Люди и роботы: кто кого?

В XXI векe ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда людей капиталом — в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост беспокойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен.

Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид:

$Q = \sqrt{L_1} + a \cdot R,$

где $Q$ — объем производства товара, $L_1$ — объем неквалифицированного труда людей (труда рабочих), $R$ — объем труда роботов, $a > 0$ — параметр, характеризующий производительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. Цена квалифицированного труда людей для производства труда роботов фиксирована и равна 2.

Цена товара фирмы $P$ зависит от его качества, которое также зависит от его качества $z$ : $P(z) = 4z.$

Качество товара тем выше, чем больше времени, средств, дизайнов и других квалифицированных сотрудников затрачивает фирма. А именно:

$z = \sqrt{L_2},$ где $L_2$ — объем квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного труда людей фиксирована и равна 2.

Вопросы:

а) (1 балл) При каких значениях $a$ фирма будет использовать труд роботов?

б) (3 балла) Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне $z$. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от $z$ и $a$.

в) (3 балла) Определите, какой объем $L_1$ будет нанимать фирма как функцию от $z$ и $a$.

г) (2 балла) Определите, какое качество $z^*$ будет выбирать фирма как функцию от $a$.

д) (6 баллов) Определите величину суммарного спроса фирмы на труд людей как функцию от $a$.

е) (3 балла) В XXI веке значение параметра $a$ быстро растет. Допустим, $a_1$ и $a_2$ таковы, что при росте производительности роботов с $a_1$ до $a_2$ фирма увольняет неквалифицированных работников. Верно ли, что при этом величина суммарного спроса фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите свое содержательное экономическое объяснение.