Мир инвестиций. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (7-8 класс)

Студент Иннокентий решил начать инвестировать свои деньги. Его первоначальный капитал составляет $100$ тыс. рублей. На бирже ему предложили два варианта: акция $А$ $A$ с ожидаемой доходностью $20\%$ и волатильностью $10\%$ стоимостью 1 тыс. рублей и акция $Б$ с ожидаемой доходностью $25\%$ и волатильностью $15\%$ стоимостью $2$ тыс. рублей. Можно покупать любое количество акций каждого вида (даже нецелое), но нельзя потратить больше своего бюджета.

Примечание: Волатильность показывает как сильно может измениться доходность. Обычно волатильность обозначается буквой $\sigma$ (сигма). Инвесторы не любят волатильные акции и при прочих равных выбирают с меньшей волатильностью. Если положить долю $a$ всех денег в актив с волатильностью $\sigma_1$ и долю $1-a$ в актив с волатильностью $\sigma_2$ то волатильность такого портфеля будет равна $a\sigma_1+(1-a)\sigma_2$. Аналогично для большего числа активов.

а) ( $2$ балла) Как Иннокентию следует распорядиться своими деньгами, если он только максимизирует ожидаемую доходность? А если только минимизирует волатильность?

б) ( $3$ балла) Иннокентий в университете прочитал учебник по финансам и увидел там замечательный финансовый показатель Sharpe Ratio:

$\text{Sharpe Ratio} = \frac{\text{ожидаемая доходность} - \text{процентная ставка безрискового актива}}{\text{волатильность}}$

В стране, где живет Иннокентий, процентная ставка безрискового актива известна и равна $5\%$. У какой акции Sharpe Ratio больше? Объясните, почему максимизация Sharpe Ratio согласуется с предпочтениями инвестора.

в) ( $2$ балла) В какой пропорции Иннокентий будет покупать акции, чтобы максимизировать Sharpe Ratio своего портфеля (набора бумаг)?

Например, если он купит бумаги, потратив поровну денег на каждую, то его

$\text{Sharpe Ratio} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 \cdot 0{,}20 - 0{,}05}{0{,}5 \cdot 0{,}15 + 0{,}5 \cdot 0{,}10} = 1{,}4$

г) ( $3$ балла) На бирже появляется третья акция $В$ с ожидаемой доходностью $15\%$ и волатильностью $5\%$ стоимостью $500$ рублей. Как в этом случае следует распорядиться финансами, если Иннокентий по-прежнему максимизирует Sharpe Ratio портфеля?

д) ( $2$ балла) Как изменились бы ответы на пункты в) и г), если бы Иннокентий обладал не $100$ тыс. рублей, а $1$ млн. рублей? А если $10$ млн. рублей?