма КПВ и поведение ОИ

ОИ постоянны $\Leftarrow \Rightarrow$ КПВ прямая. Если в условии сказано «ОИ постоянны», значит, КПВ линейна. Это соответствует постоянной отдаче: каждая следующая единица $x$ стоит столько же $y$ .
ОИ растут по мере производства $x \Leftarrow \Rightarrow$ КПВ выгнута наружу (как парабола ветвями вниз). Это самый частый случай: сначала на производство $x$ переключают ресурсы, которые для него лучше всего подходят, а потом приходится брать всё менее подходящие. Например, если ОИ $x$ равны $2x$ , первая единица $x$ стоит 2 единицы $y$ , а вторая уже 4.
ОИ падают $\Leftarrow \Rightarrow$ КПВ вогнута внутрь. Это возрастающая отдача: в сапожной мастерской каждая следующая пара сапог обходится дешевле благодаря опыту, оборудованию и меньшим отходам.

**Рис. 11.2:** Форма КПВ определяется тем, как меняются альтернативные издержки

Как построить КПВ

Из производственных функций

Пример

Труд в двух отраслях

Производственные функции $x = 4\sqrt{L_x}$ и $y = 2L_y$ , всего труда $L = 200$ . Постройте КПВ.

Решение. Ограничение по труду: $L_{x} + L_{y} = 200$ . Выражаем труд через количества:

$L_x = \dfrac{x^2}{16}$ , $L_y = \dfrac{y}{2}$ . Подставляем:

\frac{x^2}{16} + \frac{y}{2} = 200 \quad \Longrightarrow \quad y = 400 - \frac{x^2}{8}, \quad 0 \le x \le 4\sqrt{200} = 40\sqrt{2}.

Это парабола ветвями вниз: ОИ $x$ равны $\dfrac{x}{4}$ и растут.

Несколько ограничений: нижняя огибающая

Если для производства нужны несколько ограниченных ресурсов, каждый задаёт своё ограничение, и КПВ это граница их пересечения, то есть нижняя из линий в каждой точке.

Пример

Дома из досок и кирпичей

Есть 320 досок и 350 кирпичей. Печь требует 20 кирпичей. Одноэтажный дом ( $x$ ) требует печь, 40 кирпичей и 40 досок; двухэтажный ( $y$ ) печь, 50 кирпичей и 80 досок. Постройте КПВ.

Решение. Доски: $40x + 80y \le 320$ . Кирпичи: печей нужно $x + y$ , поэтому $20(x + y) + 40x + 50y \le 350$ , то есть $60x + 70y \le 350$ . В виде функций:

y \le 4 - \frac{x}{2}, \qquad y \le 5 - \frac{6x}{7}.

При $x = 0$ ограничение по доскам строже ( $4 < 5$ ), при больших $x$ строже ограничение по кирпичам. Прямые пересекаются, когда $4 - \dfrac{x}{2} = 5 - \dfrac{6x}{7}$ , то есть при $x = 2{,}8$ , $y = 2{,}6$ .

Ответ. КПВ: $y = 4 - \dfrac{x}{2}$ при $0 \le x \le 2{,}8$ и $y = 5 - \dfrac{6x}{7}$ при $2{,}8 \le x \le \dfrac{35}{6}$ . (Если дома можно строить только целиком, допустимы лишь целые точки под этой ломаной.)

Несколько вариантов: верхняя огибающая

Если можно выбрать один из нескольких способов производства (например, купить инструмент или нет), строят КПВ каждого варианта и берут верхнюю огибающую: в каждой точке выбирают лучший вариант.

Пример

Робинзон и инструменты

Робинзон работает 40 часов и за час добывает одну рыбу или один кокос. Можно потратить 15 часов на сеть (тогда рыбы 2 в час) и 15 часов на лестницу (тогда кокосов 2 в час). Постройте КПВ ( $x$ кокосы, $y$ рыба).

Решение. Варианты:

без инструментов: $x + y = 40$ , то есть $y = 40 - x$ ;
только лестница: остаётся 25 часов, $\dfrac{x}{2} + y = 25$ , то есть $y = 25 - 0{,}5x$ ;
только сеть: $x + \dfrac{y}{2} = 25$ , то есть $y = 50 - 2x$ ;
и сеть, и лестница: остаётся 10 часов, $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 10$ , то есть $y = 20 - x$ .

Верхняя огибающая: при $0 \le x \le 10$ лучше всего сеть ( $50 - 2x \ge 40 - x$ ), при $10 \le x \le 30$ без инструментов, при $30 \le x \le 50$ лестница ( $25 - 0{,}5x \ge 40 - x$ при $x \ge 30$ ). Вариант с двумя инструментами нигде не лучший.

Рис. 11.3: КПВ Робинзона это верхняя огибающая вариантов: сеть, без инструментов, лестница

Сдвиги КПВ

КПВ строится при данных ресурсах и технологиях. Если они меняются, КПВ сдвигается.

Рост ресурсов (население, капитал) сдвигает КПВ наружу; это и есть экономический рост.
Улучшение технологии производства одного товара поворачивает КПВ: точка на оси этого товара отодвигается, а точка на оси другого остаётся на месте.
Потеря ресурсов (война, катастрофа) сдвигает КПВ внутрь.

Особые КПВдля заключительного этапа

КПВ с общим ресурсом, который делится в долях

Если, например, время делится между двумя полями в долях $\alpha$ и $1 - \alpha$ , каждая КПВ сжимается пропорционально: свободный член умножается на долю, а наклон (ОИ) не меняется. Итоговая КПВ это верхняя огибающая сумм по всем $\alpha$ (на практике это сводится к сложению КПВ из главы 12).

Трёхмерная КПВ

Для трёх товаров с линейными технологиями КПВ это плоскость, проходящая через максимальные объёмы $x_{0}$ , $y_{0}$ , $z_{0}$ :

\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1.

Если товары производятся из нескольких ресурсов с заданными нормами затрат, сначала записывают ограничение на каждый ресурс, затем подставляют нормы затрат и исключают лишние переменные.

КПВ вида минимум и максимум

Если ограничение имеет вид max ${x; y} \le 10$ , эффективна единственная точка $(10; 10)$ : увеличить один товар нельзя, а уменьшать бессмысленно. Если же ограничение min ${x; y} \le 10$ , то один из товаров можно производить в любом количестве, и эффективной точки нет вообще.

Разбор: целочисленная КПВ (региональный этап 2024/25)

Разбор олимпиадной задачи

КПВ с целыми товарами, региональный этап 2024/25

В экономике 100 единиц труда; единица $X$ требует 15 единиц труда, единица $Y$ требует 20; товары производятся только целыми единицами. Какие утверждения верны: (1) ОИ $X$ постоянны; (2) ОИ пятой единицы $X$ равны одной единице $Y$ ; (3) если используется только 90 единиц труда, страна под КПВ; (4) набор «3 $X$ и 2 $Y$ » неэффективен?

Решение. Для каждого $x$ найдём наибольший целый $y$ : остаток труда $100-15x$ , делённый на 20 и округлённый вниз.

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{\max}$	5	4	3	2	2	1	0

(1) Неверно: переход от 3 к 4 единицам $X$ не стоит ничего ( $y$ остаётся 2), остальные переходы стоят 1 единицу $Y$ . (2) Верно: от $(4; 2)$ к $(5; 1)$ . (3) Неверно: точка $(6; 0)$ использует ровно 90 единиц труда, но она эффективна: оставшихся 10 единиц не хватает ни на одну единицу товара. (4) Верно: набор $(3; 2)$ использует 85 единиц, а $(4; 2)$ тоже доступен. Ответ. Верны (2) и (4). При целочисленности «под КПВ» определяется не количеством использованного ресурса, а тем, можно ли произвести больше.

Разбор: КПВ производственной цепочки (заключительный этап 2025)

Разбор олимпиадной задачи

Хлеб и ткань из земли и труда

В деревне 60 хозяйств, у каждого 1 единица земли и 5 единиц труда. Пшеница требует 5 труда и 1 земли, лён только 1 земли. Хлеб делается из 1 пшеницы и 1 труда, ткань из 1 льна и 4 труда. Найдите КПВ «хлеб $x$ , ткань $y$ ».

Решение. На всю цепочку хлеба уходит $x$ земли и $6x$ труда, на цепочку ткани $y$ земли и $4y$ труда. Ограничения: $x + y \le 60$ (земля) и $6x + 4y \le 300$ (труд), то есть $y \le 60 - x$ и $y \le 75 - 1{,}5x$ . КПВ это нижняя огибающая.

Ответ. $y =$ min ${60 - x; 75 - 1{,}5x}$ , $0 \le x \le 50$ ; излом в $(30; 30)$ .

Разбор: «КПВ в учёбе» (заключительный этап 2023)

Разбор олимпиадной задачи

КПВ с порогом, зависящим от другого товара

У ученика 180 единиц энергии. Единица энергии на математику даёт 0,5 балла; на информатику даёт 1 балл до порога $8\sqrt{e_1}$ (где $e_1$ — энергия на математику), дальше 0,5 балла.

Решение. КПВ. Пока оценка по информатике $g_{2}$ не выше порога, тратится $2g_{1}+g_{2} = 180$ , то есть $g_2 = 180 - 2g_1$ ; это участок при $g_1 \ge 50$ . Выше порога энергия на информатику $2g_2 - 8\sqrt{2g_1}$ , и $g_2 = 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}$ при $g_1 \le 50$ ; излом в $(50; 80)$ . Нелинейный участок растёт до $g_{1} = 8$ (там $g_{2} = 98$ ): при меньших $g_{1}$ выгоднее перейти в эту точку, поэтому КПВ начинается с горизонтального участка на уровне 98.

Максимум средней оценки. Средняя оценка растёт с энергией на математику до $e_{1} = 100$ и падает после: оптимум в изломе, $g_{1} = 50$ , $g_{2} = 80$ .

С учётом отдыха (цель $\dfrac{g_1 + g_2}{2} + \dfrac{e_3}{3}$ ): информатику выгодно учить ровно до порога, $e_2 = 8\sqrt{e_1}$ ; тогда цель $60 + \dfrac{8\sqrt{e_1}}{6} - \dfrac{e_1}{12}$ , $\sqrt{e_1} = 8$ , $g_1 = 32$ , $g_2 = 64$ .

Ответ. Ученик, ценящий отдых, выбирает точку внутри КПВ: это не неэффективность, а учёт третьего блага, которого нет на графике.

Справка

КПВ

КПВ: полное и эффективное использование ресурсов; точки внутри неэффективны, снаружи недостижимы.
$\mathit{OC}_{x} = -y'(x)$ (модуль наклона), $\mathit{OC}_{y} = 1/\mathit{OC}_{x}$ .
Постоянные ОИ: прямая; растущие: выгнута наружу; падающие: вогнута внутрь.
КПВ строят из ограничения на ресурсы, выражая ресурсы через количества товаров.
Несколько ресурсов: нижняя огибающая; несколько вариантов технологии: верхняя огибающая.
Рост ресурсов сдвигает КПВ наружу; технология одного товара поворачивает её.

Задачи

Базовый уровень

Оч. задача 2 НОЦ ВолНЦ РАН (9 класс, часть Б)

Олимпиада ВолНЦ РАН · 2016 · 9 кл.

В кондитерской «Конфетка» работают 10 пекарей. Все они настоящие профессионалы и одинаково хорошо умеют печь торты и кексы. За один рабочий день каждый пекарь может испечь либо 8 тортов, либо 32 кекса.

Начертите кривую производственных возможностей кондитерской «Конфетка».
Какой вид имеет кривая производственных возможностей кондитерской? Ответ поясните.
После того, как в кондитерской сломалась одна духовка, каждый пекарь смог печь только 4 торта в день. Как изменилась кривая производственных возможностей кондитерской?
Мастер, приехавший чинить старую духовку, посоветовал директору кондитерской купить новую, более функциональную и надежную. После того, как покупка была совершена, каждый пекарь смог печь уже 16 тортов в день вместо 8. Постройте новую кривую производственных возможностей кондитерской.

Тропический рай

ВсОШ · муниципальный этап · 2018 · 7–8 кл.

Робинзон решил открыть собственный бизнес. Даже название придумал: «Тропический рай». Вот только он никак не может определиться, что ему производить. Есть два варианта: кокосовое молоко «Как у бабушки» или коктейль «Мечта аборигена». Для производства двух стаканов кокосового молока ему понадобится только один кокос. Для производства шести коктейлей необходимо два кокоса и сок трёх гуав. Усилия самого Крузо при производстве обоих напитков одинаковы, возможно производство любого, в том числе нецелого, числа каждого из напитков. За день он может произвести либо 40 стаканов кокосового молока, либо 30 коктейлей, а также любую линейную комбинацию между этими вариантами (например, 36 стаканов кокосового молока и 3 коктейля). Сырьё (кокосы и гуаву) он закупает у другого бизнесмена – Пятницы. За один кокос Пятница просит 6 ракушек, а за одну гуаву – 8. Робинзон уверен, что сможет продать всё произведённое кокосовое молоко по цене 10 ракушек за стакан, а коктейли – по цене 15 ракушек. Найдите максимальную прибыль Робинзона в течение дня.

Средний уровень

Страна ТУТ

ВсОШ · заключительный этап · 2010

В стране ТУТ население умеет производить лишь два товара, X и Y. При этом единственным фактором производства является труд. Запас труда (измеряемый в человеко-часах) экономики равен 75. Технология производства товара X задается функцией $Q_x=(L_x/10)^2$ , где $L_x$ — количество человеко-часов, используемых в производстве товара X, а $Q_x$ — объем выпуска товара X. Технология производства товара Y задается функцией $Q_y=L_y$ .

(а) Найдите уравнение, задающее кривую производственных возможностей (КПВ) страны ТУТ, и изобразите КПВ графически.

(б) Если население страны ТУТ предпочитает потреблять товары X и Y в пропорции один к одному и при это стремится максимизировать потребление подобных наборов, то какое количество каждого товара будет произведено в стране, если она не поддерживает торговые связи с другими государствами. Проиллюстрируйте решение на графике.

(в) Соседняя страна ТАМ обладает другой технологией производства товара X вида $Q_x=2L_x$ и готова поделиться своим ноу-хау со страной ТУТ при условии, что работники страны ТУТ отработают 36 человеко-часов на предприятиях страны ТАМ. Найдите и изобразите КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей. Как изменится потребление страны ТУТ?

Решение

(a) Уравнение КПВ – 3 балла.

Уравнение КПВ. Поскольку $L_{X}=10\sqrt{Q_{X}}$ и $L_{Y}=Q_{Y}$ , а совокупный запас труда в экономике равен 75, то $10\sqrt{Q_{X}}+Q_{Y}=75.$ Таким образом, $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{X}}.$ Заметим, что полученная функция является убывающей и строго выпуклой.

График – 3 балла.

б) Расчет объемов потребления – 3 балла.

Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого товара, то $Q_{X}=Q_{Y}$ и, подставляя в уравнение КПВ, находим $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{Y}}$ . Решим полученное уравнение, обозначив $\sqrt{Q_{Y}=a},$ \

$a^{2}+10a-75=0$ , откуда $a=-5+\sqrt{25+75}=5$ . Таким образом, $Q_{X}=Q_{Y}=25.$

**Иллюстрация на графике – 1 балл.

(в) КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.**

Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при использовании своей и чужой технологии.

При использовании технологии страны ТАМ имеем $0.5Q_{X}+Q_{Y}=75-36=39,$ откуда $Q_{Y}=39-0.5Q_{X}.$ \

Итак, КПВ описывается условием $Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}.$

при $b=(10\pm\sqrt{100-72})=10\pm\sqrt{28}.$ Поскольку $75-10b<0$ при $b>7.5$ , то нас интересует лишь $10-\sqrt{28}.$ Итак,

Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}= \begin{cases} 75-10\sqrt{Q_{X}},&\text{ если } Q_{X}\le (10-\sqrt{28})^{2} \\ 39-0.5Q_{X},&\text{ если }(10-\sqrt{28})^{2} \end{cases}\\

(синяя кривая на графике)

График – 3 балла.

Заметим, что $(10-\sqrt{28})^{2}<25<26.$ \

Потребление страны ТУТ – 1 балл.

Находим новую точку потребления как пересечение новой КПВ с прямой $Q_{Y}=Q_{X}.$ \

Итак, $Q_{X}=39-0.5Q_{X},$ откуда $Q_{Y}=Q_{X}=39/1.5=26,$ т.е. потребление каждого товара возрастает на единицу.\

Необитаемый остров

ВсОШ · региональный этап · 2014

Корабль, на котором плыл Робинзон, потерпел кораблекрушение, и он оказался на маленьком необитаемом острове в океане. У него оказалось два полностью разряженных мобильных телефона, Samsung и Nokia, одно автономное зарядное устройство (АЗУ) и часы с секундомером.

Для каждой минуты использования телефона Nokia нужно заряжать его 1 минуту, а для каждой минуты использования телефона Samsung нужно заряжать его 2 минуты. Всего АЗУ может работать не более 12 минут, которые можно распределить между телефонами в любой пропорции. SIM-карты, установленные в телефонах, подключены к общему лицевому счету, на котором осталось $12. Но тарифы на SIM-картах разные: стоимость минуты соединения с телефона Samsung составляет $1, а минута соединения с телефона Nokia обходится на 50% дороже. Менять SIM-карты в телефонах местами нельзя.

Как должен действовать Робинзон, чтобы получить возможность говорить по телефону максимальное количество времени?

Решение

Пусть N — количество минут, которые можно использовать телефон Nokia, а S – количество минут, которые можно использовать телефон Samsung. Из условия можно вывести ограничения, которые возможности зарядного устройства и тарифов накладывают на Робинзона: ограничение по зарядке: 2S+N=12, ограничение по тарифам: S+1,5N=12 (2 балла за каждое ограничение — всего 4 балла). Множество доступных распределений — такие точки, которые не выходят за оба ограничения (заштрихованная область) (5 баллов).

Точка пересечения двух линий — S=3, N=6.

Теперь выберем среди доступных точек такую, где суммарное количество минут максимально (6 баллов за любой из способов).

Первый способ

Можно проверить, что, находясь в точке пересечения ограничений (3;6), Робинзон не может увеличить суммарное количество минут. Действительно, если он захочет увеличить S на X минут, то актуально будет ограничение по зарядке и N уменьшится на 2X минут (то есть S+N уменьшится на X минут). С другой стороны, если он захочет увеличить N на X минут, то актуально будет ограничение по тарифам, и S уменьшится на 1,5X минут (S+N уменьшится на 0,5X минут). Значит, точка (3;6) является оптимальной.

Эти же рассуждения можно провести, начав «двигаться» из одной из угловых точек допустимого множества: (6;0) или (0;8). Сначала движение выгодно (увеличивает S+N), но при достижении точки (3;6) оно перестает быть выгодным, так что (3;6) — оптимальная точка.

Второй способ

Можно графически получить решение задачи максимизации суммарного количества минут. Для этого нарисуем на том же графике несколько линий, N=T-S (линии изображены пунктиром на рисунке). Меняя параметр T, мы изменяем сумму N+S, поскольку N+S=T . Чем дальше лежит пунктирная линия от начала координат, тем больше значение T. Тогда максимально удаленная от начала координат линия, содержащая хотя бы одну точку из допустимых (закрашенная область), лежит в точке пересечений ограничений (3;6). Значит, точка (3;6) является оптимальной.

Ответ. Необходимо 6 минут заряжать Nokia, 6 минут заряжать Samsung, при этом можно будет осуществить соединение с помощью телефона Nokia в течение 6 минут и с помощью телефона Samsung в течение 3 минут. Максимальное время разговора в этом случае составит 9 минут.

Олимпиадный уровень

Страна Ух

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 9 кл.

Все ресурсы страны Ух могут быть заняты в двух секторах – производстве иксов или игреков. Чтобы произвести единицу икса, нужны единица капитала и две единицы труда; чтобы произвести единицу игрека, нужны две единицы капитала и единица труда. Проблема в том, что страна в данный момент вообще не располагает капиталом, его тоже нужно произвести с помощью труда: единица труда может произвести две единицы капитала. Трудовые ресурсы страны – 100 единиц труда. Задайте уравнение кривой производственных возможностей для данной страны в координатах труда и капитала.

Решение

Пусть $K_x$ – количество единиц капитала, пущенного на производство икса,

$K_y$ – количество единиц капитала, пущенного на производство игрека,

$L_x$ – количество единиц труда, пущенного на производство икса,

$L_y$ – количество единиц труда, пущенного на производство игрека,

$L_k$ – количество единиц труда, пущенного на производство капитала.

Производственные функции: $x=\min\{K_x ; L_x /2 \}$ , $y=\min\{K_y /2 ; L_y \}$ , кроме того, $K=K_x+K_y=2L_k$ (3 балла за равенство). Очевидно, что при эффективном использовании ресурсов будут справедливы равенства $x=K_x=L_x /2$ и $y=K_y/2=L_y$ (по 1 баллу за каждое равенство). Плюс добавится очевидное уравнение $L_x+L_y+L_k=100$ (2 балла за равенство). Составим систему:

\begin{cases} x=K_x\\ x=L_x/2\\ y=K_y/2\\ y=L_y\\ K_x+K_y=2L_k\\ L_x+L_y+L_k=100 \end{cases}

Из этой системы будет получено уравнение, которым задаётся КПВ. Будем по очереди исключать из системы все переменные, кроме икса и игрека. Начнём с $K_x$ и $L_y$ :

\begin{cases} x=L_x/2\\ y=K_y/2\\ x+K_y=2L_k\\ L_x+y+L_k=100 \end{cases}

Теперь избавимся от $L_x$ и $K_y$ :

\begin{cases} x+2y=2L_k\\ 2x+y+L_k=100 \end{cases}

Остаётся выкинуть $L_k$ :

$x+2y=2(100-2x-y)$

$x+2y=200-4x-2y$

$5x+4y=200$

$y=50-1.25x$

(3 балла за вывод кривой производственных возможностей).

Ответ. $y=50-1.25x$

Страна XY

ВсОШ · муниципальный этап · 2016 · 10 кл.

В стране XY единственным фактором производства является труд, рабочая сила составляет 100 единиц труда. Если все они заняты в производстве товаров x или y, то каждая единица труда может произвести 2 единицы первого товара или четыре единицы второго товара. Существует и третий вид деятельности ‒ научные исследования, проводимые в местном университете. Благодаря этим исследованиям, производительность труда может быть увеличена. Если в исследованиях заняты n единиц труда, то производительность растёт в обеих отраслях в (1 + 0,02n) раз по сравнению с первоначальным уровнем. Например, если 10 единиц труда отправить

на обеспечение технологического прогресса, то его уровень будет 20 %, а производительности, соответственно, станут равны 2,4 и 4,8 вместо прежних 2 и 4. Найдите уравнение кривой производственных возможностей страны XY.

Решение

Производственные функции можно записать, как $x=(1+0.02n)2L_x$ и $y=(1+0.02n)4L_y$ (по 2 балла за каждую производственную функцию). Весь труд будет использоваться, т. к. все функции монотонно возрастают, поэтому $L_x+L_y+n=100$ (1 балл за уравнение):

\frac{x}{2(1+0.02n)}+\frac{y}{4(1+0.02n)}+L_n=100 \\y=4(1+0.02n)(100-n)-2x

(2 балла за уравнение).

Мы получили уравнение, описывающее доступные комбинации x и у при разных значениях $L_n.$ Чтобы получить уравнение КПВ, нужно сделать так, чтобы для каждого значения x значение $y=4(1+0.02n)(100-n)-2x$ было максимальным. Видно, что наклон этой линии не зависит от Ln, поэтому разные значения этого параметра задают параллельные друг другу прямые, из которых нам нужно выбрать самую высокую. Для этого нужно максимизировать функцию $(1+0.02n)(100-n)$ . Это квадратичная парабола с ветвями вниз и корнями −50 и 100, значит, вершина параболы – точка максимума – будет находиться в точке 25 (посередине между корнями). Если $n=25$ , то КПВ будет иметь вид $y=450-2x$ (3 балла).

Ответ. $y=450-2x$

Проверь оформление решения

Всё обосновано. Каждое утверждение либо общеизвестно, либо выведено из условия и предыдущих шагов. Иначе балл неполный.
Оптимум доказан. Для максимума или минимума сказано, почему это именно он: вид функции (парабола ветвями вниз), знак производной или эскиз.
Ограничения проверены. Цена и количество неотрицательны, мощности и другие условия задачи выполнены в найденной точке.
Ответ полный. Разобраны все случаи; если решение перебором — видно, что перебор полный.
Шаги видны. Каждое преобразование записано, подстановки показаны, шаги прокомментированы словами: «приравниваем спрос и предложение».
Нет противоречий. В работе нет двух несовместимых утверждений: противоречащие суждения не оцениваются.
Пункты подписаны. Ответ на каждый пункт явно обозначен: а), б), в).
Чистовик в порядке. Зачёркнутое не проверяют. Черновик тоже: всё нужное перенесено в чистовик.

Проверено 0 из 8

Закончил урок?

Отметь, когда решишь задачи своего уровня.