Задание 3. Оптимизации не боитесь?

Один предприниматель решил основать компанию по производству игровых приставок, но не одну, а сразу $n$ штук! Игровые приставки производятся с помощью труда и капитала. $Q$ — выпуск фирмы, $K$ — количество капитала, использованного каждой фирмой, а $L$ — количество труда, нанятого одной фирмой. При этом для каждой компании производственная функция одинакова и имеет вид:

$Q(L, K) = \sqrt[4]{K \times L}$

Каждая компания приобретает труд и капитал по разным ценам, причем первая фирма покупает и труд по цене $1$ единица за каждый ресурс, вторая — по цене две единицы, третья — четыре и так далее так, что каждая следующая фирма покупает каждый ресурс по цене вдвое выше предыдущей.

a) Выведите функцию издержек фирмы в зависимости от ее номера. ( $10$ баллов)

b) Выведите издержки предпринимателя, если он использует все фирмы рационально, а всего фирм $n$. ( $20$ баллов)