Новогодний салют

В жилом комплексе живёт n семей с детьми. Каждая семья имеет одинаковый уровень достатка, равный $w$. Приближается Новый год, и совет дома решает устроить салют для детей. Проживание в доме семьи характеризируется разной потребностью в салюте, функция полезности семьи i имеет вид: $U_i = a_i \ln C + x_i$, где $С$ — количество собранных денег; $a_i$ — количество денег, оставшихся после оплаты салюта. Если семья желает внести свой вклад в оплату салюта, то $x_i = w - s_i$.

Количество залога салюта зависит от количества собранных денег:

$C = \sum_{i=1}^{n} s_i$

Все семьи отличаются параметром $a_i$ и упорядочены следующим образом в последовательности:

$0 = a_1 < a_2 <... < a_{n-1} < a_n = 1$.

1. Салют является общественным благом, и поэтому могут возникнуть проблемы со сбором средств на его проведение. Допустим, n нечётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра $a_i$. Пусть такая семья описывается значением $a_m$. Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?

2. Совет дома решает устроить голосование по поводу проведения салюта. Если большинство из n семей проголосует за салют, то его обязательно проведут, а затраты поровну распределят среди всех семей в доме. Допустим, n чётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра $a_i$. Пусть такая семья описывается значением $a_m$. Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?

3. Приведите аргументы «за» (не более трёх) и «против» (не более трёх) меры, введённой губернатором Засенья. Есть ли у губернатора способы достичь той же цели при помощи других мер? Выберите лучшую меру и обоснуйте свой выбор.

4. Совет дома в одностороннем порядке принимает решение, что салют должен состояться и все затраты поровну делятся между всеми семьями. Совет дома максимизирует общую функцию полезности:

$SW = \sum_{i=1}^{n} U_i = \sum_{i=1}^{n} \left(a_i \ln C + x_i\right)$

Какое количество залога салюта будет произведено?

5. Найдите оптимальную ставку налога на салют, если совет дома максимизирует функцию полезности:

$SW = \min \{U_j\}_{j=1}^{n} = \min \{a_i \ln C + x_i\}_{j=1}^{n}$

, то есть стремится улучшить положение той семьи, которая получает наименьшую полезность.