Ключевая ставка в условиях пандемии

В стране Z совокупный спрос описывается уравнением $Y = 250 - 100P - 10r$, где $Y$ — реальный ВВП, $P$ — уровень цен, $r$ — ключевая ставка центрального банка в процентах. Например, если ключевая ставка равна 4 %, то уравнением совокупного спроса будет $Y = 250 - 100P - 10 \cdot 4 = 210 - 100P$.

В 2120 году краткосрочное совокупное предложение описывалось уравнением $Y = 100P$ ; экономика страны Z находилась в состоянии краткосрочного и долгосрочного равновесия. Ключевая ставка была равна 5 %. В 2121 году началась очередная пандемия, и из-за нарушения цепочек поставок и экономической неопределенности новое предложение сократилось до $Y = 100P - 50$. Потенциальный ВВП не изменился.

В 2121 году равновесие в экономике только краткосрочное, оно устанавливается один раз и с учетом действий ЦБ.

а) (7 баллов) Определите годовой темп инфляции в 2121 году, если центральный банк не изменит ключевую ставку.

б) (5 баллов) Предположим, что ЦБ придерживается политики таргетирования инфляции на уровне 5 % в год. Какую ключевую ставку установит ЦБ в 2121 году, чтобы удержать годовую инфляцию на уровне 5 %?

в) (18 баллов) Теперь предположим, что ЦБ заботится не только об инфляции, но и о реальном ВВП. ЦБ выбирает ключевую ставку так, чтобы минимизировать потери в 2121 году от несоответствия инфляции целевому уровню $\pi^* = 5$, а ВВП — своему потенциальному уровню $Y^*$. $L = 8(\pi - 5)^2 + (Y - Y^*)^2$, где $L$ — потери, $\pi$ — годовой темп инфляции в 2121 году в процентах. Определите оптимальную ключевую ставку и годовой темп инфляции в 2121 году.