Доставлять или так продавать?

Фабрика, расположенная в области города $N$, производит мебельные гарнитуры и стремится получить максимальную прибыль. Ежемесячные затраты фабрики на производство гарнитуров в тысячах рублей описываются функцией $TC(Q)=Q^2+100Q+200$, где $Q$ — количество гарнитуров в штуках. Готовые гарнитуры фабрика продает мебельному салону из другого региона по цене $176$ тысяч рублей за штуку, после чего салон реализует гарнитуры потребителям на своих условиях. Фабрика заказывает доставку гарнитуров у транспортной компании.

$а)$ ( $5$ баллов) В первый месяц сотрудничества мебельной фабрики и транспортной компании фабрика пользовалась услугами перевозки гарнитуров бесплатно. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в течение месяца и какую прибыль она при этом получила бы.

$б)$ ( $6$ баллов) Во второй месяц, по условиям контракта, доставка становится платной. Заказ одного автомобиля, то есть стоимость одной перевозки, обходится в $180$ тысяч рублей, при этом в автомобиль можно погрузить не более $5$ гарнитуров. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в этом месяце, а также какую прибыль она при этом получила бы.

$в)$ ( $7$ баллов) Во все месяцы, начиная с третьего, стоимость доставки будет составлять $200$ тысяч рублей. Определите, сколько гарнитуров в этом случае должна была производить фабрика в месяц, а также какую прибыль она при этом получила бы.

$г)$ ( $7$ баллов) Предположим, что через полгода вместо реализации гарнитуров через мебельный салон, фабрика решает открыть на своей территории магазин для самостоятельной продажи гарнитуров. В этом случае фабрике не придется оплачивать доставку гарнитуров, однако необходимо будет нести ежемесячные расходы в объёме $X$ тысяч рублей в месяц (на аренду и охрану помещения магазина, заработную плату продавцов и др.), не зависящие от количества проданных гарнитуров. Определите, при какой максимальной величине расходов $X$ фабрике выгоднее продавать гарнитуры в собственном магазине. Ежемесячную обратную функцию спроса на гарнитуры, продаваемые в магазине фабрики, она оценивает как $P=170-0,25Q$, где $Q$ — количество гарнитуров в штуках, $P$ — цена одного гарнитура в тысячах рублей. Считайте, что фабрика не конкурирует с мебельным салоном, так как он находится в другом регионе, и, открыв магазин, она становится монополистом в своем регионе.