Живём не одним днём! Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (8 класс)

Помещик Боголепов — порядочный гражданин, он каждый день ходит на свою работу и зарабатывает $I=120$ золотых, которые тратит в тот же день. Ровно в $6$ часов вечера он заходит в местную харчевню и выбирает, что он будет сегодня есть: борщ или каравай. Его полезность задается функцией $U=kx+ty$, где $x$ — количество потребленных борщей, $y$ — количество потребленных караваев, а $k$ и $t$ — некоторые коэффициенты.

а) ( $2$ балла) Пусть $k=5, \ t=4$. Выведите спрос помещика Боголепова на борщи в зависимости от цены борща $P_x$, если цена на караваи $P_y$. Какое количество каждого из блюд он будет потреблять, если цена одного борща равна $P_x=12$ ?

б) ( $8$ баллов) Коэффициенты $k$ и $t$ непостоянны и могут изменяться. Если Боголепов потребил борщей больше, чем караваев, то на следующий день $k$ будет равняться $5-x/4$ ; если же он потребил караваев больше, чем борщей, то изменится $t$ и станет равным $4-y/6$, где $x$ и $y$ это потребление помещика в первый день. Если он потребит борщей и караваев одинаковое количество, то коэффициенты $k$ и $t$ останутся неизменными. Выяснив эти зависимости экспериментальным путем, помещик решил узнать, какую максимальную полезность он сможет получить суммарно за сегодня и завтра. Какое количество каждого товара потребит мудрый Боголепов в каждый из дней, если на начало первого дня $k=5, \ t=4$ ?

в) ( $2$ балла) Приведите одну причину, из-за чего $k$ и $t$ могут так меняться со временем.