In coffee veritas

В университете работает единственная кофейня, которая продаёт кофе $(x)$ и булочки $(y)$, а также учатся студенты, которых можно разделить на три группы. Первая группа пьет только кофе, её функция спроса на кофе имеет вид $x_1=330-P_x$, где $P_x$ — стоимость одной чашки кофе. Вторая группа любит только булочки, и её функция спроса имеет вид $y_2=330-P_y$, где $P_y$ — стоимость одной булочки. Третья группа студентов любит и кофе, и булочки, и покупает их вместе. Они всегда потребляют одинаковое количество булочек и чашек кофе, и соответствующие функции спроса определяются следующим образом:

$x_3=y_3=330-0,75P_x-0,75P_y$.

Предельные и средние издержки на производство кофе и булочек постоянны и равны $c_x=c_y=96$. Других издержек нет.

Кофейня максимизирует свою прибыль, и продолжает работать, если получает неотрицательную прибыль. Считайте, что кофе и булочки бесконечно делимы. Предполагается, что студенты не могут перепродавать товары друг другу.

$а)$ ( $8$ баллов) Запишите зависимость прибыли кофейни от цен $P_x$ и $P_y$ в случае, если каждая из цен меньше $220$. Предположим, что кофейня решила установить цену $P_y=180$. Найдите цену $P_x$, максимизирующую прибыль в этом случае.

$б)$ ( $2$ балла) К менеджеру кофейни пришёл экономист Иван, который предложил изменить способ продажи кофе и булочек, а именно, продавать комплекты из одной чашки кофе и одной булочки по цене $P_b$. У третьей же группы потребителей функция спроса на комплекты будет иметь вид $b_3=330-0,75P_b$, где $b$ — комплект из одной чашки кофе и одной булочки. Выпишите функции спроса на комплекты для $1$ и $2$ группы студентов.

$в)$ ( $6$ баллов) Найдите цену $P_b$, которую назначит кофейня, и количество проданных комплектов, если кофейня начнет продавать товары только комплектами.

$г)$ ( $5$ баллов) Найдите цены $P_x, \ P_y, \ P_b,$, если кофейня будет продавать и комплекты по цене $P_b$, и товары по отдельности по ценам $P_x$ и $P_y$.

$д)$ ( $4$ балла) Не вычисляя прибыль фирмы, определите, какую из трех стратегий (из пунктов $а), \ в)$ или $г)$ ) выберет фирма? Дайте интуитивное объяснение полученному результату.