Инвестиции с минимальным сожалением

Любой инвестор сталкивается с ситуацией, когда он жалеет о том, что вложил или не вложил деньги в определенный актив. Если стоимость актива растет, инвестор, не вложивший деньги в него, жалеет об этом; если же стоимость падает, сожалеют инвесторы, вложившие деньги. Будущее неопределенно, и поэтому полностью избежать сожаления не удастся. Разные портфели активов, однако, характеризуются разным потенциальным сожалением. В этой задаче вам предлагается найти для нескольких примеров портфелей активов, при которых потенциально возможное сожаление минимально.

Представим себе инвестора, имеющего 1 млн руб. и рассматривающего инвестиции в два актива: акции компании Alset, производящей электромобили, и компании Drof, производящей бензиновые автомобили. Цены на акции этих фирм обычно движутся в противоположном направлении. В зависимости от ситуации на энергетических рынках может реализоваться Сценарий 1, при котором растут акции Alset, или Сценарий 2, при котором растут акции Drof. Таблица возможных доходностей приведена справа. (Например, в Сценарии 1 цена акций Alset вырастает на 30 %.) В момент вложения средств инвестор не знает, какой сценарий реализуется.

Определим сожаление как разницу между максимальной прибылью при определенном сценарии и фактической прибылью. Например, если инвестор вложит в акции двух компаний по 0,5 млн руб. и реализуется Сценарий 1, инвестор получит прибыль в размере $0,3 \times 0,5 + (−0,2) \times 0,5 = 0,05$ млн руб., в то время как максимальная прибыль при данном сценарии равна $0,3 \times 1 = 0,3$ (все надо было вкладывать в Alset). Сожаление инвестора будет равно $0,3 − 0,05 = 0,25$ млн руб. Если же реализуется Сценарий 2, инвестор получит прибыль $(−0,1) \times 0,5 + 0,2 \times 0,5 = 0,05$, а сожаление составит $0,2 − 0,05 = 0,15$ млн руб. Максимальное возможное (по всем сценариям) сожаление инвестора при равном распределении средств будет равно max(0,25; 0,15) = 0,25 млн руб.

а) (4 балла) Допустим, инвестор вкладывает в акции всю сумму. Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимальное возможное сожаление.

б) (3 балла) Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, но теперь есть Сценарий 3, при котором происходит кризис и акции обеих компаний падают в цене:

Определите, какую долю средств ему следует вложить в Alset, чтобы минимизировать максимальное возможное сожаление.

в) (5 баллов) Предположим, что в условиях пункта б) инвестор может не вкладывать часть денег в акции. Невложенные средства приносят доходность 0 % при любом сценарии. Определите, какие доли средств инвестору следует вложить в Alset и Drof, чтобы минимизировать максимальное возможное в будущем сожаление.