Задача 3. РЭ ПОШ - 2022 (8-9 класс)

Юный художник Яша увлекается необычными стилями рисования. Для создания картин он использует холсты $(x)$ и уголь $(y)$. В регионе, где живет Яша, есть много художников, поэтому холсты стали редким товаром и их рынок решили регулировать. Если покупатель приобретает менее $10$ холстов, то цена каждого из них составляет $10$ фубликов. Если же покупатель захочет приобрести больше $10$ холстов, то за каждый дополнительно приобретенный холст необходимо заплатить цену $10$ фубликов и налог в размере еще $10$ фубликов. Стоимость угля составляет $10$ фубликов независимо от объёма покупки. Без творчества Яша сильно страдает; его функция полезности имеет вид $U=16x-x^2-y^2+70y-919$. Бюджет, который юный художник выделил на творчество, составляет $500$ фубликов.

а) ( $5$ баллов) Постройте границу бюджетного ограничения Яши до введения налога и укажите координаты всех ключевых точек.

б) ( $10$ баллов) Постройте границу бюджетного ограничения Яши после введения налога и укажите координаты всех ключевых точек.

в) ( $15$ баллов)Найдите, сколько холстов $(x)$ и угля $(y)$ будет покупать Яша, если налог введён и он максимизирует свою функцию полезности. Чему равна его максимальная полезность?