Оптимальная субсидия на основе данных

В жизни экономистам зачастую неизвестны функции спроса, предложения, полезности –– всё то, что обычно дано в задачах по экономике. Для анализа рынков в реальности используются данные о ценах, объемах, числе фирм, характеристиках товаров и т. д. Здесь мы рассмотрим, как можно (и можно ли) извлечь информацию об оптимальной экономической политике непосредственно из данных о ценах и объемах.

Рассмотрим монополиста, средние издержки производства которого постоянны и равны $c$, а обратная функция спроса на товар описывается уравнением $P=a-bQ$, где $a>c>0$, $b>0$. Государство хотело бы выплачивать фирме потоварную субсидию за каждую проданную единицу товара так, чтобы выпуск фирмы вырос до уровня, соответствующего рынку совершенной конкуренции с таким же спросом и такими же издержками. Обозначим необходимую для этого ставку субсидии за $s^*$.

а) ( $2$ балла) Найдите $s^*$ как функцию от параметров $a, \ b$ и $c$.

б) ( $4$ балла) Государство знает вид функций спроса и издержек, но не знает значений параметров $a, \ b, \ c$. Вместо этого оно наблюдает изначальный объем на рынке $Q_0$ (когда субсидии нет). Кроме того, в каждом следующем периоде $t=1,2,...$ оно вводит субсидию по известной ему ставке $s_t>0$ и наблюдает рыночный объем выпуска $Q_t$. Цены государство не наблюдает. Верно ли, что в конце некого периода $t=0,1,2...$ у государства накопится достаточно данных, чтобы однозначно определить $s^*$ ? Если да, то найдите минимальное $t\geq 0$, при котором это так (обозначьте его за $t^*$ ), и приведите формулу, по которой государство может определить $s^*$ как функцию от величин, известных в конце периода $t=t^*$. Считайте, что ситуация, при которой выпуск фирмы равен максимальному уровню $Q_{max}=a/b$, заведомо не возникает. Кроме того, фирма максимизирует прибыль в каждом периоде стандартным образом и не пытается, выбирая объем выпуска, стратегически повлиять на будущие ставки субсидии.

в) ( $4$ балла) Решите пункт б), если вместо объемов государство наблюдает цены, уплачиваемые потребителями: $P_0, P_1,...$

г) ( $2$ балла) Решите пункт б), если государство в каждый период времени наблюдает и объемы выпуска, и цены.