Выбираем рыночную нишу

На рынке жизненно необходимых виджетов есть две фирмы, –– 1 и 2, а также очень большое число покупателей. Виджеты, выпускаемые разными фирмами, могут отличаться по качеству и цене. Полезность покупателя от покупки товара качества x по цене p задается уравнением U = w $\cdot$ x − p, где w –– готовность данного покупателя платить за единицу качества. У разных покупателей w разная, причем параметр w распределен среди населения равномерно на отрезке [0; 1], то есть для любых w1, w2 таких, что 0 $\leq$ w1 $\leq$ w2 $\leq$ 1, доля людей, чья w лежит на отрезке [w1 ; w2 ], равна w2 − w1. Например, доля людей, чья w находится на отрезке [0,4; 0,7] равна 0, 3. Из всех виджетов, предложенных на рынке, покупатель выбирает тот, полезность от покупки которого наибольшая. Если покупатель не покупает ни один из виджетов, его полезность равна минус бесконечности. Общие издержки каждой из фирм равны TC = xQ, где x –– качество товара данной фирмы, Q –– количество проданных единиц. Качество товара может быть любым числом на отрезке [0; 1]. Если качество товара уже выбрано, то его сложно изменить. Цены же можно переустаналивать свободно. Поэтому схема взаимодействия фирм выглядит следующим образом:

1. Сначала фирма 1 выбирает качество своего товара x1.

2. Фирма 2 наблюдает x1 и затем выбирает качество своего товара x2. После этого шага качества товаров изменить нельзя. Первые два шага можно интерпретировать как выбор каждой из фирм своей рыночной ниши.

3. Затем обе фирмы, зная x1 и x2, одновременно и независимо выбирают цены p1 и p2. Цены, выбираемые на данном этапе, образуют равновесие, то есть цена p1 должна быть оптимальна для фирмы 1 при фиксированных p2, x1, x2, и наоборот, цена p2 должна быть оптимальна для фирмы 2 при фиксированных p1, x1, x2.

а) (1 балл) Если p1 < p2, а x1 < x2, какая доля потребителей купит товар первой фирмы (как функция от x1, x2, p1, p2 )?

б) (11 баллов) Найдите качества товаров x1, x2 и цены p1, p2, которые выберут фирмы.