Задание 4. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)

Линейный монополист

В линейном городе роскошного чая, который представляет из себя отрезок длины $1$ с координатами $[0, \ 1]$, действует фирма-монополист. Злой правитель давно держит обиду на монополиста, поэтому хочет расположить фирму в точке с координатой $\alpha$, где $0\leq \alpha \leq 1$, а спрос на продукцию монополиста в этой точке будет равен $Q_d=8\alpha -P$. Издержки производства монополиста заданы функцией $TC=3Q$. Монополист максимизирует свою прибыль, а злой правитель стремится минимизировать её.

а) ( $8$ баллов) Выведите функцию, которая будет показывать желаемый выпуск монополиста при разных положениях фирмы. Другими словами, найдите зависимость $Q(\alpha)$.

б) ( $7$ баллов) Какие значения $\alpha$ будут удовлетворять злого правителя?

Предположим, что правитель послушал приятную музыку и стал добрым. Теперь он выбирает такое место, чтобы прибыль монополиста была наибольшей.

в) ( $5$ баллов) Какую координату расположения теперь выберет правитель для фирмы? Найдите количество и цену, которую установит монополист.