От ВВП к КПВ

В мире, где могут производиться только товары X и Y, страна Альфа является малой открытой экономикой, то есть может покупать и продавать любое количество этих товаров по фиксированным ценам. Мировой валютой является международный тугрик (м.т.). Мировая цена товара X равна p м.т., а мировая цена товара Y равна 1 м.т.

В разное время значение p было разным, меняясь в пределах от 1/4 до 1 включительно. Из исторических данных вы знаете, что валовой внутренний продукт (ВВП) страны по паритету покупательной способности (стоимость произведенных страной товаров в мировой валюте) зависит от p по следующему правилу:

$ВВП(p) = 1 + 2p - 2\sqrt{p} \text{ м.т.}$

Эта формула верна для каждого $p \in [1/4; 1]$.

Обозначим максимально возможные объемы производства товаров в стране за $X_{\max}$ и $Y_{\max}$. При каждом $p$ объемы производства в стране Альфа выбираются так, что в стране стали доступны объемы потребления товаров, лежащие на кривой торговых возможностей (КТВ). Известно, что альтернативные издержки производства каждого из товаров положительны и строго возрастают, и что для любого объема $X_0 \in [0; X_{\max}]$ существует такая мировая цена $p \in [1/4; 1]$, при которой в стране производится ровно $X_0$ единиц товара X.

a) (4 балла) Найдите $X_{\max}$ и $Y_{\max}$.

б) (1 балл) Для каждого $p \in [1/4; 1]$ запишите уравнение КТВ страны $Y$ как функцию от $X$.

в) (7 баллов) Восстановите уравнение КТВ страны $Y$ как функцию от $X$. Подсказка: это можно сделать без использования производной.