Смурф-торговля

В деревне Смурфеево живут 100 смурфов (смурфы – бесконечно делимые существа), которые занимаются сбором ягод и орехов. Количество собранных ягод и орехов зависит от того, как смурфы распределяют обязанности между собой. Если $x_b$ смурфов займутся сбором ягод, то они соберут $b = 0.5\sqrt{x_b}$ килограммов ягод; если $x_n$ смурфов пойдут собирать орехи, то будет собрано $n = \sqrt{x_n}$ килограммов орехов. Смурфы всегда стремятся иметь как можно больше орехов при каждом возможном количестве ягод.

1. Запишите уравнение кривой производственных возможностей для деревни Смурфеево и постройте график КПВ (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).

2. Жители Смурфеево любят потреблять орехи и ягоды в определённой пропорции, их суммарные предпочтения описываются функцией полезности:

$U = \min(n - 5; b) = \begin{cases} n - 5, & \text{если } n - 5 < b \\ b, & \text{если } n - 5 \geq b \end{cases}$

a. Сколько смурфов будут заниматься сбором ягод, а сколько – орехов?

b. Какое количество ягод и орехов они смогут собрать, максимизируя полезность?

3. Деревня смурфов начинает торговать с соседними поселениями, при этом предпочтения жителей Смурфеево остаются такими же, как и в пункте 2). Рынок ягод и орехов совершенно конкурентный, цена килограмма ягод равна единице, а цена килограмма орехов равна p, причём жители Смурфеево могут и импортировать, и экспортировать ягоды и орехи. По виду КПВ деревни Смурфеево ясно, что альтернативные издержки единицы орехов (в единицах ягод) не постоянны и равны $A_{1n} = \frac{n}{4b}$. Известно, что после начала торговли в Смурфеево стали собирать 4 килограмма ягод и 6 килограммов орехов.

a. Чем равно значение p (то есть цена килограмма орехов)?

b. Чем равна стоимость всех собранных жителями Смурфеево ягод и орехов?

c. Назовём кривой торговых возможностей (КТВ) линию, содержащую множество наборов, доступных жителям Смурфеево в результате производства и торговли. Запишите уравнение КТВ Смурфеево и постройте на новой координатной плоскости графики КПВ и КТВ Смурфеево (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).

d. Какое количество ягод и орехов потребят жители Смурфеево, максимизируя полезность?

Как выглядит структура торговли Смурфеево, то есть какой товар и в каком количестве они экспортируют, а какой импортируют?