Задача 2. РЭ ПОШ – 2025 (10-11 класс)

Иван Иванович на маленьком кирпичном заводике производит кирпичи. Производственная функция фирмы имеет вид:

$Q=max\{ KL-L, 0\}$,

где $Q$ - количество произведенных кирпичей, $K$ - объем капитала, $L$ - объем труда. И труд, и капитал приобретается на совершенно конкурентном рынке по ценам: $P_K=1$, $P_L=1$.

На рынке продажи кирпичей фирма является монополистом. Функция спроса имеет вид:$Q = \frac{a^2}{(P+1)^2}$, где $a>0$ - некоторый параметр, $P$ - цена товара.

Фирма знает функцию спроса и максимизирует свою прибыль.

а) ( $8$ баллов) Выведите функцию издержек фирмы $TC(Q)$.

( $6$ баллов) Найдите оптимальный объем производства $Q^*(a)$ при каждом значении параметра $a$.

в) ( $6$ баллов) Фирме предлагают модернизировать завод за $S$ денежных единиц. В случае модернизации производственная функция изменится на следующую: $Q=2\sqrt {KL}$. Для каждого значения параметра $a$ найдите, какую максимальную сумму фирма готова заплатить за модернизацию. Проиллюстрируйте графически функцию $S_{max}(a)$, где$S_{max}(a_0)$ - является данной максимальной суммой при $a=a_0$.