Инвестиции в образование

Повышение уровня образования является одним из инструментов, с помощью которых государство может стимулировать экономический рост, повышать уровень жизни населения и снижать социальное неравенство. Инвестиции в образование способствуют формированию квалифицированной рабочей силы, повышают производительность труда и способствуют развитию инновационных отраслей. Поэтому правительства многих стран рассматривают финансирование образования не как расход, а как стратегическую инвестицию в будущее общества и экономики. В этой задаче мы рассмотрим модель выбора образовательной траектории и последствия вмешательства в него государства.

Предположим, что в некоторой стране ежегодно выпускается $140$ тысяч школьников. Все выпускники различаются по уровню полученного школьного образования, который обозначим как $\theta$, где $\theta$ принимает значения от $0$ до $1$. Распределение выпускников по уровню школьного образования равномерное. Например, доля выпускников с уровнем образования в диапазоне от $\theta = 0.2$ до $\theta = 0.5$ составляет $0.5-0.2=0.3$, а их численность равна $0.3*140=52$ тысячи человек. Выпускниками с точно заданными значениями (например, ровно $\theta = 0.2$ или $\theta = 0.5$ ) можно пренебречь.

В стране существует два университета: престижный и менее престижный. Престижный университет обеспечивает качество образования $s_1=2$, а менее престижный — $s_2=1$. Стоимость обучения в престижном университете равна $p_1$, а в менее престижном — $p_2$. Оба университета максимизируют свою прибыль, устанавливая цены на обучение независимо и одновременно, при этом издержки на обучение отсутствуют. Каждый выпускник выбирает один из трёх вариантов:

$-$ обучаться в престижном университете,

$-$ обучаться в менее престижном университете,

$-$ не продолжать обучение вовсе.

Если выпускник с уровнем школьного образования $\theta$ решает поступить в университет, то его полезность определяется формулой: $U=s_i*\theta-p_i$, где $s_i$ и $p_i$, соответствуют выбранному университету. Такая полезность объясняется тем, что выпускники с более высоким уровнем образования получают большую отдачу от высшего образования. Если выпускник не продолжает обучение, его полезность равна нулю. Каждый выпускник стремится максимизировать свою полезность.

$a)$ ( $15$ баллов) Найдите равновесные цены на высшее образование, которые установят университеты. То есть определите такие значения $p_1$ и $p_2$, при которых ни один из университетов не захочет изменить свою цену, если цена другого университета остается неизменной.

$б)$ ( $5$ баллов) Государство обеспокоено числом выпускников, не получающих высшее образование, и решает инвестировать в повышение качества. Теперь качество обучения в престижном университете увеличивается до $s_1=3$, а в менее престижном — до $s_2=2$. Определите, насколько увеличится число выпускников, поступающих в университеты, по сравнению с пунктом $a)$.

$в)$ ( $10$ баллов) Теперь предположим, что государство решает не инвестировать в качество образования, а вместо этого делает обучение в менее престижном университете бесплатным $(p_2=0)$. Будем считать, что каждый студент, получивший высшее образование, приносит положительную полезность государству, причем выпускники престижного университета увеличивают полезность государства на $X$, а выпускники менее престижного на $10$. Найдите максимальное значение $X$, при котором государству выгоднее предоставлять бесплатно менее престижное образование, чем оставлять ситуацию, описанную в пункте $a)$, если государство также не несёт никаких издержек на обучение студентов.

$г)$ ( $10$ баллов) Из пункта $в)$ следует, что при некоторых X полезность государства выше в ситуации, когда оно не предоставляет бесплатное высшее образование и оставляет систему частного образования как в пункте $а)$. Используя модель задачи, объясните, почему государство не всегда выигрывает от предоставления бесплатного образования.