О пользе конкуренции

Как конкуренция на рынке влияет на стимулы фирм к инновациям? Данный вопрос является одним из классических в экономической науке. В этой задаче мы рассмотрим модель, проливающую на него свет.

На рынке пряжи для вязания действует фирма-монополист «Анна». Обратная функция спроса задана уравнением $p=1-q$, предельные издержки производства постоянны и изначально равны $0,5$. «Анна» может снизить предельные издержки производства, осуществляя инновации. Чтобы снизить предельные издержки на $I\leq 0,5$, нужно понести дополнительные издержки в размере $0,5kI^2$ на инновационную деятельность, где $k>1$. Других издержек, кроме издержек на производство и инновации, фирма на несет.

а) ( $2$ балла) Выведите общие издержки «Анны» на производство и инновации как функцию только от $q$. Подсказка: проминимизируйте издержки «Анны» по $I$ при произвольно выбранном $q$.

б) ( $2$ балла) Найдите оптимальный объем выпуска $q^*$ и инноваций $I^*$ «Анны» в зависимости от $k$.

в) ( $6$ баллов) Представим, что до того, как «Анна» осуществила инновации, на горизонте замаячила другая фирма –– «Белла», потенциальный конкурент «Анны». Ее предельные издержки постоянны и равны $0,5$. Снизить их она не может. Взаимодействие фирм устроено следующим образом.

1. «Анна» выбирает объем выпуска $q_A$ и инноваций $I$.

2. Пронаблюдав выбор «Анны», «Белла» решает, зайти на рынок, или нет. Если она входит, то затем выбирает объем $q_B>0$, а если не входит, то $q_B=0$. Издержки входа на рынок равны $0$.

3. На рынке устанавливается цена по правилу $p=1-q_A-q_B$, фирмы продают произведенную продукцию и получают соответствующую прибыль, взаимодействие заканчивается.

Определите значения $q_A^*, \ q_B^*$ и $I^*$, которые выберут фирмы в зависимости от $k$.

г) ( $1$ балл) В каком из пунктов –– б) или в) –– «Анна» больше вкладывается в инновации?

д) ( $1$ балл) Вы –– исследователь некоторого рынка, и видите что на нем действует лишь одна фирма. Всегда ли верно, что выпуск этой фирмы равен ее монопольному выпуску? Почему? Ваш ответ должен быть основан на контексте задачи.