Минералы и налоги

На территории небольшого островного государства открыли месторождение редкого минерала. Он настолько редкий, что его месячная добыча измеряется в килограммах. Месячный спрос на минерал в килограммах $Q = 100 - p$.

На острове есть только две фирмы, которые занимаются разработкой месторождений. Издержки каждой фирмы имеют вид $TC_i(q_i) = 0.5q_i^2 + 4q_i$, где $q_i$ — количество добытого минерала в килограммах фирмой $i = \{1,2\}$. Фирмы конкурируют, одновременно принимая решения об объёме выпуска, и цена на рынке формируется исходя из общего количества. Например, если обе фирмы выдали выпуск по 10 единиц, то цена на рынке установится $P = 100 - 10 - 10 = 80$.

1. Правительство решило пополнить казну и ввело налог со ставки $t$ ед. на каждый добытый килограмм минерала. Какую ставку налога необходимо установить, чтобы получить максимальные налоговые сборы? Чему равны сборы и какую прибыль получит каждая фирма?

2. Какую ставку налога на прибыль 100% нужно установить, чтобы получить такие же налоговые сборы, как в предыдущем пункте задачи? Какую прибыль получит каждая фирма в этом случае?

По просьбе делового сообщества, настаивающего на смягчении налоговой политики и увеличении добычи минерала, правительство приняло решение изменить налоговые ставки, но так, чтобы налоговые сборы в итоге были не меньше 1024 денежных единиц. Какой должна быть ставка налога, чтобы соблюсти пожелания делового сообщества? Какая ставка налога будет назначена и чему будет равен объём производства редкого минерала?