До связи

Провайдер мобильной связи «Вышлайн» ведет свою деятельность на двух рынках: рынке минут разговоров и рынке гигабайт интернета. На обоих рынках «Вышлайн» является монополистом, а предельные издержки производства минут и гигабайт нулевые, равно как и постоянные издержки. На рынке минут и на рынке гигабайт спрос предъявляют две группы потребителей: группа $A$ и группа $B$. Спрос группы $A$ на рынке минут имеет вид $Q_m^A=100-P_m$, а на рынке гигабайт — $Q_g^A=60-P_g/3$, где $P_m$ — цена минуты разговора, а $P_g$ — цена гигабайта интернета. Спрос группы $B$ на рынке минут имеет вид $Q_m^B=60-P_m/3$, а на рынке гигабайт: $Q_g^B=100-P_g$. Группы имеют одинаковый размер и внутри каждой группы потребители одинаковые. Известно, что компания «Вышлайн» не может различать группы потребителей на обоих рынках.

$а)$ ( $5$ баллов) Найдите цены, которые монополист установит на обоих рынках, и максимальную прибыль компании «Вышлайн».

$б)$ ( $20$ баллов) Известно, что компания «Вышлайн» установила цены на уровне из пункта (а) и не может их изменить. Отдел аналитики компании предложил ввести кешбэк на продукцию для увеличения прибыли. Потребители могут выбрать для себя только одну категорию кешбэка: либо $X\%$ кешбэк на минуты, либо $Y\%$ кешбэк на гигабайты. Известно, что потребители воспринимают кешбэк как скидку и предпочитают ту альтернативу, при которой их излишек увеличится больше. Найдите оптимальные для компании «Вышлайн» ставки кешбэка $X\%$ на минуты и $Y\%$ на гигабайты. Увеличилась ли прибыль компании по сравнению со значением, которое вы определили в пункте $а)$ ?