Это проблемы меня будущего

Самоконтроль — это частая проблема многих, потому что мозг вроде и понимает, что в долгосрочной перспективе нужно сдерживать некоторые свои действия ради своего же будущего, но в краткосрочной перспективе этого трудно придерживаться и не поддаваться соблазнам. В этой задаче мы как раз рассмотрим такой случай.

Кирилл — обычный студент, который хочет развиваться и придерживаться «правильного» образа жизни. Пусть $x$ — это количество энергии (в ед.), которое он вкладывает в «хорошие активности»: правильное питание, спорт, чтение книг и т. д.

А вот $y$ — это количество энергии (в ед.), которое он вкладывает в «плохие активности»: вредная пища, прокрастинация, скроллинг ленты. Общий запас энергии Кирилла ограничен и равен $12$ единицам (он необязательно потратит весь запас).

Полезность Кирилла складывается из двух периодов — краткосрочного $(U_0)$ и долгосрочного $(U_1)$. Функции полезности каждого периода имеют вид:

$\begin{aligned} U_0 = 20y −12x && U_1 = 40x− y^2 \end{aligned}$ Кирилл максимизирует функцию общей полезности $U_{\text{общ}}= U_0 + \delta U_1$, где

$\delta \in [0; 1]$ — это «уровень осознанности», то есть насколько Кирилл задумывается о

своем будущем и оценивает долгосрочные последствия от своих текущих решений.

Значения x и y он выбирает только один раз сразу для двух периодов.

а) (3 балла) Потратит ли Кирилл весь запас энергии? Если да, то докажите это

при всех значениях $\delta$.

б) (10 баллов) Найдите оптимальное распределение энергии как функции $x^*(\delta)$

и $y^*(\delta)$ при всех возможных значениях $\delta$.

в) (5 баллов) При каком значении $\delta$ Кирилл получает максимальную полезность

$U_{max}$?

г) (2 балла) Опишите на качественном уровне ваш ответ в пункте в).