Задача 4. РЭ ПОШ - 2022 (10 класс)

В лучшей пекарне «Макбулочная» кондитер Вова готовит булочки с шоколадом. Поскольку Вова шеф-кондитер, то он сам определяет рецептуру изделий. Так, каждая булочка состоит из $K\in[4;10]$ единиц теста $(y)$ и одной шоколадки $(x)$. Эти ингредиенты пекарь сам создаёт из воздуха, затрачивая только время.

На производство одной единицы шоколадки $(x)$ у Вовы уходит $1$ час времени, а на производство $1$ единицы теста $(y)$ – $0,5$ часа. В течение дня он трудится в пекарне «Макбулочая» $12$ часов. Кондитер не тратит время, чтобы из готового теста и шоколада сделать булочку. Суммарная полезность покупателей зависит от качества булочек, а именно от того, сколько в них теста $(y)$ и шоколада $(x)$, и имеет вид: $U=x*y$.

а) ( $15$ баллов) Шеф-кондитер выбирает $K$, максимизируя полезность покупателей. Найдите оптимальную рецептуру $(K\in[4;10])$, которую выберет Вова.

б) ( $15$ баллов) Опытный рекламщик предложил шеф-кондитеру продавать не только булочки, но и шоколадки (шоколадки на продажу ничем не отличаются от шоколадок в качестве начинок в булочке). Вова всё так же максимизирует полезность потребителей, функция которой имеет вид: $U=b*c$, где $b$ – количество булочек (теперь для потребителей неважно, как много в них начинки), а $c$ – шоколадки, купленные в «Макбулочной». Определите, сколько суммарно Вова произведёт шоколадок (в начинку булочек и на продажу), если он может выбирать оптимальную рецептуру $(K\in[4;10])$.