Мотивация для менеджера

Владелец фирмы-монополии нанял менеджера по маркетингу. Менеджер может приложить усилия для продвижения товара на рынке. Чем выше этот уровень усилий $e$, тем выше спрос на продукцию фирмы: $q=\sqrt e-p$, где $p$ –– цена товара, $q$ –– его количество. Приложение уровня усилий в объеме $e$ сопряжено с издержками в размере $e^2$ для менеджера. Владелец фирмы хотел бы стимулировать менеджера прилагать усилия, и поэтому зарплата менеджера равна доле выручки фирмы: $w=b*TR$, где $0<b<1$, $TR$ –– выручка монополии, $w$ –– зарплата менеджера.

Взаимодействие владельца фирмы и менеджера устроено так, что сначала владелец выбирает $b$, а затем менеджер выбирает $e$ и $q$, воспринимая $b$ как заданный параметр. Владелец фирмы максимизирует выручку фирмы за вычетом расходов на зарплату менеджера (других издержек у фирмы нет). Менеджер максимизирует свою зарплату за вычетом издержек на усилия.

а) ( $5$ баллов) Найдите оптимальное для менеджера значение $q^*$ при произвольно выбранных значениях $b$ и $e$, удовлетворяющих условию. Оно может зависеть от $b, \ e$ или обеих переменных сразу.

б) ( $8$ баллов) Найдите оптимальные для менеджера значения $e^*$ и $q^*$ в зависимости от $b$.

в) ( $7$ баллов) Найдите оптимальное для владельца значение $b^*$, а также значения $e^*$ и $q^*$, которые выберет менеджер при $b=b^*$.