Задача 1. РЭ ПОШ - 2022 (8-9 класс)

В стране со спросом, задающимся функцией $Q^d=256-P$, спрос предъявляет один человек – Димка Пупкин, и работает бесконечное количество фирм. Взаимодействие на рынке происходит следующим образом: сначала первая фирма продаёт какое-то количество, принимая цену, назначенную Димкой, как заданную, потом вторая фирма продаёт так на остаточном спросе (спросе, который получается вычитанием объёма продаж первой фирмы из рыночного спроса), третья – на остаточном после двух (он получается вычитанием суммарного объёма продаж первой и второй фирмы из рыночного спроса) и так далее. Издержки каждой фирмы задаются как: $TC_i=q_i^2/2$.

Пускай фирмы работают бесконечное количество дней-периодов(весь спрос будет удовлетворён).

а) ( $15$ баллов) Найдите коэффициент Джини, характеризующий распределение прибылей для $5$ первых фирм.

б) ( $10$ баллов) Какую долю составляет прибыль первой фирмы в сумме всех прибылей?

в) ( $5$ баллов) Какую долю составляют прибыли $n$ первых фирм в суммарной прибыли всех фирм?